Chuyên đề: Xác định công thức tổng quát của dãy số bằng công thức truy hồi (Phần I)

A. Lý thuyết

I. Các công thức về cấp số cộng và cấp số nhân

1. Cấp số cộng

a. Định nghĩa: un=un−1+d{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+d

b. Số hạng tổng quát: un=u1+(n−1)d{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d

c. Tổng của n số hạng đầu dãy: Sn=n(u1+un)2=n(2u1+(n−1)d)2{{S}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\frac{n\left( 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right)}{2}

2. Cấp số nhân

a. Định nghĩa: un=q.un−1{{u}_{n}}=q.{{u}_{n-1}}

b. Số hạng tổng quát: un=qn−1.u1{{u}_{n}}={{q}^{n-1}}.{{u}_{1}}

c. Tổng của n số hạng đầu dãy: Sn=u1.1−qn1−q{{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}

II. Công thức tổng quát của một số dãy có công thức truy hồi đặc biệt

Dạng 1: Dãy số (un):u1=x0, un=aun−1+b (a,b≠0)\left( {{u}_{n}} \right):{{u}_{1}}={{x}_{0}},\text{ }{{u}_{n}}=a{{u}_{n-1}}+b\text{ }\left( a,b\ne 0 \right) có công thức tổng quát là:

  • un=u1+(n−1)b{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)b khi a=1
  • un=u1.an−1+b.an−1−1a−1{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{a}^{n-1}}+b.\frac{{{a}^{n-1}}-1}{a-1} khi a≠1a\ne 1

Chứng minh:

Nếu a=1 thì dãy (un)\left( {{u}_{n}} \right) là cấp số cộng có công sai d=b nên un=u1+(n−1)b{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)b .

Nếu a≠1a\ne 1, ta viết b=aba−1−ba−1b=\frac{ab}{a-1}-\frac{b}{a-1}. Khi đó: un+ba−1=a(un−1+ba−1)⇔un+ba−1=an−1(u1+ba−1){{u}_{n}}+\frac{b}{a-1}=a\left( {{u}_{n-1}}+\frac{b}{a-1} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}+\frac{b}{a-1}={{a}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}+\frac{b}{a-1} \right). Từ đây ta có un=u1.an−1+ban−1−1a−1{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{a}^{n-1}}+b\frac{{{a}^{n-1}}-1}{a-1}.

Dạng 2: Dãy số (un)\left( {{u}_{n}} \right) được xác định bởi u1=x0;un=a.un−1+f(n){{u}_{1}}={{x}_{0}};{{u}_{n}}=a.{{u}_{n-1}}+f\left( n \right) trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n thì công thức tổng quát của dãy là un=(u1−g(1)).an−1+g(n){{u}_{n}}=\left( {{u}_{1}}-g\left( 1 \right) \right).{{a}^{n-1}}+g\left( n \right).

  • Nếu a=1 thì g(n) là đa thức bậc k+1, có hệ số tự do bằng 0.
  • Nếu a≠1a\ne 1 thì g(n) là đa thức bậc k.

Chứng minh:

  • f(n)=g(n)-a.g(n-1) với g(n) là một đa thức theo n. Khi đó, ta đặt vn=un−g(n){{v}_{n}}={{u}_{n}}-g\left( n \right) thì un=(u1−g(1)).an−1+g(n){{u}_{n}}=\left( {{u}_{1}}-g\left( 1 \right) \right).{{a}^{n-1}}+g\left( n \right). Ta xác định g(n):
  • Nếu a=1 thì g(n)-ag(n-1) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n), mà f(n) là đa thức bậc k nên để vẫn giữu nguyên bậc của f(n) ta chọn g(n) là đa thức có bậc k+1, có hệ số tự do bằng 0 và khi đó để xác định g(n) thì ta lập hệ để đồng nhất hệ số.
  • Nếu a≠1a\ne 1 thì g(n)-ag(n-1) là một đa thức bậc k cùng bậc với f(n) thì đồng nhất hệ số ta sẽ tìm được g(n).

