Phép dời hình và hai hình bằng nhau

PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Phép dời hình F:

Nhận xét:

Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là những phép dời hình.
Phép biến hình có được bằng cách thực hiện lien tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình

2. Tính chất

Phép dời hình:

Biến bai điểm thẳng hang thành ba điểm thẳng hang và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành thành góc bằng nó.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là hai hình bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Phép biến hình nào sau đây là một phép dời hình?

A. Phép biến mọi điểm $M$ thành điểm ${{M}^{'}}$ sao cho $O$ là trung điểm của $M{{M}^{'}}$, với O là điểm cho trước.

B. Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d

C. Phép biến mọi điểm $M$thành điểm $O$ cho trước

D. Phép biến mọi điểm $M$ thành điểm ${{M}^{'}}$ là trung điểm của đoạn OM , với $O$là điểm cho trước

Giải:

Với mọi điểm $A,B$ tương ứng có ảnh ${{A}^{'}},{{B}^{'}}$ qua phép biến hình với quy tắc O là trung điểm tương ứng $\Rightarrow AB={{A}^{'}}{{B}^{'}}\Rightarrow $ Đây là phép dời hình.

Chọn A

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[3x-y-3=0\]. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm \[I\left( 1;2 \right)\] và phép tịnh tiến theo vectơ \[\vec{v}=\left( -2;1 \right)\] biến đường thẳng \[d\] thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

A.\[3x-y+1=0.\] B.\[3x-y-8=0.\]

C.\[3x-y+3=0.\] D.\[3x-y+8=0.\]

Giải:

Gọi $d'$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm \[{{\tilde{N}}_{I}}\], suy ra $d'$ song song hoặc trùng với $d$ nên $d':3x-y+c=0$.

Chọn $A\left( 1;0 \right)\in d$. Ta có

Từ \[\overrightarrow{IA'}=-\overrightarrow{IA}\to A'\left( 1;4 \right)\] thay vào $d'$ ta được $3.1-4+c=0\Leftrightarrow c=1\to d':3x-y+1=0.$

Gọi ${d}''$ là ảnh của $d'$ qua phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{v}}},$ suy ra ${d}''$ song song hoặc trùng với $d'$ nên ${d}'':3x-y+m=0$.

Chọn \[A'\left( 1;4 \right)\in d'\]. Ta có

Từ $\overrightarrow{{A}'{A}''}=\vec{v}\xrightarrow{{}}{A}''\left( -1;5 \right)$ thay vào ${d}''$ ta được $3.\left( -1 \right)-5+m=0\Leftrightarrow m=8$.

Vậy ${d}'':3x-y+8=0$.

Chọn D

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho đường tròn \[\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4\]. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục \[Oy\] và phép tịnh tiến theo vectơ \[\vec{v}=\left( 2;3 \right)\] biến \[\left( C \right)\] thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A.\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4.\] B.\[{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=4.\]

C.\[{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4.\] D.\[{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4.\]

Giải:

Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm $I\left( 1;-2 \right)$ và bán kính $R=2$.

Phép dời hình biến \[\left( C \right)\] thành \[\left( {{C}'} \right)\]\[\xrightarrow{{}}\left( {{C}'} \right)\] có tâm $K$ và bán kính $R'=R=2.$

$\bullet $ \[I\left( 1;-2 \right)\xrightarrow{{{}_{Oy}}}H\left( -1;-2 \right).\]

$\bullet $ \[H\left( -1;-2 \right)\xrightarrow[\vec{v}=\left( 2;3 \right)]{{{T}_{\overrightarrow{v}}}}K\left( 1;1 \right).\]

Vậy $\left( {{C}'} \right):\ \ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4.$

Chọn D

Câu 4: Cho hình vuông \[ABCD\] tâm \[O.\] Gọi \[Q\] là phép quay tâm \[A\] biến \[~B\] thành \[D,\] $\tilde{N}$ là phép đối xứng trục \[AD.\] Hỏi phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép quay \[Q\] và phéo đối xứng trục \[AD\] là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm $D.$ B. Phép đối xứng trục $AC.$

C. Phép đối xứng tâm $O.$ D.Phép đối xứng trục $AB.$

Giải:

