Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Xét \(f\left( a \right) + f\left( {1 - a} \right) = \dfrac{{{9^a}}}{{{9^a} + 3}} + \dfrac{{{9^{1 - a}}}}{{{9^{1 - a}} + 3}}\) \( = \dfrac{{{9^a}}}{{{9^a} + 3}} + \dfrac{9}{{{9^a}\left( {\dfrac{9}{{{9^a}}} + 3} \right)}} = \dfrac{{{9^a}}}{{{9^a} + 3}} + \dfrac{3}{{3 + {9^a}}} = 1\).Nên \(f\left( {3m + \dfrac{1}{4}\sin x} \right) + f\left( {{{\cos }^2}x} \right) = 1\, \Rightarrow 3m + \dfrac{1}{4}\sin x + {\cos ^2}x = 1\) \( \Leftrightarrow {\sin ^2}x - \dfrac{1}{4}\sin x = 3m\).Đặt \(t = \sin x\, \Rightarrow t' = \cos x = 0\, \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)Bảng biến thiên của \(t = \sin x\) trên \(\left[ {0;3\pi } \right]\) như sau:Dựa vào BBT ta thấy mỗi nghiệm \(t\) cho tối đa 4 nghiệm \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\).Do đó để phương trình \(3m + \dfrac{1}{4}\sin x + {\cos ^2}x = 1\) có 8 nghiệm thỏa mãn điều kiện thì phương trình \({t^2} - \dfrac{1}{4}t = 3m\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;1} \right)\).Đặt \(f\left( t \right) = {t^2} - \dfrac{1}{4}t\, \Rightarrow f\left( t \right) = 2t - \dfrac{1}{4} = 0\, \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{8}\).Bảng biến thiên hàm số \(f\left( t \right)\):Phương trình \({t^2} - \dfrac{1}{4}t = 3m\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{1}{{64}} < 3m \le 0\,\, \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{192}} < m \le 0\) .Chọn C