XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. Lý thuyết
Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
Nếu D là tập đối xứng (tức là \[\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\] ), ta thực hiện tiếp bước 2
Nếu D không là tập đối xứng (tức là $\exists x\in D$ mà \[-x\notin D\] ), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Bước 2: Xác định \[f\left( -x \right)\] , khi đó:
Nếu \[f\left( -x \right)=f\left( x \right)~\]kết luận hàm số là hàm chãn
Nếu \[f\left( -x \right)=-f\left( x \right)~\]kết luận hàm số là hàm lẻ
Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cùng không lẻ
B. Bài tập minh họa
|
Câu 1: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=2x-\sin 3x$. |
Giải:
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( x \right)=2x-\sin 3x$.
$f\left( -x \right)=2\left( -x \right)-\sin 3\left( -x \right)=-2x+\sin 3x=-\left( 2x-\sin 3x \right)$.
$\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$.
Vậy $y=2x-\sin 3x$ là hàm số lẻ
|
Câu 2: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x$. |
Giải:
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với $x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x$.
$f\left( -x \right)=1+2{{\left( -x \right)}^{2}}-\cos 3\left( -x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x=f\left( x \right)$.
$\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.
Vậy $y=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x$ là hàm số chẵn.
|
Câu 3: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=2-\sin x\cos \left( \frac{5\pi }{2}-2x \right)$. |
Giải:
Ta có $y=2-\sin x\cos \left( \frac{5\pi }{2}-2x \right)=2-\sin x\sin 2x$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với $x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( x \right)=2-\sin x\sin 2x$.
\[f\left( -x \right)=2-\sin \left( -x \right)\sin \left( -2x \right)=2-\sin x\sin 2x\].
$\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.
Vậy hàm y chẵn.
|
Câu 4: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\left| x \right|\cos 2x$. |
Giải:
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với $x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( x \right)=\left| x \right|\cos 2x$.
\[f\left( -x \right)=\left| -x \right|\cos \left( -2x \right)=\left| x \right|\cos 2x=f\left( x \right)\].
$\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.
Vậy y là hàm chẵn.
|
Câu 5: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|$. |
Giải:
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với $x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|$.
$f\left( -x \right)=4{{\left( -x \right)}^{2}}-\sin \left| -3x \right|=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|=f\left( x \right)$.
$\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.
Vậy y là hàm chẵn.
|
Câu 6: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\tan x-2\cos 3x$. |
Giải:
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Với $x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=1+\sqrt{2},\text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)=-1+\sqrt{2}\Rightarrow \text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne f\left( \frac{\pi }{4} \right)$ và $f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne -f\left( \frac{\pi }{4} \right)$.
Vậy hàm y không chẵn, không lẻ.
|
Câu 7: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\sin x{{\cos }^{2}}x+\tan x$. |
Giải:
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( x \right)=\sin x{{\cos }^{2}}x+\tan x$.
$f\left( -x \right)=\sin \left( -x \right){{\cos }^{2}}\left( -x \right)+\tan \left( -x \right)=-\sin x{{\cos }^{2}}x-\tan x$.
$\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$.
Vậy y là hàm số lẻ.
|
Câu 8: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-3x \right)$. |
Giải:
Ta có $y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-3x \right)=1-\cos x\cos 3x$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với $x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( x \right)=1-\cos x\cos 3x$.
$f\left( -x \right)=1-\cos \left( -x \right)\cos \left( -3x \right)=1-\cos x\cos 3x=f\left( x \right)$.
$\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.
Vậy y là hàm chẵn.
|
Câu 9: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}$. |
Giải:
Hàm số xác định $\Leftrightarrow {{\cos }^{3}}2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Với $x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( x \right)=\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}$.
$f\left( -x \right)=\frac{\left| -x \right|\sin \left( -2x \right)}{{{\cos }^{3}}\left( -2x \right)}=-\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}$.
$\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$.
Vậy y là hàm số lẻ.
|
Câu 10: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}$. |
Giải:
Biểu thức $5+\cos x\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.
Ta có $f\left( x \right)=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}$.
$f\left( -x \right)=\frac{2\sin \left( -x \right)-4\tan \left( -x \right)}{5+\cos \left( -x \right)}=\frac{-2\sin x+4\tan x}{5+\cos x}$.
$\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$.
Vậy y là hàm số lẻ.
C. Bài tập rèn luyện
Xét tính chẵn lẻ của hàm số.
1. y = xcos3x 2.\[y=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\] 3. y = x3sin2x 4.\[y=\frac{{{x}^{3}}-\sin x}{\cos 2x}\]
5. \[y=\frac{\cos 2x}{x}\] 6. y = x – sinx 7. \[y=\sqrt{1-\cos x}\] 8.\[y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-2x \right)\]
9. y = cosx + sin2x 10. y = sin2x + cos2x 11. y = cot2x + 5sinx 12. \[y=\tan \left( x-\frac{\pi }{3} \right)\]
