Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Xét 2 TH \({m^2} - m = 0\) và \({m^2} - m \ne 0\).- Với TH \({m^2} - m \ne 0\), tính \(y'\) và tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).Giải chi tiết:TH1: \({m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\).+ Với \(m = 0 \Rightarrow y = 2\) là hàm hằng.+ Với \(m = 1 \Rightarrow y = x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).TH2: \({m^2} - m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 1\end{array} \right.\).Ta có \(y' = \left( {{m^2} - m} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - m} \right)x + m\).Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m > 0\\\Delta  = {\left( {{m^2} - m} \right)^2} - \left( {{m^2} - m} \right)m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\\left( {{m^2} - m} \right)\left( {{m^2} - 2m} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\{m^2} - 2m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\0 \le m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 2\end{array}\)Kết hợp các TH ta có \(1 \le m \le 2\).Vậy có 2 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn D