Chuyên đề: Xác định công thức tổng quát từ công thức truy hồi.

Chuyên đề: Xác định công thức tổng quát của dãy số bằng công thức truy hồi (Phần I)

A. Lý thuyết

I. Các công thức về cấp số cộng và cấp số nhân

1. Cấp số cộng

a. Định nghĩa: \[{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+d\]

b. Số hạng tổng quát: \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d\]

c. Tổng của n số hạng đầu dãy: \[{{S}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\frac{n\left( 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right)}{2}\]

2. Cấp số nhân

a. Định nghĩa: \[{{u}_{n}}=q.{{u}_{n-1}}\]

b. Số hạng tổng quát: \[{{u}_{n}}={{q}^{n-1}}.{{u}_{1}}\]

c. Tổng của n số hạng đầu dãy: \[{{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}\]

II. Công thức tổng quát của một số dãy có công thức truy hồi đặc biệt

Dạng 1: Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right):{{u}_{1}}={{x}_{0}},\text{ }{{u}_{n}}=a{{u}_{n-1}}+b\text{ }\left( a,b\ne 0 \right)\] có công thức tổng quát là: \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)b\] khi a=1 \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{a}^{n-1}}+b.\frac{{{a}^{n-1}}-1}{a-1}\] khi \[a\ne 1\]

Chứng minh:

Nếu a=1 thì dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng có công sai d=b nên \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)b\] .

Nếu \[a\ne 1\], ta viết \[b=\frac{ab}{a-1}-\frac{b}{a-1}\]. Khi đó: \[{{u}_{n}}+\frac{b}{a-1}=a\left( {{u}_{n-1}}+\frac{b}{a-1} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}+\frac{b}{a-1}={{a}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}+\frac{b}{a-1} \right)\]. Từ đây ta có \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{a}^{n-1}}+b\frac{{{a}^{n-1}}-1}{a-1}\].

Dạng 2: Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được xác định bởi \[{{u}_{1}}={{x}_{0}};{{u}_{n}}=a.{{u}_{n-1}}+f\left( n \right)\] trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n thì công thức tổng quát của dãy là \[{{u}_{n}}=\left( {{u}_{1}}-g\left( 1 \right) \right).{{a}^{n-1}}+g\left( n \right)\]. Nếu a=1 thì g(n) là đa thức bậc k+1, có hệ số tự do bằng 0. Nếu \[a\ne 1\] thì g(n) là đa thức bậc k.

Chứng minh:

• f(n)=g(n)-a.g(n-1) với g(n) là một đa thức theo n. Khi đó, ta đặt \[{{v}_{n}}={{u}_{n}}-g\left( n \right)\] thì \[{{u}_{n}}=\left( {{u}_{1}}-g\left( 1 \right) \right).{{a}^{n-1}}+g\left( n \right)\]. Ta xác định g(n):
• Nếu a=1 thì g(n)-ag(n-1) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n), mà f(n) là đa thức bậc k nên để vẫn giữu nguyên bậc của f(n) ta chọn g(n) là đa thức có bậc k+1, có hệ số tự do bằng 0 và khi đó để xác định g(n) thì ta lập hệ để đồng nhất hệ số.
• Nếu \[a\ne 1\] thì g(n)-ag(n-1) là một đa thức bậc k cùng bậc với f(n) thì đồng nhất hệ số ta sẽ tìm được g(n).

 

Dạng 3: Cho dãy  thì ta có công thức tổng quát của dãy là: Nếu \[a=\alpha \Rightarrow {{u}_{n}}=b\left( n-1 \right){{\alpha }^{n}}+{{u}_{1}}{{\alpha }^{n-1}}\]. Nếu \[a\ne \alpha \], ta phân tích \[{{\alpha }^{n}}=k.{{\alpha }^{n}}-ak.{{\alpha }^{n-1}}\]. Khi đó: \[{{u}_{n}}={{a}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}-bk \right)+bk.{{\alpha }^{n}}\] ta tìm được \[k=\frac{\alpha }{\alpha -a}\].

