NHỊ THỨC NEWTON
A/ LÝ THUYẾT
I/ Công thức nhị thức Newton
1/ Định lý
${{(a+b)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+...+C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+...+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{b}^{n}{{b}^{n}}$
Hay
${{(a+b)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}} \right)}$
Với:
$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
2/ Chú ý
+ Lũy thừa của x giảm dần cho tới khi đạt đến 0, giá trị bắt đầu là n
+ Lỹ thừa của y tắng dần bắt đầu từ 0 cho tới khi đạt đến n
+ Hàng nhị thức của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng
+ Với mỗi hàng, tích số bằng ${{2}^{n}}$
+ Với mỗi hàng, nhóm tích số bằng n + 1
Ví dụ:
${{(a+b)}^{2}}=C_{2}^{0}{{a}^{2}}+C_{2}^{1}ab+C_{2}^{2}{{b}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$
${{(a+b)}^{3}}=C_{3}^{0}{{a}^{3}}+C_{3}^{1}{{a}^{2}}b+C_{3}^{2}a{{b}^{2}}+C_{3}^{3}{{b}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$
II/ Tam giác Pascal
1/ Tam giác Pascal
Trong nhị thức Newton ở trên cho n = 0;1;2;… và xếp các hệ số $c_{n}^{k}$ thành dòng, ta nhận được tam giác sau (gọi là tam giác Pascal)
Trong tam giác trên, mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tổng của hai phần tử đứng ngay trên đầu nó ở dòng trên. Ta có cách này là do tính chất sau:
$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}$
Nhờ tam giác Pascal mà ta có thể triển khai lũy thừa bậc n của tổng hai số một cách dễ dàng mà không cần phải tính $C_{n}^{k}$
Ví dụ:
${{(a+b)}^{6}}={{a}^{3}}+6{{a}^{5}}b+15{{a}^{4}}{{b}^{2}}+20{{a}^{3}}{{b}^{3}}+15{{a}^{2}}{{b}^{4}}+6a{{b}^{5}}+{{b}^{6}}$
2/ Chú ý
Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức
Nếu r là một số thực và z là một số phức có modun nhỏ hơn 1 thì:
${{(1+z)}^{r}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{C_{r}^{k}{{z}^{k}}}$
B/ VÍ DỤ
VD 1: ${{a}^{5}}+10{{a}^{4}}b+40{{a}^{3}}{{b}^{2}}+80{{a}^{2}}{{b}^{3}}+32{{b}^{5}}$
Biểu thức trên là khai triển của nhị thức nào sau đây?
A.${{(a-2b)}^{5}}$
B.${{(a+2b)}^{5}}$
C.${{(2a+b)}^{5}}$
D.${{(2a-b)}^{5}}$
Giải:
${{(a+2b)}^{5}}={{a}^{5}}+10{{a}^{4}}b+40{{a}^{3}}{{b}^{2}}+80{{a}^{2}}{{b}^{3}}+32{{b}^{5}}$
Đáp án B
VD 2: Tìm hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triển: ${{\left( x+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}$
A.8
B.12
C.16
D.20
Giải:
.png)
Đáp án B
VD 3: Biết hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển ${{(1-3x)}^{n}}$ là 90. Tìm n?
A.n = 4
B.n = 5
C.n = -4
D.n = -5
Giải:
Đơn thức có phần biết ${{x}^{2}}$ trong khai triển trên là: $C_{n}^{2}{{.1}^{n-2}}.{{(-3x)}^{2}}$
Ta có:
$C_{n}^{2}{{.1}^{n-2}}.{{(-3)}^{2}}=90$
$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n-2)!}.1.9=90$
$\Leftrightarrow \frac{n(n-1)}{2}=10$
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-n-20=0$
.png)
Đáp án B
VD 4: Số hạng không chứa x trong khai triển ${{\left( {{x}^{3}}+\frac{1}{x} \right)}^{8}}$ là
A.28
B.-28
C.28x
D.-28x
Giải:
Số hạng tổng quát của khai triển trên là: $C_{8}^{k}{{x}^{3k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{8-k}}$ với $k\in \left\{ 0;1;2;...;8 \right\}$
Số hạng không chứa x thõa mãn 3k = 8 – k $\Leftrightarrow $ k = 2
Số hạng đó là $C_{8}^{2}=28$
Đáp án A
VD 5: Tính tổng các hệ số trong khai triển ${{(3x-4)}^{17}}$ ?
