Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(OH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\), trong \(\left( {SOH} \right)\) kẻ \(OK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\), chứng minh \(OK \bot \left( {SBC} \right)\)
- Sử dụng định lí Pytago tính \(OB,\,\,OC\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(OH,\,\,OK\).Giải chi tiết:
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(OH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOH} \right)\).
Trong \(\left( {SOH} \right)\) kẻ \(OK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot BC\\OK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK\).
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(OB = \sqrt {S{B^2} - S{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\), \(OC = \sqrt {B{C^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OBC\) ta có:
\(OH = \dfrac{{OB.OC}}{{\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{2{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOH\) ta có:
\(OK = \dfrac{{SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{{\sqrt {\dfrac{{2{a^2}}}{3} + \dfrac{{2{a^2}}}{9}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Vậy \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Chọn C