Chứng minh:

• Nếu \[\alpha \ne a\] thì \[{{\alpha }^{n}}=k.{{\alpha }^{n}}-ak.{{\alpha }^{n-1}}\]. Khi đó \[{{u}_{n}}-kb.{{\alpha }^{n}}=a\left( {{u}_{n-1}}-kb.{{\alpha }^{n-1}} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}-kb{{\alpha }^{n}}={{a}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}-bk \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{a}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}-bk \right)+bk{{\alpha }^{n-1}}\]
• Nếu \[\alpha =a\], ta có \[{{\alpha }^{n}}=n.{{\alpha }^{n}}-\alpha \left( n-1 \right).{{\alpha }^{n-1}}\Rightarrow {{u}_{n}}-bn.{{\alpha }^{n}}=\alpha \left( {{u}_{n-1}}-b\left( n-1 \right).{{\alpha }^{n-1}} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}=b\left( n-1 \right){{\alpha }^{n}}+{{u}_{1}}{{\alpha }^{n-1}}\]

 

Dạng 4: Công thức tổng quát dãy . Trong đó f(n) là đa thức theo n bậc k, ta phân tích \[{{\alpha }^{n}}\] và f(n) như cách phân tích ở dạng 2 và dạng 3.

 

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Xác định công thức tổng quát của dãy : \[{{u}_{1}}=-2,{{u}_{n}}=3{{u}_{n-1}}-1\]

Lời giải:

Ta thấy đây là dạng 1. Nên áp dụng công thức ta có \[{{u}_{n}}=-\frac{5}{2}{{.3}^{n}}+\frac{1}{2}\]

Câu 2: Xác định công thức tổng quát của dãy: \[{{u}_{1}}=2;{{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}+3n-1\]

Lời giải:

Ta thấy đây là dạng 2, áp dụng công thức ta có \[{{u}_{n}}={{5.2}^{n}}-3n-5\]

Câu 3: Xác định công thức tổng quát của dãy \[{{u}_{1}}=1;{{u}_{n}}=3{{u}_{n-1}}+{{2}^{n}}\]

Lời giải:

Ta có: \[{{2}^{n}}=a{{.2}^{n}}-3\text{a}{{.2}^{n-1}}\]. Cho n=1, có a=-2\[\Rightarrow {{2}^{n}}=-{{2.2}^{n}}+{{3.2.2}^{n-1}}\Rightarrow {{u}_{n}}+{{2.2}^{n}}=3\left( {{u}_{n-1}}+{{2.2}^{n-1}} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{5.3}^{n-1}}-{{2}^{n+1}}\].

Hoặc áp dụng công thức đa xây dựng ta cũng được kết quả như trên.

Câu 4: Xác định công thức tổng quát của dãy: \[{{u}_{1}}=-2;{{u}_{n}}=5{{u}_{n-1}}+{{2.3}^{n}}-{{6.7}^{n}}+12\]

Lời giải:

Ta thấy đây là dạng 4.

Ta có: cho n=1, ta được .

Nên \[{{u}_{n}}+{{3.3}^{n}}+{{21.7}^{n}}+3=5\left( {{u}_{n-1}}+{{3.3}^{n-1}}+{{21.7}^{n-1}}+3 \right)\]\[\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{5}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}+9+147+3 \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{157.5}^{n-1}}-{{3}^{n+1}}-{{3.7}^{n+1}}-3\].

Câu 5: Xác định công thức tổng quát của dãy \[{{u}_{1}}=1;{{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}+{{3}^{n}}-n\]

Lời giải:

Ta phân tích   nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau \[{{u}_{n}}-{{3.3}^{n}}-n-2=2\left( {{u}_{n-1}}-{{3.3}^{n-1}}-\left( n-1 \right)-2 \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}-{{3.3}^{n}}-n-2={{2}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}-12 \right)\]. Vậy \[{{u}_{n}}=-{{11.2}^{n-1}}+{{3}^{n+1}}+n+2\]

 

 

 

Bài viết gợi ý: