VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT
- $\bullet $ Tích $f'({{x}_{0}}).\Delta x$ được gọi là vi phân của hàm số $y=f(x)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ (ứng với số gia $\Delta x$) được kí hiệu là $df({{x}_{0}})=f'({{x}_{0}})\Delta x$.
- $\bullet $ Nếu hàm số $f$ có đạo hàm $f'$ thì tích $f'(x)\Delta x$ được gọi là vi phân hàm số $y=f(x)$, kí hiệu là: $df(x)=f'(x)\Delta x$.
- Đặc biệt: $dx=x'\Delta x=\Delta x$ nên ta viết $df(x)=f'(x)dx$.
B – BÀI TẬP
I. Bài tập minh họa
Câu 1. Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}$. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số$f\left( x \right)$?
A. $\text{d}y=2\left( x-1 \right)\text{d}x$. B. $\text{d}y={{\left( x-1 \right)}^{2}}\text{d}x$.
C. $\text{d}y=2\left( x-1 \right)$. D. $\text{d}y=2\left( x-1 \right)\text{d}x$.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có $\text{d}y={f}'\left( x \right)\text{d}x=2\left( x-1 \right)\text{d}x$.
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số $y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}$
A. $dy=(3{{x}^{2}}-4x)dx$ B. $dy=(3{{x}^{2}}+x)dx$
C. $dy=(3{{x}^{2}}+2x)dx$ D. $dy=(3{{x}^{2}}+4x)dx$
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
$dy=(3{{x}^{2}}+4x)dx$
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số $y=\sqrt{3x+2}$
A. $dy=\frac{3}{\sqrt{3x+2}}dx$ B. $dy=\frac{1}{2\sqrt{3x+2}}dx$
C. $dy=\frac{1}{\sqrt{3x+2}}dx$ D. $dy=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}dx$
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
$dy=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}dx$
Câu 4. Cho hàm số $y={{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x-5$. Vi phân của hàm số là:
A.$\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x$. B. $\text{d}y=\left( -3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x$.
C. $\text{d}y=-\left( 3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x$. D. $\text{d}y=\left( -3{{x}^{2}}+18x-12 \right)\text{d}x$.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có $\text{d}y={{\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x-5 \right)}^{\prime }}\text{d}x=\left( 3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x$.
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số $y={{(3x+1)}^{10}}$
A. $dy=10{{(3x+1)}^{9}}dx$ B. $dy=30{{(3x+1)}^{10}}dx$
C. $dy=9{{(3x+1)}^{10}}dx$ D. $dy=30{{(3x+1)}^{9}}dx$
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
$dy=30{{(3x+1)}^{9}}dx$.
II. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm vi phân của các hàm số $y=\sin 2x+{{\sin }^{3}}x$
A. $dy=\left( \cos 2x+3{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$ B. $dy=\left( 2\cos 2x+3{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$
C. $dy=\left( 2\cos 2x+{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$ D. $dy=\left( \cos 2x+{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số $y=\tan 2x$
A. $dy=(1+{{\tan }^{2}}2x)dx$ B. $dy=(1-{{\tan }^{2}}2x)dx$
C. $dy=2(1-{{\tan }^{2}}2x)dx$ D. $dy=2(1+{{\tan }^{2}}2x)dx$
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số $y=\sqrt[3]{x+1}$
A. $dy=\frac{1}{\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx$ B. $dy=\frac{3}{\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx$
C. $dy=\frac{2}{\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx$ D. $dy=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx$
Câu 4. Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}$. Chọn câu đúng:
A. $\text{d}f(x)=\frac{-\sin 4x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$. B. $\text{d}f(x)=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$.
C. $\text{d}f(x)=\frac{\cos 2x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$. D. $\text{d}f(x)=\frac{-\sin 2x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$.
Câu 5. Cho hàm số$y={{x}^{3}}-5x+6$ . Vi phân của hàm số là:
A. $\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x$. B. $\text{d}y=-\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x$.
C. $\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}+5 \right)\text{d}x$. D. $\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x$.
Câu 6. Cho hàm số $y=\frac{1}{3{{x}^{3}}}$. Vi phân của hàm số là:
A. $\text{d}y=\frac{1}{4}\text{d}x$. B. $\text{d}y=\frac{1}{{{x}^{4}}}\text{d}x$. C. $\text{d}y=-\frac{1}{{{x}^{4}}}\text{d}x$. D. $\text{d}y={{x}^{4}}\text{d}x$.
Câu 7. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$. Vi phân của hàm số là:
A. $\text{d}y=\frac{\text{d}x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$. B. $\text{d}y=\frac{3\text{d}x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.
C. $\text{d}y=\frac{-3\text{d}x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$. D. $\text{d}y=-\frac{\text{d}x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.
Câu 8. Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x-1}$. Vi phân của hàm số là:
A. $\text{d}y=-\frac{{{x}^{2}}-2x-2}{{{(x-1)}^{2}}}\text{d}x$. B. $\text{d}y=\frac{2x+1}{{{(x-1)}^{2}}}\text{d}x$.
C. $\text{d}y=-\frac{2x+1}{{{(x-1)}^{2}}}\text{d}x$. D. $\text{d}y=\frac{{{x}^{2}}-2x-2}{{{(x-1)}^{2}}}\text{d}x$.
Câu 9. Cho hàm số $y=\sin x-3\cos x$. Vi phân của hàm số là:
A. $\text{d}y=\left( -\cos x+3\sin x \right)\text{d}x$. B. $\text{d}y=\left( -\cos x-3\sin x \right)\text{d}x$.
C. $\text{d}y=\left( \cos x+3\sin x \right)\text{d}x$. D. $\text{d}y=-\left( \cos x+3\sin x \right)\text{d}x$.
Câu 10. Cho hàm số \[y={{\sin }^{2}}x\]. Vi phân của hàm số là:
A. \[\text{d}y=\sin 2x\,\text{d}x\]. B. \[\text{d}y=\sin 2x\,\text{d}x\]. C. \[\text{d}y=\sin x\,\text{d}x\]. D. \[\text{d}y=\text{2cos}x\,\text{d}x\].
Câu 11. Vi phân của hàm số \[y=\frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\]là:
A. \[\text{d}y=\frac{2\sqrt{x}}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x\]. B. \[\text{d}y=\frac{\sin (2\sqrt{x})}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x\].
C. \[\text{d}y=\frac{2\sqrt{x}-\sin (2\sqrt{x})}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x\]. D. \[\text{d}y=-\frac{2\sqrt{x}-\sin (2\sqrt{x})}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x\].
Câu 12. Hàm số \[y=x\sin x+\cos x\] có vi phân là:
A. \[\text{d}y=\left( x\cos x\sin x \right)\text{d}x\]. B. \[\text{d}y=\left( x\cos x \right)\text{d}x\].
C. \[\text{d}y=\left( \cos x\sin x \right)\text{d}x\].. D. \[\text{d}y=\left( x\sin x \right)\text{d}x\].
Câu 13. Hàm số $y\text{ }=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$. Có vi phân là:
A. \[dy=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}dx\] B. \[dy=\frac{2x}{({{x}^{2}}+1)}dx\]
C. \[dy=\frac{1-{{x}^{2}}}{({{x}^{2}}+1)}dx\] D. \[dy=\frac{1}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}dx\]
Hướng dẫn giải:
Câu 1.
Chọn B.
$dy=\left( 2\cos 2x+3{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$
Câu 2.
Chọn D.
$dy=2(1+{{\tan }^{2}}2x)dx$
Câu 3.
Chọn D.
$dy=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx$
Câu 4.
Chọn B.
Ta có : $\text{d}y={f}'\left( x \right)\text{d}x=\frac{{{\left( 1+{{\cos }^{2}}2x \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x=\frac{-4\cos 2x.\sin 2x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$
Câu 5.
Chọn A.
Ta có $\text{d}y={{\left( {{x}^{3}}-5x+6 \right)}^{\prime }}\text{d}x=\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x$.
Câu 6.
Chọn C.
Ta có $\text{d}y={{\left( \frac{1}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}\text{d}x=\frac{1}{3}.\frac{3{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}}=-\frac{1}{{{x}^{4}}}\text{d}x$.
Câu 7.
Chọn C.
Ta có $\text{d}y={{\left( \frac{x+2}{x-1} \right)}^{\prime }}\text{d}x=-\frac{3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x$.
Câu 8.
Chọn D.
Ta có \[\text{d}y={{\left( \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x-1} \right)}^{\prime }}\text{d}x=\frac{\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x=\frac{{{x}^{2}}-2x-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x\].
Câu 9.
Chọn C.
Ta có $\text{d}y={{\left( \sin x-3\cos x \right)}^{\prime }}\text{d}x=\left( \cos x+3\sin x \right)\text{d}x$.
Câu 10.
Chọn B.
Ta có $\text{d}y=\text{d}\left( {{\sin }^{2}}x \right)={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{\prime }}\text{d}x\,=\,\cos x.2\sin x\text{d}x\,=\sin 2x\text{d}x$.
Câu 11.
Chọn D.
Ta có $\text{dy}={{\left( \frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right)}^{\prime }}\text{dx}\,\text{= }\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}.\sqrt{x}-\tan \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}\text{dx }$
$\text{= }\left( \frac{1}{2}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}-\frac{\sin \sqrt{x}}{\cos \sqrt{x}}.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\frac{1}{x}\text{dx =}\frac{\sqrt{x}-\sin \sqrt{x}\cos \sqrt{x}}{2x\sqrt{x}.{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}.dx$
$\text{=}\frac{2\sqrt{x}-\sin 2\sqrt{x}}{4x\sqrt{x}.{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}.dx$
Câu 12.
Chọn B.
Ta có \[dy={{\left( x\sin x+\cos x \right)}^{\prime }}\text{d}x=\left( \sin x+x\cos x-\sin x \right)\text{d}x=\left( x\cos x \right)\text{d}x\].
Câu 13.
Chọn A.
Ta có $\text{dy}={{\left( \frac{x}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}\text{dx}=\frac{{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}dx$.
