Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp.Giải chi tiết: Gọi cạnh đáy và trung đoạn của hình chóp tứ giác đều lần lượt là \(a\,\,\left( {cm} \right)\), \(d\,\,\left( {cm} \right)\). Theo đề bài, hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng \(\dfrac{2}{3}\) diện tích toàn phần \(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{xq}} = \dfrac{2}{3}{S_{tp}}\\ \Leftrightarrow 2ad = \dfrac{2}{3}\left( {2ad + {a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2ad = \dfrac{{4ad}}{3} + \dfrac{{2{a^2}}}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}ad - \dfrac{2}{3}{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}a\left( {d - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow d = a\,\end{array}\) Từ đỉnh \(S\) kẻ đường cao \(SH \bot AB\) \( \Rightarrow SH\) là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều. Xét \(\Delta SHB\) vuông tại \(H\) có: \(S{H^2} + H{B^2} = S{B^2}\) (định lý Py – ta – go) \( \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}} \) \( \Rightarrow \)\(d = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}} \)\( = \sqrt {5 - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {20 - {a^2}} }}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {20 - {a^2}} }}{2} = a\)\( \Leftrightarrow 2a = \sqrt {20 - {a^2}} \)\( \Leftrightarrow 4{a^2} = 20 - {a^2}\)\( \Leftrightarrow 5{a^2} = 20\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2\) Diện tích xung quanh của hình chóp là: \({S_{xq}} = pd = 2ad\)\( = 2.2.2 = 8\left( {c{m^2}} \right)\) Chọn C.
