- Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) = số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\) + số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) với trục hoành (không tính các điểm tiếp xúc). - Đặt \(h\left( x \right) = f\left( {{x^3}} \right) - 3x\), tính \(h'\left( x \right)\), sử dụng tương giao xác định số nghiệm của phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) và suy ra số điểm cực trị của hàm số \(h\left( x \right)\). - Lập BBT của hàm số \(h\left( x \right)\), tiếp tục sử dụng tương giao tìm số nghiệm của phương trình \(h\left( x \right) = 0\).Giải chi tiết:Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{x^3}} \right) - 3x\) ta có \(h'\left( x \right) = 3{x^2}f'\left( {{x^3}} \right) - 3\). Cho \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}f'\left( {{x^3}} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2}f'\left( {{x^3}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( {{x^3}} \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\). Đặt \(t = {x^3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{t} \Rightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt[3]{t}} \right)^2}\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{t}} \right)}^2}}}\,\,\left( * \right)\). Xét hàm số \(k\left( t \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{t}} \right)}^2}}}\) ta có \(k\left( t \right) = {t^{ - \dfrac{2}{3}}} \Rightarrow k'\left( t \right) = - \dfrac{2}{3}{t^{ - \dfrac{5}{3}}} = - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{t^5}}}}}\). BBT:
Khi đó ta có đồ thị hàm số:
Dựa vào đồ thị ta thấy \(\left( * \right) \Leftrightarrow t = a > 0 \Leftrightarrow {x^3} = a \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{a}\). \( \Rightarrow \) Hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{x^3}} \right) - 3x\) có 1 điểm cực trị. BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(h\left( {\sqrt[3]{a}} \right) < h\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 0\). Do đó phương trình \(h\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) có tất cả 3 điểm cực trị. Chọn A
