Ứng dụng vòng tròn lượng giác để giải nhanh bài tập về sóng cơ

ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

 ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ SÓNG CƠ

A. Xét trường hợp sóng đơn:

Trong trường hợp biểu diễn sóng đơn từ một điểm đã biết (VD: điểm N) xác định trạng thái dao động của điểm khác ta tiến hành như sau:

• Nếu điểm đó sau N ( theo phương truyền sóng), ví dụ là điểm K, khi đó K sẽ trễ pha hơn N góc \[\Delta \phi =2\pi \frac{\Delta d}{\lambda }\] với \[\Delta d\]= NK. Từ N quay góc \[\Delta \phi \] theo chiều kim đồng hồ ta sẽ xác định được trạng thái của K.

Nếu điểm cần tìm trước N (theo phương truyền sóng), ví dụ là M, ta cũng tính \[\Delta \phi \] theo công thức trên với \[\Delta d\]= MN, từ N quay theo chiểu ngược kim đồng hồ góc \[\Delta \phi \] ta được M

VD1: Hai điểm cùng nằm trên phương truyền sóng cách nhau $\frac{3\lambda }{4}$. Tại thời điểm ${{t}_{1}}$ có ${{u}_{M}}=3\left( cm \right)$ và ${{u}_{N}}=-3\left( cm \right)$. Tính biên độ sóng A?

          A: $A=3\sqrt{2}\left( cm \right)$                                B: $A=3\sqrt{3}\left( cm \right)$      

         C: $A=7\left( cm \right)$                                              D: $A=\sqrt{6}\left( cm \right)$

Giải:

Góc lệch pha giữa M, N:

\[\Delta \phi \] = \[\frac{2\pi \Delta d}{\lambda }\] = \[\frac{2\pi \frac{3\pi }{4}}{\lambda }\] = \[\frac{3\pi }{2}\] > \[\pi \].

${{u}_{M}}=3\left( cm \right)$nhận M hoặc P

${{u}_{N}}=-3\left( cm \right)$ nhận N hoặc P vì \[\Delta \phi \] > \[\pi \]

nên nhận 2 điểm M, N (như hình)

Vậy cos\[MOA\] = cos\[\frac{\pi }{4}\] = \[\frac{3}{A}\] = \[\frac{1}{\sqrt{2}}\]

A = 3\[\sqrt{2}\] cm, Đáp án A

VD2: Một sóng cơ học được được truyền theo phương OX với tốc độ 20 $\left( cm/s \right)$. Cho rằng khi truyền sóng  biên độ không đổi . Biết phương trình sóng tại O là: ${{u}_{O}}=4\cos \left( \frac{\pi t}{6} \right)\left( cm \right)$, độ dời sóng tại M cách O  40 $\left( cm \right)$ lúc độ dời sóng tại O đạt cực đại là:

          A: 4$\left( cm \right)$     B: 0$\left( cm \right)$     C: -2 $\left( cm \right)$  D: 2 $\left( cm \right)$

Giải:

Bước sóng \[\lambda \]= \[2\pi \frac{v}{\omega }\] = 240(cm)

Góc lệch pha O, M: \[\Delta \phi =2\pi \frac{\Delta d}{\lambda }\]=\[\frac{\pi }{3}\]

Vị trí của M (hvẽ). Li độ của M: u_M = Acos\[\frac{\pi }{3}\] = 2 cm.Đáp án D

B. Giao thoa sóng

Đường tròn biên độ:

Đây là đường tròn tương tự như đường tròn lượng giác trong sóng đơn nhưng khác ở một số quy ước sau

Đường tròn này có độ lớn li độ tại một điểm chính là biên độ của một điểm trong vùng giao thoa sóng và đây là đường tròn giúp ta tính biên độ tại một điểm bất kỳ trong vùng giao thoa

Đường tròn này lấy Oy làm bờ (gianh giới) các điểm cùng phía với Oy sẽ dao động cùng pha và ở hai phía với Oy sẽ ngược pha với nhau

Những điểm phía sau theo phương truyền sóng nhận được pha sau nên quay sau theo chiều quay cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn biên độ và ngược lại (Ta chỉ xét theo một chiều truyền sóng từ trái qua phải)

Lưu ý: Đường tròn trên đang biểu diễn tại thời điểm sóng giao thoa đang ở vị trí biên thì tất cả các điểm có hình chiếu lên ox sẽ ứng với biên độ của nó. Còn ở thời điểm sau đó các điểm đều ở vị trí li độ, nhưng sự tỉ lệ của li độ các điểm vẫn tuân theo đường tròn trên.

