Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào ba quả banh tenis, biết đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng 3 lần đường kính của quả banh. Gọi ${{S}_{1}}$ là tổng diện tích của 3 quả banh và${{S}_{2}}$ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ bằng
Cho khối hộp chữ nhật \[ABCD.ABCD\] có thể tích bằng \[2016.\]Thể tích phần chung của hai khối \[A.B'CD'\text{ }v\grave{a}\text{ }A'BC'D\] bằng.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A; Hình chiếu vuông góc của A’ trên $\left( ABC \right)$ nằm trên đường thẳng BC. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( A'BC \right)$.
Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng \[r=2m\], chiều cao \[h=6m\]. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi \[V\] là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính \[V\].
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại \[B,BC=a\]. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Tính thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKB.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \[a\sqrt{2}\] và chiều cao bằng \[\frac{a\sqrt{2}}{2}\]. Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành, \[AB=a,AC=a\sqrt{3,BC=2a.}\] Tam giác SBC cân tại S, tam giác SCD vuông tại C. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng \[\left( SBC \right)\] bằng \[\frac{a\sqrt{3}}{3}\]. Chiều cao SH của hình chóp là:
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B'C'. Mặt phẳng $\left( A'MN \right)$ cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích khối đa diện MBPA'B'N.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của
SA, N là điểm trên đoạn SB sao cho \[SN=2NB.\] Mặt phẳng chứa MN cắt đoạn SD tại Q và cắt đoạn SC tại P. Tỉ số $\frac{{{V}_{S.MNPQ}}}{{{V}_{S.ABCD}}}$ lớn nhất bằng:
Cho khối chóp \[S.ABCD\] có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M' , N', P', Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng \[\left( ABCD \right).\] Tính tỉ số $\frac{SM}{SA}$ để thể tích khối đa diện $MNPQ.M'N'P'Q'$ đạt giá trị lớn nhất.
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết \[AB=BC=a\sqrt{3},\] \[\widehat{SAB\text{ }}=\widehat{SCB}=90{}^\circ \] và khoảng cách từ A đến mặt phẳng \[\left( SBC \right)\] bằng $a\sqrt{2}.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Từ một tấm bìa hình vuông \[ABCD\] có cạnh bằng 5 dm, người ta cắt bỏ bốn tam giác bằng nhau là AMB, BNC, CPD và DQA. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất ?
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D',AB=6cm,BC=BB'=2cm.$ Điểm E là trung điểm cạnh BC. Một tứ diện đều MNPQ có hai đỉnh M và N nằm trên đường thẳng C E′, hai đỉnh P, Q nằm trên đường thẳng đi qua điểm B′ và cắt đường thẳng AD tại điểm F. Khoảng cách DF bằng:
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AD\bot \left( ABC \right),\] ABC là tam giác vuông tại B. Biết
\[BC=a,\text{ }AB=~a\sqrt{3},AD=3a.\] Quay các tam giác ABC và ABD xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $2a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ${{60}^{0}}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh SD, DC. Thể tích khối tứ diện ACMN là: