Chuyên đề: Giải phương trình lượng giác bằng phân tích nhân tử.

Chuyên đề: Phân tích nhân tử trong việc giải phương trình lượng giác

A. Lý thuyết

I. Các đẳng thức cơ bản cần nhớ

1. Nhân tử sinx+cosx

\[\cos 2x=co{{s}^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\left( \cos x-\sin x \right)\left( \cos x+\sin x \right)\]
\[1+\sin 2x={{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}\]
\[1+\tan x=\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\]
\[1+\cot x=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\]
\[\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\sin x+\cos x\]

2. Nhân tử sinx-cosx

\[\cos 2x=co{{s}^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\left( \cos x-\sin x \right)\left( \cos x+\sin x \right)\]
\[1-\sin 2x={{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}\]
\[1-\tan x=\frac{\cos x-\sin x}{\cos x}\]
\[1-\cot x=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}\]
\[\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sin x-\cos x\]

3. Nhân tử \[1\pm \sin x\]

\[{{\cos }^{2}}x=\left( 1+\sin x \right)\left( 1-\sin x \right)\]

4. Nhân tử \[1\pm \cos x\]

\[si{{n}^{2}}x=\left( 1+\cos x \right)\left( 1-\cos x \right)\]

5. Nhân tử \[1\pm 2\sin x\]

\[4{{\cos }^{2}}x-3=1-4{{\sin }^{2}}x=\left( 1-2\sin x \right)\left( 1+2\sin x \right)\]
\[\cos 3x=cosx\left( 4{{\cos }^{2}}x-3 \right)=\cos x\left( 1-2\sin x \right)\left( 1+2\sin x \right)\]

6. Nhân tử \[1\pm 2\cos x\]

\[4{{\sin }^{2}}x-3=1-4{{\cos }^{2}}x=\left( 1-2\cos x \right)\left( 1+2\cos x \right)\]
\[\sin 3x=\sin x\left( 3-4{{\sin }^{2}}x \right)=\sin x\left( 2\cos x-1 \right)\left( 2\cos x+1 \right)\]

II. Một số đẳng thức khác

\[\cot x-\tan x=2\cot 2x\]
\[\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x}\]
\[\cos 3x+\sin 3x=\left( \cos x-\sin x \right)\left( 1+2\sin 2x \right)\]
\[\cos 3x-\sin 3x=\left( \cos x+\sin x \right)\left( 1-2\sin 2x \right)\]

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Nghiệm của phương trình \[\left( 1+{{\sin }^{2}}x \right)\cos x+\left( 1+{{\cos }^{2}}x \right)\sin x=1+\sin 2x\] là:

D. Đáp án khác

Lời giải: Chọn A.

\[\left( 1+{{\sin }^{2}}x \right)\cos x+\left( 1+{{\cos }^{2}}x \right)\sin x=1+\sin 2x\]

\[\Leftrightarrow \sin x+\cos x+\sin x\cos x\left( \sin x+\cos x \right)={{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}\]

\[\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( 1+\sin x\cos x-\sin x-\cos x \right)=0\]

\[\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( 1-\sin x \right)\left( 1-\cos x \right)=0\]

Câu 2: Nghiệm của phương trình 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
A.	B.	C.	D. Đáp án khác

Lời giải: Chọn C.

1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0

\[\Leftrightarrow \sin x+\cos x+{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=0\]

\[\Leftrightarrow \sin x+\cos x+{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}+\left( \cos x-\sin x \right)\left( \cos x+\sin x \right)=0\]

\[\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( 1+\sin x+\cos x+\cos x-\sin x \right)=0\]

\[\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( 1+2\cos x \right)=0\]

Câu 3: Nghiệm của phương trình \[\sin 4x+4\sin \left( \frac{5\pi }{2}+2x \right)=4\left( \sin x+\cos x \right)\] là:
A.	B.	C.	D. Đáp án khác

Lời giải: Chọn B.

\[\sin 4x+4\sin \left( \frac{5\pi }{2}+2x \right)=4\left( \sin x+\cos x \right)\]

\[\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x+4cos2x-4\left( \sin x+\cos x \right)=0\]

\[\Leftrightarrow 2\sin 2x\left( \operatorname{cosx}-sinx \right)\left( \cos x+\sin x \right)+4\left( \operatorname{cosx}-sinx \right)\left( \cos x+\sin x \right)-4\left( \sin x+\cos x \right)=0\]

\[\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( \sin x\cos x\left( \cos x-\sin x \right)+\cos x-\sin x-1 \right)=0\]

Giải (1): \[\sin x+\cos x=0\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \].

Giải (2): Đặt \[t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right),-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\]. Phương trình trở thành:

\[\frac{1-{{t}^{2}}}{2}t+t-1=0\Leftrightarrow {{t}^{3}}-3t+2=0\Leftrightarrow t=1\]

\[t=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \].

Kết hợp lại ta có đáp án B.

Câu 4: Phương trình \[\cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+\tan x}+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x\] có bao nhiêu họ nghiệm?
A. 1	B. 2	C. 3	D. Đáp án khác

Lời giải: Chọn A.

Điều kiện: \[x\ne k\frac{\pi }{2};x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi \].

\[\cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+\tan x}+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x\]

\[\Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=\frac{\cos x\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)}{\sin x+\cos x}+{{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x\]

\[\Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=\frac{\cos x\left( \cos x-\sin x \right)\left( \operatorname{cosx}+sinx \right)}{\sin x+\cos x}+\sin x\left( \sin x-\cos x \right)\]

\[\Leftrightarrow \left( \cos x-\sin x \right)\left( 1-\sin x\cos x+{{\sin }^{2}}x \right)=0\]

Câu 5: Nghiệm của phương trình là 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx là
A.	B.	C.	D. Đáp án khác

Lời giải: Chọn B.

2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

\[\Leftrightarrow 2\sin x-2\cos x+2\sin x\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)+2\sin x\cos x-1=0\]

\[\Leftrightarrow 2\left( \sin x-\cos x \right)+2\sin x\left( \cos x-\sin x \right)\left( \cos x+\sin x \right)-{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}=0\]

\[\Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)\left( 2-2\sin x\cos x-2{{\sin }^{2}}x-\sin x+\cos x \right)=0\]

\[\Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)\left( -2\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x-\sin x+\cos x \right)=0\]

\[\Leftrightarrow {{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}\left( 2\cos x+1 \right)=0\]

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Số họ nghiệm của phương trình \[{{\cos }^{2}}x+\cos x+{{\sin }^{3}}x=0\] là
A. 1	B. 2	C. 3	D. Đáp án khác
Câu 2: Số họ nghiệm của phương trình \[\frac{{{\cos }^{2}}x\left( \cos x-1 \right)}{\sin x+\cos x}=2\left( 1+\sin x \right)\] là
A. 1	B. 3	C. 5	D. Đáp án khác
Câu 3: Số họ nghiệm của phương trình \[4{{\cos }^{2}}x+\left( 2\sin x-1 \right)\left( 2\sin 2x+1 \right)=3\] là
A. 1	B. 2	C. 4	D. Đáp án khác
Câu 4: Số họ nghiệm của phương trình \[\frac{\cos 2x+\sin 2x+3\sin x+\cos x}{\cos x+1}=2\] là
A. 1	B. 2	C. 3	D. Đáp án khác
Câu 5: Số họ nghiệm của phương trình \[\cos 3x+\cos 2x+\sin 2x+\sin x-5\cos x=3\] là
A. 1	B. 2	C. 3	D. Đáp án khác
Câu 6: Số họ nghiệm của phương trình \[\cos 2x+4\cos x+2\sin x+3=0\] là
A. 1	B. 2	C. 3	D. Đáp án khác
Câu 7: Số họ nghiệm của phương trình \[\frac{5+\cos 2x}{3+2\tan x}=2\cos x\] là
A. 1	B. 3	C. 4	D. Đáp án khác
Câu 8: Số họ nghiệm của phương trình \[4{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}-\sqrt{3}\cos 2x=1+2{{\cos }^{2}}\left( x-\frac{3\pi }{4} \right)\] là
A. 2	B. 3	C. 4	D. Đáp án khác
Câu 9: Số họ nghiệm của phương trình \[2{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-2x \right)+\sqrt{3}\cos 4x=4{{\cos }^{2}}x-1\] là
A. 3	B. 4	C. 5	D. Đáp án khác
Câu 10: Số họ nghiệm của phương trình \[\frac{2\cos 3x.\cos x+\sqrt{3}\left( 1+\sin 2x \right)}{{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}+2x \right)}=2\sqrt{3}\] là
A. 1	B. 2	C. 3	D. Đáp án khác