Phép Vị Tự

A.Lý thuyết:

I.Định nghĩa:
Cho điểm O và số k khác 0. Phép biến hình mỗi điểm M thành M’ sao cho: = k được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Ký hiệu
II. Tính chất:

-Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành M’,N’ thì ' = k

-Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:

a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm ấy.

b. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ấy, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng.

c. Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, một góc thành một góc bằng với nó.

d. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

III. Biểu thức tọa độ:

B. Bài tập minh họa:

Phương pháp chung:

Cho điểm M(x;y), có ảnh M’(x’;y’) qua phép vị tự tâm I tỉ số k.

Cho điểm M(x;y), có ảnh M’(x’;y;) qua phép vị tự tâm I tỉ số k.
Từ (1) ta tìm được tọa độ M’ là ảnh của M.
Từ đó ta cũng tìm được phương trình của ảnh của đường (C) đã cho.

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy hai điểm A(4;5) và I(3;-2). Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3.

Bài 2: Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x-5y+3=0 qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-3.

Bài 3: Tìm ảnh của đường tròn (C): ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$ qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

.Bài 4: Cho $\left( {{C}_{1}} \right):{{\text{x}}^{\text{2}}}+{{y}^{2}}+4x-2y-4=0$. Viết phương trình ảnh của các đường tròn trên.

Qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2.
Qua phép vị tự tâm A(1;1), tỉ số k=-2.

III. Bài tập tự luyện:

Câu 1: Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. 2x + y + 3 = 0 B. 2x + y – 6 = 0 C. 4x – 2y – 3 = 0 D. 4x + 2y – 5 = 0

Câu 2 : Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = – 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. 2x + 2y = 0 B. 2x + 2y – 4 = 0 C. x + y + 4 = 0 D. x + y – 4 = 0

Câu 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)² + (y – 2)² = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = – 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A. (x – 2)² + (y – 4)² = 16 B. (x – 4)² + (y – 2)² = 4

C. (x – 4)² + (y – 2)² = 16 D. (x + 2)² + (y + 4)² = 16

Câu 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)² + (y – 1)² = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A. (x –1)² + (y – 1)² = 8 B. (x – 2)² + (y – 2)² = 8

C. (x – 2)² + (y – 2)² = 16 D. (x + 2)² + (y + 2)² = 16

Câu 5 : Phép vị tự tâm O tỉ số k (k ¹ 0) biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

A. \[\overrightarrow{OM}=\frac{1}{k}\overrightarrow{OM'}\] B. \[\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{OM'}\] C. \[\overrightarrow{OM}=-k\overrightarrow{OM'}\] D. \[\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{OM}\]

Câu 6: Chọn câu đúng:

A. Qua phép vị tự có tỉ số k ¹ 1, đường thẳng đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó.

B. Qua phép vị tự có tỉ số k ¹ 0, đường tròn đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó.

C. Qua phép vị tự có tỉ số k ¹ 1, không có đường tròn nào biến thành chính nó.

D. Qua phép vị tự V_{(O, 1)} đường tròn tâm O sẽ biến thành chính nó.

Câu 7: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’và N’ thì:

A. \[\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\]và M’N’ = –kMN B. \[\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\]và M’N’ = |k|MN

C. \[\overrightarrow{M'N'}=\left| k \right|\overrightarrow{MN}\]và M’N’ = kMN D. \[\overrightarrow{M'N'}//\overrightarrow{MN}\]và M’N’ = \[\frac{1}{2}\]MN

Câu 8: Xét các phép biến hình sau:

(I) Phép đối xứng tâm. (II) Phép đối xứng trục

(III) Phép đồng nhất. (IV). Phép tịnh tiến theo vectơ khác \[\overrightarrow{0\,}\]

Trong các phép biến hình trên:

A. Chỉ có (I) là phép vị tự. B. Chỉ có (I) và (II) là phép vị tự.

C. Chỉ có (I) và (III) là phép vị tự. D. Tất cả đều là những phép vị tự.

Câu 9 : Hãy tìm khẳng định sai:

A. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì mọi điểm của nó đều bất động.

B. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì nó là một phép đồng nhất.

C. Nếu một phép vị tự có một điểm bất động khác với tâm vị tự của nó thì phép vị tự đó có tỉ số k = 1.

D. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì chưa thể kết luận được rằng mọi điểm của nó đều bất động.

Câu 10 : Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Khi đó phép vị tự nào biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC?

A. Phép vị tự tâm G, tỉ số 2. B. Phép vị tự tâm G, tỉ số –2.

C. Phép vị tự tâm G, tỉ số –3. D. Phép vị tự tâm G, tỉ số 3.

Đáp án bài tập tự luyện:

1.B

2.C

3.D

4.C

5.A

6.B

7.B

8.C

9.A