Hàm số lượng giác (Dạng 1)

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Lý thuyết

1. Hàm số $y=\operatorname{s}\text{inx}$ và hàm số $y=\cos x$.

a) Hàm số $y=\operatorname{s}\text{inx}$

Đồ thị hàm số:

            - Có tập xác định là $\mathbb{R}$.

                        - Có tập giá trị là $\left[ -1;1 \right]$.

                        - Là hàm số lẻ.

                        - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

                        - Có đồ thị là một đường hình sin.

                        - Tuần hoàn với chu kì $2\pi $.

                        

b) Hàm số $y=\cos x$

Đồ thị hàm số:

- Có tập xác định là $\mathbb{R}$.

                        - Là hàm số chẵn.

                        - Là một đường hình sin.                       

2. Hàm số $y=\tan x$ và hàm số $y=\cot x$

a) Hàm số $y=\tan x$

Đồ thị hàm số:

- Có tập xác định ${{D}_{1}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}$                - Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi $                - Có tập giá trị là $\mathbb{R}$

- Đồng biến trên mỗi khoảng 

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ làm một đường tiệm cận

b) Hàm số $y=\cot x$

- Có tập xác định: \[{{\text{D}}_{2}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\]                           - Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi $                - Có tập giá trị là $\mathbb{R}$

- Đồng biến trên mỗi khoảng 

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng $x=k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ làm một đường tiệm cận.

B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác

Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Cách 1 Tìm tập $D$ của \[\text{x}\] để $f\left( x \right)$ có nghĩa, tức là tìm \[\text{D}=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| f\left( x \right)\in \mathbb{R} \right. \right\}\] .

Cách 2 Tìm tập $E$ của \[\text{x}\] để $f\left( x \right)$ không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là \[\text{D}=\mathbb{R}\backslash E\].

 

1. Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{2\cos x-1}$ là:

A. \[\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{5\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].                               

B. \[\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].

C. \[\text{D}=\left\{ \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{5\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].                    

D. \[\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{5\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].

Chọn A.

Lời giải

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số $y=\frac{1}{2\cos x-1}$ tại $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{5\pi }{3}$ ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A.

Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số $y=\frac{\cot x}{\sin x-1}$ là:

A. \[\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{3}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].                           

B. \[\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].

C. \[\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].             

D. \[\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].

Chọn C.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định khi

+ $\cot x$ xác định $\Leftrightarrow \sin x\ne 0$

+ \[\sin x-1\ne 0\]

Ví dụ 3: Tập hợp $\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}$ không phải là tập xác định của hàm số nào?

A. \[y=\frac{1-\cos x}{\sin x}\].                          

B. \[y=\frac{1-\cos x}{2\sin x}\].        

C. \[y=\frac{1+\cos x}{\sin 2x}\].                       

D. \[y=\frac{1+\cos x}{\sin x}\].

Chọn C.

Lời giải

Ví dụ 4: Tìm tập xác định của hàm số $y=\sin \frac{1}{x}+2x$

A. \[D=\left[ -2;\,2 \right]\].                                  

B. \[D=\left[ -1;\,1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\].                                             

C. \[D=\mathbb{R}\].                                 

D.  \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\].

Lời giải

Chọn D.

Hàm số đã cho xác định khi $\sin \frac{1}{x}$ xác định$\Leftrightarrow x\ne 0$

Ví dụ 5: Cho hàm số \[h\left( x \right)=\sqrt{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x-2m\sin x.\cos x}\].Tất cả các giá trị của tham số \[m\] để hàm số xác định với mọi số thực \[x\](trên toàn trục số) là

A. \[-\frac{1}{2}\le m\le \frac{1}{2}\].                 

B. \[0\le m\le \frac{1}{2}\].      

C. \[-\frac{1}{2}\le m\le 0\].                                  

D. \[m\le \frac{1}{2}\].

Lời giải

Chọn A.

Xét hàm số \[g\left( x \right)={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}+{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-m\sin 2x\]

\[={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x-m\sin 2x\]

\[=1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x-m\sin 2x\].

Đặt \[t=\sin 2x\]\[\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]\].

Hàm số \[h\left( x \right)\] xác định với mọi \[x\in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow -\frac{1}{2}{{t}^{2}}-mt+1\ge 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]\]

\[\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2mt-2\le 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]\].

Đặt \[f\left( t \right)={{t}^{2}}+2mt-2\] trên \[\left[ -1;1 \right]\].

Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.

Ta thấy \[\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 1 \right)\] hoặc \[\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( -1 \right)\]

2. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tập xác định của hàm số x$y=2016{{\tan }^{2017}}2x$ là

A. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].          

B. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].                

C. \[D=\mathbb{R}\].                                          

D.  \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].

Bài 2: Tập xác định của hàm số $y=2016{{\cot }^{2017}}2x$ là

A. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].          

B. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].                

C. \[D=\mathbb{R}\].                                          

D.  \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].

Bài 3: Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-\cos 2017x}$ là

A. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].                       

B. \[D=\mathbb{R}\].               

C. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi ;\,\frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].              

D.  \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}\].

Bài 4: Tập xác định của hàm số\[y=\frac{2}{\sqrt{2-\sin 6x}}\] là

A. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}\].              

B. \[D=\mathbb{R}\].

C. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}\].  

D. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k2\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}\].

A. Bài giải đúng.                                                  

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2.                                                 

D. Sai từ bước 3.

Bài 6: Hàm số \[y=\frac{1}{\sqrt{\sin x+1}}\] xác định khi và chỉ khi

A. \[x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}\].         

B. \[x\in \mathbb{R}\].

C. \[x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\].                                       

D. \[x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\].

Bài 7: Tập xác định của hàm số \[y=\frac{6-\tan x}{5\sin x}\]  là:

A.  \[D=R\backslash \left\{ k\pi ,k\in Z \right\}\]      

B.  \[D=R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z \right\}\]      

C.  \[D=R\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2},k\in Z \right\}\]    

D. \[D=\left\{ k\frac{\pi }{2},k\in Z \right\}\]       

Bài 8: Tập xác định của hàm số   \[y=\sqrt{1+{{\cot }^{2}}2x}\]  là:

A.  \[D=R\]                                       

B.  \[D=R\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2},k\in Z \right\}\]            

C.  \[D=R\backslash \left\{ k{{180}^{0}},k\in Z \right\}\]             

D.  \[D=R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z \right\}\]       

Bài 9: Tập xác định của hàm số  \[y=\sin \frac{x-3}{x}\] là:

      A.  \[D=R\]                                          

      B. \[D=R\backslash \left\{ 0 \right\}\]                   

                   

      D.  \[D=\phi \]    

Bài 10: Tìm \[m\] để hàm số \[y=\frac{3x}{\sqrt{2{{\sin }^{2}}x-m\sin x+1}}\] xác định trên \[\mathbb{R}\].

      A. \[m\in \left[ -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right]\].                                                      

      B. \[m\in \left( -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right)\].

     

       D. \[m\in \left\{ -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right\}\].

Đáp án

1. A

2. C

3. C

4. D

5. D

6. B

7. C

8.B

9. B

10. B.

 

Bài viết gợi ý: