Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

Lấy tích phân hai vế để làm xuất hiện \(I = \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} \)
Tính các tính phân bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc tích phân từng phần.
 Giải chi tiết:\(f\left( { - x} \right) + 2021f\left( x \right) = x\sin x\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( { - x} \right)dx + 2021\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} f } \left( x \right)dx = \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} \)         (1)
Ta tính: \(\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( { - x} \right)dx} \)
Đặt \(t =  - x \Rightarrow dt =  - dx.\) Khi đó \(x:\dfrac{{ - \pi }}{2} \to \dfrac{\pi }{2}\) thì \(t:\dfrac{\pi }{2} \to \dfrac{{ - \pi }}{2}\)
\(\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( { - x} \right)dx}  =  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{ - \pi }}{2}} {f\left( t \right)dt}  = I\)
Ta tính: \(\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \cos x\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx =  - x\cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\ - \frac{\pi }{2}\end{array} \right.}  + \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  = \sin x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\\frac{{ - \pi }}{2}\end{array} \right. = 2\)
Thay vào (1) ta có: \(I + 2021.I = 2 \Rightarrow 2022I = 2 \Rightarrow I = \dfrac{1}{{1011}}\).
Chọn C