Áp dụng:

VD1: Sợi dây đàn hồi AB có chiều dài 90cm hai đầu dây cố định, khi được kích thích dao động sợi dây hình thành sóng dừng với 3 bó sóng. Biên độ bụng là 2cm, tại M gần nguồn phát sóng tới A nhất có biên độ là 1cm. Khoảng cách MA bằng:

A. 5cm                 B. 10cm                C. 25cm                D. 20cm

Giải:

Ta có l = 3 \[\frac{\lambda }{2}\] = 90 suy ra \[\lambda \]= 60cm.

Xét trên đường tròn biên độ

sin\[\Delta \phi \]= 1/2  \[\Rightarrow \]\[\Delta \phi \] = \[\frac{\pi }{6}\]

\[\Delta \phi \] =\[2\pi \frac{\Delta d}{\lambda }\]\[\Rightarrow \] MA = \[\Delta d\]= \[\frac{\lambda }{12}\]= 5 cm.Đáp án A

VD2: Tạo sóng dừng trên sợi dây có O là đầu dây cố định, bước sóng trên dây là $\lambda =60\left( cm \right)$. Trên dây có hai điểm M và N cách O lần lượt là $OM=10\left( cm \right);ON=35\left( cm \right)$. Tại $t\left( s \right)$độ dời sóng tại M là ${{u}_{M}}=5\sqrt{3}\left( cm \right)$thì độ dời sóng tại N là bao nhiêu?

          A: -5 $\left( cm \right)$                                               B: 5 $\left( cm \right)$   

        C: $-5\sqrt{3}$$\left( cm \right)$                                D: 10 $\left( cm \right)$

Hướng dẫn:

\[\Delta {{\phi }_{M}}\] =\[2\pi \frac{\Delta d}{\lambda }\]= \[2\pi \frac{OM}{\lambda }\]=\[\frac{\pi }{3}\]

\[\Delta {{\phi }_{M}}\] = \[2\pi \frac{ON}{\lambda }\]=7\[\frac{\pi }{6}\]

Li độ dao động của M

u_M= Asin \[\Delta {{\phi }_{M}}\]= \[5\sqrt{3}\] \[\Leftrightarrow \] Li độ của điểm bụng A = 10cm

li độ của N: u_N = A cos\[\frac{2\pi }{3}\]= - 5cm.Đáp án A

C. Bài toán tìm số cực đại (cực tiểu) giao thoa

Hai nguồn kết hợp A, B có độ lệch pha \[\Delta \phi \].Xác định trên đoạn AB các điểm cực đại dao

thoa (A_max), cực tiểu dao thoa (A_min)

+ Bước 1: Tính biên độ tại trung điểm I

\[{{A}_{1}}=2a\cos \frac{\Delta \phi }{2}\], vẽ lên đường tròn xác định vị trí biên độ của I trên đường tròn biên độ

+ Bước 2: Tính số vòng quay n = t/T, trong phần này ta tính số vòng quay n = IM/\[\lambda \] = \[{}^{\Delta d}/{}_{2\lambda }\]

+ Bước 3: Tính số lần vật qua vị trí li độ có độ lớn bằng biên độ cần tính

Chú ý:

-Nếu trường hợp tính A­­_max nếu I cũng là môt điểm A­­_max thì ta tính một nửa IA rồi nhân đôi và trừ đi một sẽ được kết quả trên cả đoạn AB

 - Nếu ta quay từ I mà điểm cuối cùng là nguồn A hoặc B mà rơi vào điểm A_max thì ta không lấy vì quy ước nguồn không phải là cực đại giao thoa

VD1: Hai nguồn sóng tại A, B dao động cùng phương với phương trình u₁ = acos(\[2\pi t+{\pi }/{3}\;\]) mm và u₂ = acos(\[2\pi t-{\pi }/{6}\;\]) mm. Tính số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn AB với AB = 16,2\[\lambda \]

Giải:

Giải:

Ta có biên độ của trung điểm I: \[{{A}_{1}}={{A}_{\max }}\cos \frac{\Delta \phi }{2}\]= \[{{A}_{\max }}{\sqrt{2}}/{2}\;\]

Số vòng quay n = IA/ \[\lambda \] = 8,1 vòng. Từ I sẽ quay theo chiều

ngược kim đồng hồ, vì A sớm pha hơn ta được số lần qua 2 biên

là 16 lần \[\Rightarrow \] Tương tự trên IB quay từ I cùng chiều kim đồng hồ 8,1 vòng cũng được 16 điểm. Vậy trên AB có 32 điểm cực đại giao thoa.