A.0
B.1
C.2
D.-1
Giải:
Tổng các hệ số của đa thức bằng giá trị của đa thức tại x = 1
Nên tổng hệ số trong khai triển trên là ${{(3.1-4)}^{17}}={{(-1)}^{17}}=-1$
Đáp án D
VD 6: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}$ biết:
$C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$
A.238
B.240
C.235
D.150
Giải:
Ta có khai triển: ${{\left( 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}.{{x}^{2k}}{{\left( 1-x \right)}^{k}}}$
$=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}.{{x}^{2k}}\left( \sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}{{\left( -x \right)}^{i}}} \right)=\sum\limits_{k=0}^{8}{{{\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{8}^{k}.{{x}^{2k}}C_{k}^{i}\left( -1 \right)}}^{i}}{{x}^{i}}}}$
Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ tương ứng số hạng chứa k và i thõa $2k+i=8$
Vì $0\le i\le k\le 8$ nên .png)
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là $C_{8}^{3}C_{3}^{2}{{\left( -1 \right)}^{2}}+C_{8}^{4}C_{4}^{0}{{\left( -1 \right)}^{0}}=238$
Đáp án A
C/ BÀI TẬP
Câu 1: Hệ số của ${{x}^{10}}{{y}^{5}}$ trong khai triển ${{(2x+y)}^{15}}$ bằng bao nhiêu?
A.${{2}^{5}}C_{15}^{10}$
B.${{2}^{5}}C_{15}^{5}$
C.${{2}^{10}}C_{15}^{5}$
D.${{2}^{10}}C_{15}^{11}$
Câu 2: Số hạng chứa ${{x}^{1000}}$ trong khai triển ${{(2x+1)}^{2001}}$ là:
A.$C_{2001}^{1000}{{.2}^{1000}}$
B.\[{{2}^{1000}}\]
C.$C_{2001}^{1000}$
D.$C_{2001}^{2001}{{.2}^{1000}}$
Câu 3: Hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển $x{{(2x-1)}^{5}}$ là:
A.-80
B.80
C.160
D.-160
Câu 4: Hệ số của ${{x}^{10}}$ trong khai triển ${{(1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}})}^{5}}$ là:
A.101
B.102
C.103
D.104
Câu 5: Tìm n biết n thõa mãn: $C_{n}^{n}+C_{n}^{n-1}+...+C_{n}^{1}=27$
A.7
B.8
C.1
D.2
Câu 6: Tính tổng $S=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+...+C_{2n}^{2n}$
A.${{2}^{n-1}}$
B.${{2}^{n}}$
C.${{2}^{n+1}}$
D.${{2}^{n-2}}$
Câu 7: Hệ số lớn nhất trong khai triển ${{\left( \frac{1}{3}+\frac{2}{3}x \right)}^{10}}$ là:
A.$\frac{{{2}^{7}}}{{{3}^{10}}}.C_{10}^{7}$
B.$\frac{{{4}^{7}}}{{{3}^{10}}}.C_{10}^{7}$
C.$\frac{{{2}^{7}}}{{{3}^{10}}}.C_{10}^{7}+1$
D.$\frac{{{3}^{7}}}{{{2}^{10}}}.C_{10}^{7}$
Câu 8: Tìm n biết n thõa mãn: $C_{n-2}^{2}+A_{n}^{2}+3n=91$
A.18
B.3
C.9
D.8
Câu 9: Tìm hệ số chứa ${{x}^{3}}$ trong khai triển ${{(\sqrt[3]{x}+2)}^{12}}$
A.1780
B.8
C.1560
D.1760
Câu 10: Có bao nhiêu số hạng là số hữu tỉ trong khai triển ${{(\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{4})}^{100}}$
A.9
B.10
C.11
D.12
ĐÁP ÁN
.png)