 

Dạng 3: Cho dãy  thì ta có công thức tổng quát của dãy là:

  • Nếu a=α⇒un=b(n−1)αn+u1αn−1a=\alpha \Rightarrow {{u}_{n}}=b\left( n-1 \right){{\alpha }^{n}}+{{u}_{1}}{{\alpha }^{n-1}}.
  • Nếu a≠αa\ne \alpha , ta phân tích αn=k.αn−ak.αn−1{{\alpha }^{n}}=k.{{\alpha }^{n}}-ak.{{\alpha }^{n-1}}. Khi đó: un=an−1(u1−bk)+bk.αn{{u}_{n}}={{a}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}-bk \right)+bk.{{\alpha }^{n}} ta tìm được k=αα−ak=\frac{\alpha }{\alpha -a}.

Chứng minh:

  • Nếu α≠a\alpha \ne a thì αn=k.αn−ak.αn−1{{\alpha }^{n}}=k.{{\alpha }^{n}}-ak.{{\alpha }^{n-1}}. Khi đó un−kb.αn=a(un−1−kb.αn−1)⇔un−kbαn=an−1(u1−bk)⇔un=an−1(u1−bk)+bkαn−1{{u}_{n}}-kb.{{\alpha }^{n}}=a\left( {{u}_{n-1}}-kb.{{\alpha }^{n-1}} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}-kb{{\alpha }^{n}}={{a}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}-bk \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{a}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}-bk \right)+bk{{\alpha }^{n-1}}
  • Nếu α=a\alpha =a, ta có αn=n.αn−α(n−1).αn−1⇒un−bn.αn=α(un−1−b(n−1).αn−1)⇔un=b(n−1)αn+u1αn−1{{\alpha }^{n}}=n.{{\alpha }^{n}}-\alpha \left( n-1 \right).{{\alpha }^{n-1}}\Rightarrow {{u}_{n}}-bn.{{\alpha }^{n}}=\alpha \left( {{u}_{n-1}}-b\left( n-1 \right).{{\alpha }^{n-1}} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}=b\left( n-1 \right){{\alpha }^{n}}+{{u}_{1}}{{\alpha }^{n-1}}

 

Dạng 4: Công thức tổng quát dãy . Trong đó f(n) là đa thức theo n bậc k, ta phân tích αn{{\alpha }^{n}} và f(n) như cách phân tích ở dạng 2 và dạng 3.

 

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Xác định công thức tổng quát của dãy :

u1=−2,un=3un−1−1{{u}_{1}}=-2,{{u}_{n}}=3{{u}_{n-1}}-1

Lời giải:

Ta thấy đây là dạng 1. Nên áp dụng công thức ta có un=−52.3n+12{{u}_{n}}=-\frac{5}{2}{{.3}^{n}}+\frac{1}{2}

Câu 2: Xác định công thức tổng quát của dãy:

u1=2;un=2un−1+3n−1{{u}_{1}}=2;{{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}+3n-1

Lời giải:

Ta thấy đây là dạng 2, áp dụng công thức ta có un=5.2n−3n−5{{u}_{n}}={{5.2}^{n}}-3n-5

Câu 3: Xác định công thức tổng quát của dãy

u1=1;un=3un−1+2n{{u}_{1}}=1;{{u}_{n}}=3{{u}_{n-1}}+{{2}^{n}}

Lời giải:

Ta có: 2n=a.2n−3a.2n−1{{2}^{n}}=a{{.2}^{n}}-3\text{a}{{.2}^{n-1}}. Cho n=1, có a=-2⇒2n=−2.2n+3.2.2n−1⇒un+2.2n=3(un−1+2.2n−1)⇔un=5.3n−1−2n+1\Rightarrow {{2}^{n}}=-{{2.2}^{n}}+{{3.2.2}^{n-1}}\Rightarrow {{u}_{n}}+{{2.2}^{n}}=3\left( {{u}_{n-1}}+{{2.2}^{n-1}} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{5.3}^{n-1}}-{{2}^{n+1}}.

Hoặc áp dụng công thức đa xây dựng ta cũng được kết quả như trên.

Câu 4: Xác định công thức tổng quát của dãy:

u1=−2;un=5un−1+2.3n−6.7n+12{{u}_{1}}=-2;{{u}_{n}}=5{{u}_{n-1}}+{{2.3}^{n}}-{{6.7}^{n}}+12

Lời giải:

Ta thấy đây là dạng 4.

Ta có: cho n=1, ta được .