Chú ý: Với cách giải thông thường:

+ Tìm điều kiện của điểm cực đại giao thoa:

\[\Delta \phi =2\pi \frac{\Delta d}{\lambda }\] - \[\frac{\pi }{2}\]= k2\[\pi \] \[\Rightarrow \] \[\Delta d\]= (k + 1/4)\[\lambda \]

Vì M \[\in \]AB nên:       - AB < \[\Delta d\]= (k + 1/4)\[\lambda \]< AB \[\Rightarrow \] - 16 < k < 15

Như vậy có tất cả 32 điểm

Cách dùng đường tròn biên độ thì không cần phải đi tìm điều kiện những điểm cực đại giao thoa

D. Bài toán tìm số cực đại (cực tiểu) giao thoa, dao động cùng pha (ngược pha ) với nguồn hoặc với trung điểm I:

VD1: Hai nguồn phát sóng kết hợp A và B trên mặt chất lỏng dao động theo phương trình: u_A = acos(100pt); u_B = bcos(100pt). Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng 1m/s. I là trung điểm của AB. M là điểm nằm trên đoạn AI, N là điểm nằm trên đoạn IB. Biết IM = 5 cm và IN = 6,5 cm. Số điểm nằm trên đoạn MN có biên độ cực đại và cùng pha với I là:
A. 7              B. 4                 C. 5              D. 6

Giải:

+ Cách thông thường:

Bước sóng l = v/f = 1/50 = 0,02m = 2cm

Xét điểm C trên AB cách I:  IC = d

u_AC = acos(100pt - \[\frac{2\pi {{d}_{1}}}{\lambda }\])

 u_BC = bcos(100pt - \[\frac{2\pi {{d}_{2}}}{\lambda }\])

C là điểm dao động với biên độ cực đại khi  d₁ – d₂ = (AB/2 +d) – (AB/2 –d) = 2d = kl

-----> d = k\[\frac{\lambda }{2}\]= k (cm) với k = 0; ±1;  ±2; ..

Suy ra trên MN có 12 điểm dao động với biên độ cực đại, (ứng với k:  -5 ≤ d = k ≤ 6,5) trong đó kể cả trung điểm I  (k = 0). Các điểm cực đại dao động cùng pha với I cũng chính là cùng pha với nguồn ứng với , k = - 4; -2; 2;  4; 6

Như vậy trên MN có 5 điểm có biên độ cực đại và cùng pha với I. Chọn đáp án C

+ Cách dùng đường tròn biên độ:

Bước sóng l = v/f = 1/50 = 0,02m = 2cm

Hai nguồn A, B cùng pha nên trung điểm I là cực đại giao thoa

Từ I đến M cần quay ngược kim đồng hồ: n₁ =  IM /\[\lambda \] = 2,5 vòng những điểm Amax cùng pha với I nên chỉ lấy nữa đường tròn bên phải.Có ba điểm là 1, 3, 5 nhưng không tính I nên còn 2 điểm

Từ I đến N quay cùng chiều kim đồng hồ: n₂ =  IN/\[\lambda \] = 3,25 vòng. Có 4 điểm là 1, 3, 5, 7 không tính I còn 3 điểm.Vậy tổng số có 5 điểm dao động cực đại cùng pha với I

VD2: Hai sóng kết hợp A và B có cùng biên độ, cùng pha dao động, cách nhau 10cm. Sóng truyền với vận tốc v = 1m/s và tần số f = 50Hz. Hỏi trên đoạn AB có bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại cùng pha với nhau và cùng pha với trung điểm I của AB:

          A. 11                    B. 10                    C. 4                      D. 5

Giải:

Bước sóng \[\lambda \] = v/f = 2 cm, hai nguồn A, B cùng pha nên \[\Delta \phi \] = 0, I có biên độ A = A_max  .Từ I đến A sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ n₁ = IA/ \[\lambda \] = 2,5 vòng

Bắt đầu điểm 1 và kết thúc ở điểm A, nhưng không tính I và chỉ tính những điểm cùng pha với I là 3 và 5.Như vậy là có 2 điểm

Tương tự trên đoạn IB quay theo cùng chiều kim đồng hồ cũng có 2 điểm

Vậy có tất cả 4 điểm, đáp án C

VD3: Thực hiện giao thoa sóng cơ với hai nguồn ngược pha ${{S}_{1}};{{S}_{2}}$, ${{S}_{1}}{{S}_{2}}=\ell =5,5\lambda $. Trên ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$có bao nhiêu điểm cực đại:

a.Cùng pha với nguồn 1

b.Cùng pha với nguồn 2

Hướng dẫn:

I. Theo cách thông thường:

+ Gọi phương trình nguồn 1; nguồn 2 có dạng như sau:  ${{u}_{1}}={{U}_{0}}c\text{os}\left( \omega t \right)\left( cm \right)$; ${{u}_{1}}={{U}_{0}}c\text{os}\left( \omega t+\pi  \right)\left( cm \right)$; M là một điểm trên ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$ và cách nguồn ${{S}_{1}}$một đoạn là ${{d}_{1}}$. Cách nguồn ${{S}_{2}}$một đoạn là ${{d}_{2}}$$\Rightarrow {{d}_{1}}+{{d}_{2}}=5,5\lambda $

+ Phương trình giao thoa tại M có dạng: ${{u}_{M}}=2{{U}_{O}}c\text{os}\left( -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \left( {{d}_{2}}-{{d}_{1}} \right)}{\lambda } \right)c\text{os}\left( \omega t+\frac{\pi }{2}-\frac{\pi \left( {{d}_{2}}+{{d}_{1}} \right)}{\lambda } \right)$

$\Rightarrow {{u}_{M}}=2{{U}_{O}}c\text{os}\left( -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \left( {{d}_{2}}-{{d}_{1}} \right)}{\lambda } \right)c\text{os}\left( \omega t-5\pi  \right)$ Vì (${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=5,5\lambda $)

+  Để tại M là cực đại thì: $c\text{os}\left( -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \left( {{d}_{2}}-{{d}_{1}} \right)}{\lambda } \right)=\pm 1$

Nếu $c\text{os}\left( -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \left( {{d}_{2}}-{{d}_{1}} \right)}{\lambda } \right)=1\Rightarrow {{u}_{M}}=2{{U}_{O}}c\text{os}\left( \omega t-5\pi  \right)$; M dao động cùng  pha với nguồn 2

Nếu $c\text{os}\left( -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \left( {{d}_{2}}-{{d}_{1}} \right)}{\lambda } \right)=-1\Rightarrow {{u}_{M}}=2{{U}_{O}}c\text{os}\left( \omega t-4\pi  \right)$; M dao động cùng pha với nguồn 1

A.  Để  tại M là cực đại  và cùng pha với nguồn 1 thì: $c\text{os}\left( -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \left( {{d}_{2}}-{{d}_{1}} \right)}{\lambda } \right)=-1$

Vì M chạy từ ${{S}_{2}}$đến ${{S}_{1}}$lên: $0<{{d}_{2}}<5,5\lambda \Rightarrow 0<\left( k+3,5 \right)\lambda <5,5\lambda \Rightarrow -3,5<>

Có 5 điểm cực đại cùng pha với  nguồn 1 trên đoạn ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$.

B.  Để  tại M là cực đại  và cùng pha với nguồn 2 thì: $c\text{os}\left( -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \left( {{d}_{2}}-{{d}_{1}} \right)}{\lambda } \right)=1$

Vì M chạy từ ${{S}_{2}}$đến ${{S}_{1}}$lên: $0<{{d}_{2}}<5,5\lambda \Rightarrow 0<\left( k+3 \right)\lambda <5,5\lambda \Rightarrow -3<>

Có 5 điểm cực đại cùng pha với  nguồn 2 trên đoạn ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$.

II. Theo cách đường tròn biên độ:

A. Nguồn S_­1 có dạng u₁ = a cos \[\omega t\], nguồn S_­2 có dạng u₁ = a cos \[\left( \omega t+\pi  \right)\],

Biên độ của trung điểm I: A = 2acos\[\frac{\Delta \phi }{2}\]=0

+ Quay từ I đến S₁ theo chiều ngược kim đồng hồ

 n₁ = IS₁/ \[\lambda \] = 2,75 vòng

Điểm kết thúc là điểm S₁ trên đường tròn

Những điểm A_max cùng pha với S₁ là 1, 3, 5

(Sở dĩ không lấy điểm 2, 4 vì điểm nguồn ở phía bên đó trễ pha hơn nên ứng với nguồn S₂)

Như vậy có 3 điểm cùng pha với S₁

+ Quay theo chiều từ I đến S₂ theo chiều cùng chiều kim đồng hồ n₁ = IS₂/ \[\lambda \] = 2,75 vòng

Điểm kết thúc là S₂  trên đường tròn

Tương tự những điểm cùng pha với S₁ là 2, 4. Vậy  trên đoạn này có 2 điểm .Kết quả có tổng cộng 5 điểm cùng pha với nguồn S₁

B. Làm tương tự cho câu B, những điểm cùng pha với nguồn S2

Là 2, 4 ở hình vẽ thứ nhất và 1, 3, 5 ở hình vẽ thứ hai.Kết quả cũng có 5 điểm cùng pha với S₂

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1:Tạo sóng dừng trên sợi dây có O là đầu dây cố định, bước sóng trên dây là $\lambda =60\left( cm \right)$. Trên dây có hai điểm M và N cách O lần lượt là $OM=10\left( cm \right);ON=35\left( cm \right)$. Tại $t\left( s \right)$vận tốc dao động  tại N là ${{v}_{N}}=20\left( cm/s \right)$thì vận tốc dao đông tại  M là bao nhiêu?

        A: $20\sqrt{3}\left( cm/s \right)$          B: $-20\sqrt{3}\left( cm/s \right)$    

        C: $-20\left( cm/s \right)$                   D: $-40\left( cm/s \right)$

Câu 2:Tạo ra sóng dừng trên một sợi dây có đầu A cố định, bước sóng $\lambda $. Tại điểm M cách  A một đoạn là    $\frac{\lambda }{12}$  dao động với biên độ bằng  5$\left( cm \right)$. Tại điểm cách A một đoạn $\frac{\lambda }{6}$ có biên độ dao động là bao nhiêu ?

        A: $5\sqrt{3}$$\left( cm \right)$                            B: 5$\left( cm \right)$   

        C: 10$\left( cm \right)$                                           D: $5\sqrt{2}$$\left( cm \right)$

Câu 3:Tạo ra sóng dừng trên một sợi dây có đầu A cố định, bước sóng $\lambda $, biên độ nguồn  sóng là ${{U}_{O}}$. Hỏi tại điểm M cách  A một đoạn là   $\frac{\lambda }{6}$  thì biên độ dao động là bao nhiêu?

        A: ${{U}_{O}}$                            B: ${{U}_{o}}\sqrt{2}$                     

       C: $2{{U}_{O}}$                            D: ${{U}_{O}}\sqrt{3}$

Câu 4:Sóng dừng trên sợi dây có nguồn sóng ${{U}_{O}}$, gọi A ; B là hai điểm dao động với cùng biên độ ${{U}_{0}}\sqrt{3}$và gần nhau nhất. AB = 10 $\left( cm \right)$. Xác định  bước sóng ?

          A: 90 $\left( cm \right)$                                    B: 60 $\left( cm \right)$ 

         C: 80 $\left( cm \right)$                                     D: 120$\left( cm \right)$

Câu 5:Tạo ra sóng dừng trên một sợi dây có đầu A tự do, bước sóng $\lambda $, tần số nguồn sóng là $f=10\left( Hz \right)$. Tại điểm M cách   A một đoạn là   $\frac{\lambda }{8}$  thì biên độ dao động là 5 $\left( cm \right)$. Xác định vận tốc dao động cực đại tại bụng sóng ?

          A: $50\pi \left( cm/s \right)$                               B: $50\sqrt{2}\pi \left( cm/s \right)$ 

          C: $100\sqrt{2}\pi \left( cm/s \right)$                 D: $200\pi \left( cm/s \right)$

Câu 6:Hai mũi nhọn S₁, S₂ cách nhau một khoảng a = 8,6 cm, dao động với phương trình ${{u}_{1}}=2\cos \left( 100\pi t \right)\left( mm \right)$; ${{u}_{2}}=2\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\left( mm \right)$. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là $v=40\left( cm/s \right)$. Số các gợn lồi trên đoạn S₁, S₂:   

          A: 22                            B: 23                            C. 24                            D: 25

Câu 7:Thực hiện giao thoa sóng với hai nguồn cùng  pha ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$  cách nhau  $\ell =6\lambda $. Hỏi  trên đoạn  ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$ có bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại và cùng pha với hai nguồn ( không kể hai nguồn).

          A: 6                              B:5                               C: 11                            D: 7

Câu 8:Thực hiện giao thoa sóng với hai nguồn cùng  pha ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$  cách nhau $\ell =8\lambda $ . Hỏi  trên đoạn ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$có bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại và ngược pha với hai nguồn

          A: 7                              B:8                               C: 17                            D: 9

ĐÁP ÁN

1B 2A 3D 4B 5C 6A 7B  8B 

Bài viết gợi ý: