VDC TÍCH PHÂN-CÁC KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1.Tính tích phân bằng định nghĩa:

Các kỹ thuật thường sử dụng khi tính tích phân bằng định nghĩa:

Kỹ thuật 1: Đạo hàm 2 vế

Giải thích cách đạo hàm:

Ta sử dụng định nghĩa:

\[\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f(t)dt=x\sin (\pi x)}\]\[<=>F({{x}^{2}})-F(0)=x\sin (\pi x)\](Với \[F(t)\]là nguyên hàm của \[f(t)\])

Tiến hành đạo hàm 2 vế như trên:

\[[F({{x}^{2}})]'=[x\sin (\pi x)]'\]\[<=>2xF'({{x}^{2}})=\sin (\pi x)+\pi \cos (\pi x)\]

Vậy cuối cùng ta đã thành công đạo hàm 2 vế và kết quả được là: \[2xf({{x}^{2}})=\sin (\pi x)+\pi \cos (\pi x)\]

Kỹ thuật 2: Tích phân-Nguyên hàm 2 vế

Kỹ thuật 3: Thế số tìm quan hệ

Bài tập tự luyện

ĐÁP ÁN:

1/B 2/C 3/C

2.Phương pháp đổi biến trong các bài toán VDC

Kinh nghiệm: Thông thường đề bài sẽ bắt các em tính \[\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\]. Nhưng các dữ kiện liên quan thì lại là một hàm $f\left( Q\left( x \right) \right)$ chứ không phải $f\left( x \right)$. Khi đó các em sẽ đặt t=Q(x), sau đó lấy vi phân 2 vế, đổi cận, rồi sử dụng tính bất biến của tích phân: \[\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=}\int\limits_{a}^{b}{f(t)dt}\] . Để dễ hình dung, ta lấy một ví dụ đơn giản:

Câu 1: Cho \[\int\limits_{0}^{2017}{f(x)dx=2}\]. Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{\sqrt{{{e}^{2017}}-1}}{\frac{x}{{{x}^{2}}+1}f[\ln ({{x}^{2}}+1)]dx}\]

A.1 B.2 C.4 D.5

Bước 1: Đặt \[t=\ln ({{x}^{2}}+1)\]

Bước 2: Vi phân 2 vế: \[dt=\frac{2xdx}{{{x}^{2}}+1}\]

Bước 3: Đổi cận: \[x=0\to t=0\]

\[x=\sqrt{{{e}^{2017}}-1}\to t=2017\]

Bước 4: Sử dụng tính bất biến của tích phân: \[\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2017}{f(t)dt=}\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2017}{f(x)dx=\frac{1}{2}.2=1}\]

Bài tập tự luyện