HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Lý thuyết

1. Hàm số y=s⁡inxy=\operatorname{s}\text{inx} và hàm số y=cos⁡xy=\cos x.

a) Hàm số y=s⁡inxy=\operatorname{s}\text{inx}

Đồ thị hàm số:

            - Có tập xác định là R\mathbb{R}.

                        - Có tập giá trị là [−1;1]\left[ -1;1 \right].

                        - Là hàm số lẻ.

                        - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

                        - Có đồ thị là một đường hình sin.

                        - Tuần hoàn với chu kì 2π2\pi .

                        

b) Hàm số y=cos⁡xy=\cos x

Đồ thị hàm số:

- Có tập xác định là R\mathbb{R}.

                        - Là hàm số chẵn.

                        - Là một đường hình sin.                       

2. Hàm số y=tan⁡xy=\tan x và hàm số y=cot⁡xy=\cot x

a) Hàm số y=tan⁡xy=\tan x

Đồ thị hàm số:

- Có tập xác định D1=R\{π2+kπ∣k∈Z}{{D}_{1}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}                - Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì π\pi                - Có tập giá trị là R\mathbb{R}

- Đồng biến trên mỗi khoảng 

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x=π2+kπ,(k∈Z)x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right) làm một đường tiệm cận

b) Hàm số y=cot⁡xy=\cot x

- Có tập xác định: D2=R\{kπ∣k∈Z}{{\text{D}}_{2}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}                           - Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì π\pi                - Có tập giá trị là R\mathbb{R}

- Đồng biến trên mỗi khoảng 

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x=kπ,(k∈Z)x=k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right) làm một đường tiệm cận.

B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác

Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Cách 1

Tìm tập DD của x\text{x} để f(x)f\left( x \right) có nghĩa, tức là tìm D={x∈R∣f(x)∈R}\text{D}=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| f\left( x \right)\in \mathbb{R} \right. \right\} .

Cách 2

Tìm tập EE của x\text{x} để f(x)f\left( x \right) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là D=R\E\text{D}=\mathbb{R}\backslash E.

 

1. Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số y=12cos⁡x−1y=\frac{1}{2\cos x-1} là:

A. D=R\{π3+k2π,5π3+k2π∣k∈Z}\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{5\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.                               

B. D=R\{π3+k2π∣k∈Z}\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.

C. D={π3+k2π,5π3+k2π∣k∈Z}\text{D}=\left\{ \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{5\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.                    

D. D=R\{5π3+k2π∣k∈Z}\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{5\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.

Chọn A.

Lời giải

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số y=12cos⁡x−1y=\frac{1}{2\cos x-1} tại x=π3x=\frac{\pi }{3} và x=5π3x=\frac{5\pi }{3} ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A.

Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số y=cot⁡xsin⁡x−1y=\frac{\cot x}{\sin x-1} là:

A. D=R\{π3+k2π∣k∈Z}\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.                           

B. D=R\{kπ2∣k∈Z}\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.

C. D=R\{π2+k2π;π∣k∈Z}\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.             

D. D=R\{π2+k2π∣k∈Z}\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.

Chọn C.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định khi

+ cot⁡x\cot x xác định ⇔sin⁡x≠0\Leftrightarrow \sin x\ne 0

+ sin⁡x−1≠0\sin x-1\ne 0

Ví dụ 3: Tập hợp R\{kπ∣k∈Z}\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\} không phải là tập xác định của hàm số nào?

A. y=1−cos⁡xsin⁡xy=\frac{1-\cos x}{\sin x}.                          

B. y=1−cos⁡x2sin⁡xy=\frac{1-\cos x}{2\sin x}.        

C. y=1+cos⁡xsin⁡2xy=\frac{1+\cos x}{\sin 2x}.                       

D. y=1+cos⁡xsin⁡xy=\frac{1+\cos x}{\sin x}.

Chọn C.

Lời giải

Ví dụ 4: Tìm tập xác định của hàm số y=sin⁡1x+2xy=\sin \frac{1}{x}+2x

A. D=[−2; 2]D=\left[ -2;\,2 \right].                                  

B. D=[−1; 1]\{0}D=\left[ -1;\,1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}.                                             

C. D=RD=\mathbb{R}.                                 

D.  D=R\{0}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.

Lời giải

Chọn D.

Hàm số đã cho xác định khi sin⁡1x\sin \frac{1}{x} xác định⇔x≠0\Leftrightarrow x\ne 0

Ví dụ 5: Cho hàm số h(x)=sin⁡4x+cos⁡4x−2msin⁡x.cos⁡xh\left( x \right)=\sqrt{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x-2m\sin x.\cos x}.Tất cả các giá trị của tham số mm để hàm số xác định với mọi số thực xx(trên toàn trục số) là

A. −12≤m≤12-\frac{1}{2}\le m\le \frac{1}{2}.                 

B. 0≤m≤120\le m\le \frac{1}{2}.      

C. −12≤m≤0-\frac{1}{2}\le m\le 0.                                  

D. m≤12m\le \frac{1}{2}.

Lời giải

Chọn A.

Xét hàm số g(x)=(sin⁡2x)2+(cos⁡2x)2−msin⁡2xg\left( x \right)={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}+{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-m\sin 2x

=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x−msin⁡2x={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x-m\sin 2x

=1−12sin⁡22x−msin⁡2x=1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x-m\sin 2x.

Đặt t=sin⁡2xt=\sin 2x⇒t∈[−1;1]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right].

Hàm số h(x)h\left( x \right) xác định với mọi x∈Rx\in \mathbb{R}⇔g(x)≥0,∀x∈R\Leftrightarrow g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}⇔−12t2−mt+1≥0,∀t∈[−1;1]\Leftrightarrow -\frac{1}{2}{{t}^{2}}-mt+1\ge 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]

⇔t2+2mt−2≤0,∀t∈[−1;1]\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2mt-2\le 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right].

Đặt f(t)=t2+2mt−2f\left( t \right)={{t}^{2}}+2mt-2 trên [−1;1]\left[ -1;1 \right].

Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.

Ta thấy max⁡[−1;1] f(t)=f(1)\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 1 \right) hoặc max⁡[−1;1] f(t)=f(−1)\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( -1 \right)

2. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tập xác định của hàm số xy=2016tan⁡20172xy=2016{{\tan }^{2017}}2x là

A. D=R\{π2+kπ∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.          

B. D=R\{kπ2∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.                

C. D=RD=\mathbb{R}.                                          

D.  D=R\{π4+kπ2∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.

Bài 2: Tập xác định của hàm số y=2016cot⁡20172xy=2016{{\cot }^{2017}}2x là

A. D=R\{π2+kπ∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.          

B. D=R\{kπ2∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.                

C. D=RD=\mathbb{R}.                                          

D.  D=R\{π4+kπ2∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.

Bài 3: Tập xác định của hàm số y=1−cos⁡2017xy=\sqrt{1-\cos 2017x} là

A. D=R\{kπ∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.                       

B. D=RD=\mathbb{R}.               

C. D=R\{π4+kπ; π2+kπ∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi ;\,\frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.              

D.  D=R\{π2+k2π∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}.

Bài 4: Tập xác định của hàm sốy=22−sin⁡6xy=\frac{2}{\sqrt{2-\sin 6x}} là

A. D=R\{kπ∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}.              

B. D=RD=\mathbb{R}.

C. D=R\{π4+kπ∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}.  

D. D=R\{π4+k2π∣k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k2\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}.

A. Bài giải đúng.                                                  

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2.                                                 

D. Sai từ bước 3.

Bài 6: Hàm số y=1sin⁡x+1y=\frac{1}{\sqrt{\sin x+1}} xác định khi và chỉ khi

A. x∈R\{−π2+k2π∣k∈Z}x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}.         

B. x∈Rx\in \mathbb{R}.

C. x=−π2+kπ,k∈Zx=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.                                       

D. x=−π2+k2π,k∈Zx=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.

Bài 7: Tập xác định của hàm số y=6−tan⁡x5sin⁡xy=\frac{6-\tan x}{5\sin x}  là:

A.  D=R\{kπ,k∈Z}D=R\backslash \left\{ k\pi ,k\in Z \right\}      

B.  D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z \right\}      

C.  D=R\{kπ2,k∈Z}D=R\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2},k\in Z \right\}    

D. D={kπ2,k∈Z}D=\left\{ k\frac{\pi }{2},k\in Z \right\}       

Bài 8: Tập xác định của hàm số   y=1+cot⁡22xy=\sqrt{1+{{\cot }^{2}}2x}  là:

A.  D=RD=R                                       

B.  D=R\{kπ2,k∈Z}D=R\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2},k\in Z \right\}            

C.  D=R\{k1800,k∈Z}D=R\backslash \left\{ k{{180}^{0}},k\in Z \right\}             

D.  D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z \right\}       

Bài 9: Tập xác định của hàm số  y=sin⁡x−3xy=\sin \frac{x-3}{x} là:

      A.  D=RD=R                                          

      B. D=R\{0}D=R\backslash \left\{ 0 \right\}                   

                   

      D.  D=ϕD=\phi     

Bài 10: Tìm mm để hàm số y=3x2sin⁡2x−msin⁡x+1y=\frac{3x}{\sqrt{2{{\sin }^{2}}x-m\sin x+1}} xác định trên R\mathbb{R}.

      A. m∈[−22;22]m\in \left[ -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right].                                                      

      B. m∈(−22;22)m\in \left( -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right).

     

       D. m∈{−22;22}m\in \left\{ -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right\}.

Đáp án

1. A

2. C

3. C

4. D

5. D

6. B

7. C

8.B

9. B

10. B.

 

Bài viết gợi ý:

1. Phép vị tự

2. Phép Vị Tự

3. Ôn tập chương I

4. Phép Quay

5. Phép đối xứng tâm

6. Phép đối xứng trục

7. Phép tịnh tiến