Hàm số lượng giác (Dạng 2, 3)

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (TIẾP)

Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác.

Định Nghĩa.

Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên tập \[D\].

a, Hàm số \[y=f\left( x \right)\] được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi \[x\] thuộc \[D\], ta có \[-x\in D\] và \[f\left( -x \right)=f\left( x \right)\].

b, Hàm số \[y=f\left( x \right)\] được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi \[x\] thuộc \[D\], ta có \[-x\in D\] và \[f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\].

Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:

1, Hàm số \[y=\sin x\] là hàm số lẻ trên \[D=\mathbb{R}\].

2, Hàm số \[y=\cos x\] là hàm số chẵn trên \[D=\mathbb{R}\].

3, Hàm số \[y=\tan x\] là hàm số lẻ trên \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}\].

4, Hàm số \[y=\cot x\] là hàm số lẻ trên \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}\].

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. \[y=-2\cos x\].            

B. \[y=-2\sin x\].             

C. \[y=2\sin \left( -x \right)\].                              

D. \[y=\sin x-\cos x\].

Lời giải

Chọn A.

Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A.

Xét A: Do tập xác định \[D=\mathbb{R}\] nên \[\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow -x\in \mathbb{R}\].

Ta có \[f\left( -x \right)=-2\cos \left( -x \right)=-2\cos x=f\left( x \right)\]. Vậy hàm số \[y=-2\cos x\] là hàm số chẵn.

Ví dụ 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \[y=\frac{\sin 2x}{2\cos x-3}\] thì \[y=f\left( x \right)\] là

A. Hàm số chẵn.                                                  

B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ.                                     

D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Lời giải

Chọn B.

Tập xác định \[D=\mathbb{R}\].

Ta có \[\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\]

\[f\left( -x \right)=\frac{\sin \left( -2x \right)}{2\cos \left( -x \right)-3}=\frac{-\sin 2x}{2\cos x-3}=-f\left( x \right)\]. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Ví dụ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \[y=f\left( x \right)=\cos \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)\], ta được\[y=f\left( x \right)\] là:

A. Hàm số chẵn.                                                  

B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ.                                     

D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Lời giải

Chọn D.

Ta có \[y=\cos \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \cos 2x-\sin 2x \right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \sin 2x-\cos 2x \right)=0\].

Ta có tập xác định \[D=\mathbb{R}\].

Hàm số \[y=0\] vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.

Dạng 3. Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác    

Với các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định nghĩa.

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Xét hàm số $y=\sin \,x$ trên đoạn $\left[ -\pi ;\,0 \right].$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\pi ;\,-\frac{\pi }{2} \right)$ và$\,\,\left( -\frac{\pi }{2};\,0 \right).$                   

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\pi ;\,-\frac{\pi }{2} \right)$; nghịch biến trên khoảng$\,\,\left( -\frac{\pi }{2};\,0 \right).$                   

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\pi ;\,-\frac{\pi }{2} \right)$; đồng biến trên khoảng$\,\,\left( -\frac{\pi }{2};\,0 \right).$                                        

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\pi ;\,-\frac{\pi }{2} \right)$ và$\,\,\left( -\frac{\pi }{2};\,0 \right).$                           

Lời giải

Chọn A.

Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số $y=\sin x$nghịch biến trên khoảng $\left( -\pi ;\,-\frac{\pi }{2} \right)$và đồng biến trên khoảng$\,\,\left( -\frac{\pi }{2};\,0 \right).$  

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số $y=\tan 2x$ trên một chu kì tuần hoàn.  Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{4} \right)$ và$\left( \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2} \right).$                    

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{4} \right)$và nghịch biến trên khoảng$\left( \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2} \right).$                   

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng$\,\,\left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right).$                                                             

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{4} \right)$và đồng biến trên khoảng$\left( \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2} \right).$                   

Lời giải

Chọn A.

 

Tập xác định của hàm số đã cho là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}|\,k\in \mathbb{Z} \right\}.$

 Hàm số $y=\tan 2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi }{2},$ dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên $\left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right)\backslash \left\{ \frac{\pi }{4} \right\}.$

Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=\tan x$ ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với hàm số $y=\tan 2x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{4} \right)$ và$\left( \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2} \right).$      

Bài tập tự luyện dạng 2, dạng 3

Bài 1: Cho hai hàm số \[f\left( x \right)=\frac{1}{x-3}+3{{\sin }^{2}}x\] và \[g\left( x \right)=\sin \sqrt{1-x}\]. Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?

A. Hai hàm số \[f\left( x \right);g\left( x \right)\] là hai hàm số lẻ.

B. Hàm số \[f\left( x \right)\] là hàm số chẵn; hàm số \[f\left( x \right)\] là hàm số lẻ.

C. Hàm số \[f\left( x \right)\] là hàm số lẻ; hàm số \[g\left( x \right)\] là hàm số không chẵn không lẻ.

D. Cả hai hàm số \[f\left( x \right);g\left( x \right)\] đều là hàm số không chẵn không lẻ.

Bài 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \[f\left( x \right)={{\sin }^{2007}}x+\cos nx\], với \[n\in \mathbb{Z}\]. Hàm số \[y=f\left( x \right)\] là:

A. Hàm số chẵn.                                                  

B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ.                                     

D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Hàm số có tập xác định \[D=\mathbb{R}\].

Ta có \[f\left( -x \right)={{\sin }^{2007}}\left( -x \right)+\cos \left( -nx \right)=-{{\sin }^{2007}}x+\cos nx\ne \pm f\left( x \right)\].

Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.

Bài 3: Cho hàm số \[f\left( x \right)=\frac{{{\sin }^{2004n}}x+2004}{\cos x}\], với \[n\in \mathbb{Z}\]. Xét các biểu thức sau:

1, Hàm số đã cho xác định trên \[D=\mathbb{R}\].

2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.

3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.

5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.

Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là

A. \[1\].                           

B. \[2\].                           

C. \[3\].                           

D. \[4\].

Bài 4: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| x \right|sinx.$ Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.$           

B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.          

C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.                

D. Hàm số có tập giá trị là \[\left[ -1;\,1 \right].\]

Bài 5: Xác định tất cả các giá trị của tham số \[m\] để hàm số $y=f\left( x \right)=3m\,\text{sin4x}+\cos 2\text{x}$ là hàm chẵn.

A. $m>0.$                         

B. $m<-1.$                    

C. $m=0.$                     

D. $m=2.$

Bài 6: Xét sự biến thiên của hàm số $y=1-\sin x$ trên một chu kì tuần hoàn của nó.  Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{2};\,0 \right).$              

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right).$                    

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng                                                            

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{2};\,\frac{3\pi }{2} \right).$

Bài 7: Xét sự biến thiên của hàm số $y=\sin x-\cos x.$ Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{4};\,\frac{3\pi }{4} \right).$                    

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( \frac{3\pi }{4};\,\frac{7\pi }{4} \right).$                    

C. Hàm số đã cho có tập giá trị là$\left[ -1;\,\,1 \right].$                                                            

D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{4};\,\frac{7\pi }{4} \right).$

Bài 8: Chọn câu đúng?

A. Hàm số $y=\tan x$ luôn luôn tăng.                    

B. Hàm số $y=\tan x$ luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.              

C. Hàm số $y=\tan x$ tăng trong các khoảng                                                      
D. Hàm số $y=\tan x$ tăng trong các khoảng

Bài 9: Xét hai mệnh đề sau:

(I) $\forall x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$ : Hàm số $y=\frac{1}{\operatorname{s}\text{inx}}$ giảm.

(II) $\forall x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$ : Hàm số $y=\frac{1}{\cos x}$ giảm.

Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:

A. Chỉ (I) đúng .             

B. Chỉ (II) đúng .           

C.  Cả 2 sai .                   

D.  Cả 2 đúng .

Bài 10: Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $y=\left| \tan x \right|$ đồng biến trong $\left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]$  .          

B. $y=\left| \tan x \right|$ là hàm số chẵn trên $D=R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z \right\}$ .                        

C. $y=\left| \tan x \right|$ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.                 

D. $y=\left| \tan x \right|$ luôn nghịch biến trong $\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ .

Đáp án

1. D

2. C

3. B

4. B

5. C

6. D

7. B

8.B

9. B

10. B.

Bài viết gợi ý: