- Tìm ĐKXĐ. - Giải bất phương trình logarit.Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\m - {2^x} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\m > {2^x} > {2^0} = 1\end{array} \right.\). Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{\log _3^2x - 3{{\log }_3}x + 2}}{{\sqrt {m - {2^x}} }} < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\log _3^2x - 3{\log _3}x + 2 < 0\\m > {2^x}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < {\log _3}x < 2\\m > {2^x}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 < x < 9\\m > {2^x}\end{array} \right.\end{array}\) Để bất phương trình đã cho có không quá 3 nghiệm nguyên dương thì bất phương trình \(m > {2^x}\) có không quá 3 nghiệm nguyên dương \(x \in \left( {3;9} \right)\). Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) với \(x \in \left( {3;9} \right)\) ta có hàm số đồng biến trên \(\left( {3;9} \right)\) và có BBT như sau:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(m > {2^x}\) có không quá 3 nghiệm nguyên dương thuộc \(\left( {3;9} \right)\) khi và chỉ khi \(m \le {2^7} = 128\). Kết hợp điều kiện \(m > 1,\,\,m\) nguyên dương ta có \(m \in \left\{ {2;3;...;64} \right\}\). Vậy có 127 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A