Nên un+3.3n+21.7n+3=5(un−1+3.3n−1+21.7n−1+3){{u}_{n}}+{{3.3}^{n}}+{{21.7}^{n}}+3=5\left( {{u}_{n-1}}+{{3.3}^{n-1}}+{{21.7}^{n-1}}+3 \right)⇔un=5n−1(u1+9+147+3)⇔un=157.5n−1−3n+1−3.7n+1−3\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{5}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}+9+147+3 \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{157.5}^{n-1}}-{{3}^{n+1}}-{{3.7}^{n+1}}-3.

Câu 5: Xác định công thức tổng quát của dãy

u1=1;un=2un−1+3n−n{{u}_{1}}=1;{{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}+{{3}^{n}}-n

Lời giải:

Ta phân tích   nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau un−3.3n−n−2=2(un−1−3.3n−1−(n−1)−2)⇔un−3.3n−n−2=2n−1(u1−12){{u}_{n}}-{{3.3}^{n}}-n-2=2\left( {{u}_{n-1}}-{{3.3}^{n-1}}-\left( n-1 \right)-2 \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}-{{3.3}^{n}}-n-2={{2}^{n-1}}\left( {{u}_{1}}-12 \right). Vậy un=−11.2n−1+3n+1+n+2{{u}_{n}}=-{{11.2}^{n-1}}+{{3}^{n+1}}+n+2

Hoặc dùng công thức đã xây dựng ở dạng 4 ta cũng được công thức tổng quát như trên.

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=2;un=un−1+2n+1{{u}_{1}}=2;{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+2n+1.

Câu 2: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=1;un+1=2un+3{{u}_{1}}=1;{{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+3

Câu 3: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=5;un+1=un+3n−2{{u}_{1}}=5;{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+3n-2

Câu 4: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=11;un+1=10un+1−9n{{u}_{1}}=11;{{u}_{n+1}}=10{{u}_{n}}+1-9n

Câu 5: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=1;un+1=un+(12)n{{u}_{1}}=1;{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}

Câu 6: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=8;un+1=2un+3n{{u}_{1}}=8;{{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+{{3}^{n}}

Câu 7: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=1;un+1=2un+6.2n{{u}_{1}}=1;{{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+{{6.2}^{n}}

Câu 8: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=0;un+1=un+2n.3n{{u}_{1}}=0;{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+2n{{.3}^{n}}

Câu 9: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=101;un+1=7un+7n+1{{u}_{1}}=101;{{u}_{n+1}}=7{{u}_{n}}+{{7}^{n+1}}

Câu 10: Xác định công thức tổng quát của dãy u1=1;un+1=5un−3n{{u}_{1}}=1;{{u}_{n+1}}=5{{u}_{n}}-{{3}^{n}}

                                                Đáp án bài tập tự luyện

 

Câu 1: un=n2+2n−1{{u}_{n}}={{n}^{2}}+2n-1

 

Câu 6: un=5.2n−1+3n{{u}_{n}}={{5.2}^{n-1}}+{{3}^{n}}

 

Câu 2: un=4.2n−1−3{{u}_{n}}={{4.2}^{n-1}}-3

 

Câu 7: un=3n.2n−5.2n−1{{u}_{n}}=3n{{.2}^{n}}-{{5.2}^{n-1}}

 

Câu 3: un=3n2−7n+142{{u}_{n}}=\frac{3{{n}^{2}}-7n+14}{2}

 

Câu 8: un=3−3n+12+n.3n{{u}_{n}}=\frac{3-{{3}^{n+1}}}{2}+n{{.3}^{n}}

 

Câu 4: un=10n+n{{u}_{n}}={{10}^{n}}+n

 

Câu 9: un=n.7n+94{{u}_{n}}=n{{.7}^{n}}+94

 

 

Câu 5: un=2−(12)n−1{{u}_{n}}=2-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}

 

Câu 10: un=12(3n−5n−1){{u}_{n}}=\frac{1}{2}\left( {{3}^{n}}-{{5}^{n-1}} \right)

 

 

 

Bài viết gợi ý:

1. Phép dời hình và hai hình bằng nhau

2. Phép đồng dạng

3. Phép quay

4. Hàm số lượng giác (Dạng 2, 3)

5. Hàm số lượng giác (Dạng 1)

6. Phép vị tự

7. Phép Vị Tự