ĐK: \(x\geq 0\)
Nhận xét:
- Nếu x = 0 thì không thỏa mãn hệ PT
- Xét x > 0
\(PT(1)\Leftrightarrow 3y+3y\sqrt{9y^{2}+1}=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x}\)
\(\Leftrightarrow 3y+3y\sqrt{(3y)^{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{x}})^{2}+1}\; \; \; \; (3)\)
Từ (1) và x > 0 ta có y > 0. Xét hàm số \(f(t)=t+t.\sqrt{t^{2}+1},t> 0\).
Ta có \(f(t)=1+\sqrt{t^{2}+1}+\frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+1}}> 0.\) Suy ra f(t) luôn đồng biến trên \((0;+\infty )\)
\(PT(3)\Leftrightarrow f(3y)=f(\frac{1}{\sqrt{x}})\Leftrightarrow 3y=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
Thế vào pt(2) ta được pt: \(x^{3}+x^{2}+4(x^{2}+1)\sqrt{x}=10\)
Đặt \(g(x)=x^{3}+x^{2}+4(x^{2}+1)\sqrt{x}-10,x> 0.\)
Ta có g'(x) > 0 với x > 0 suy ra g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
Ta có g(1) = 0. Vậy pt g(x) có nghiệm duy nhất x = 1
Với x = 1 suy ra y = \(\frac{1}{3}\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \((1;\frac{1}{3})\)