Phép quay tâm \[A\] biến \[~B\] thành $D$, suy ra góc quay $\alpha =-{{90}^{0}}.$ Ta có:

Từ hình vuông $ABCD$ biến thành hình vuông $ADCB$. Nhận thấy có hai điểm không đổi vị trí là $A$ và $C$ nên suy ra đây là phép đối xứng trục $AC$

Chọn B

Câu 5: Cho hình chữ nhật \[ABCD\] tâm \[O\] với \[M,\text{ }N\] lần lượt là trung điểm \[AB\] và \[CD.\] Hỏi phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AB}$ và phép đối xứng trục \[BC\] là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm $M.$ B. Phép đối xứng tâm $N.$

C. Phép đối xứng tâm $O.$ D. Phép đối xứng trục $MN.$

Giải:

Ta có:

Dựa vào sơ đồ ta thấy $A,\text{ }B$ hoán đổi vị trí; $CD$ hoán đổi vị trí.

Chọn D

Câu 6: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt nhau (không vuông góc) là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc quay khác $\pi .$

Giải:

Tâm quay là giao điểm của hai trục đối xứng. Góc quay bằng hai lần góc tạo bởi hai trục đối xứng.

Chọn D

Câu 7: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục B. Phéo đối xứng tâm

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay

Giải:

Tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}=2\overrightarrow{OO'}$ với $O$ là tâm của phép đối xứng thứ nhất, $O'$ là tâm của phép đối xứng thứ hai.

Chọn B

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \[\vec{v}\] và phép đối xứng tâm $I$ là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép đồng nhất. D. Phép tịnh tiến.

Câu 2: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc quay khác $\pi .$

Câu 3: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng vuông góc với nhau là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc quay khác $\pi .$

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho điểm \[A\left( 3;0 \right)\]. Tìm tọa độ điểm \[{A}'\] là ảnh của điểm \[A\] qua phép quay tâm \[O\left( 0;0 \right)\] góc quay $-\frac{\pi }{2}.$

A. \[{A}'\left( -3;0 \right).\] B. \[{A}'\left( 3;0 \right).\] C. \[{A}'\left( 0;-3 \right).\] D. \[{A}'\left( -2\sqrt{3};2\sqrt{3} \right).\]

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm $A\left( 1;0 \right)$ thành điểm $A'\left( 0;1 \right).$ Khi đó nó biến điểm $M\left( 1;-1 \right)$ thành điểm:

A. $M'\left( -1;-1 \right).$ B. $M'\left( 1;1 \right).$ C. $M'\left( -1;1 \right).$ D. $M'\left( 1;0 \right).$

Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho $\overrightarrow{v}=\left( 2;-1 \right)$. Tìm tọa độ điểm A biết ảnh của nó là điểm $A'\left( 4;-1 \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$:

A. $A\left( 2;0 \right)$ B. $A\left( 1;1 \right)$ C. $A\left( 2;3 \right)$ D. $A\left( 0;2 \right)$

Câu 7: Cho hai đường tròn \[\left( O;R \right)\] và \[\left( O;R \right)\] (O không trùng với O’). Có bao nhiều phép vị tự biến \[\left( O \right)\] thành \[\left( O \right)\]?

A. Không có phép vị tự nào

B. Có một phép vị tự duy nhất

C. Có hai phép vị tự

D. Có vô số phép vị tự

Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là sai? Về phép vị tự tỉ số $k$.

A.Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

B.Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

C.Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

D.Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Câu 9: Trong hệ trục tọa độ \[Oxy\] cho đường tròn \[\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\]. Phép vị tự tâm $I\left( 1;-1 \right)$ tỉ số \[k=4\] biến \[\left( C \right)\] thành:

A.\[{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-11 \right)}^{2}}=8\] B.\[{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-11 \right)}^{2}}=64\]

C.\[{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=16\] D. \[{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y+11 \right)}^{2}}=64\]

Câu 10: Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành d’?

A. Không có phép vị tự nào

B. Có một phép vị tự duy nhất

C. Có hai phép vị tự

D. Có vô số phép vị tự

Đáp án bài tập tự luyện