chương 2: Hàm số mũ - loga ( lý thuyết)

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. SỐ MŨ

1.1. Định nghĩa:

1.2. Tính chất cần nhớ

${{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$	$\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}$
$\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m+n}}$	${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-n}}={{\left( \frac{b}{a} \right)}^{n}}$
${{({{a}^{m}})}^{n}}={{a}^{m.n}}$	$\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
$\sqrt[m.n]{{{a}^{n}}}=\sqrt[m]{a}$	$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
${{a}^{n}}{{b}^{n}}={{(ab)}^{n}}$	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m.n]{a}$

1.3. So sánh:

· Với a > 1, a^p> a^q $\Leftrightarrow$ p > q

· Với 0 < a < 1, a^p> a^q $\Leftrightarrow$ p < q

· Với 0 < a < b và m là số nguyên thì

+ a^m < b^m $\Leftrightarrow$ m > 0

+ a^m > b^m $\Leftrightarrow$ m < 0

+a, b > 0: aⁿ = bⁿ $\Leftrightarrow$ a = b

· Với n là nguyên dương lẻ và a < b thì $\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}$

· Với n là nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì $\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}$

2. LOGARIT

2.1. Định nghĩa: cho a > 0, a $\ne$ 1, b>0

${{\log }_{a}}b=x,x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{a}^{x}}=b$

Vd: ${{\log }_{2}}8=3$

${{\log }_{2}}\sqrt{2}=\frac{1}{2}$

2.2. Tính chất:

${{\log }_{a}}1=0$ ${{\log }_{a}}a=1$

${{\log }_{a}}({{a}^{n}})=n$ ${{a}^{{{\log }_{a}}n}}=n$

${{\log }_{a}}u+{{\log }_{a}}v={{\log }_{a}}(uv)$

${{\log }_{a}}u-{{\log }_{a}}v={{\log }_{a}}\left( \frac{u}{v} \right)$

${{\log }_{a}}b={{\log }_{{{a}^{n}}}}({{b}^{n}})={{\log }_{\sqrt[n]{a}}}\left( \sqrt[n]{b} \right)$

${{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}({{b}^{\beta }})=\frac{\beta }{\alpha }{{\log }_{a}}b$

(*) Công thức đổi cơ số

${{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}$ ${{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}$ ${{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}b}$

${{\log }_{a}}(b).{{\log }_{b}}(a)=1$ ${{\log }_{a}}(b).{{\log }_{b}}(c)={{\log }_{a}}c$

2.3. So sánh:

• Khi a > 1 thì ${{\log }_{a}}$ b > ${{\log }_{a}}$ c $\Leftrightarrow$ b > c > 0

• Khi 0 < a < 1 thì ${{\log }_{a}}$ b > ${{\log }_{a}}$ c $\Leftrightarrow$ 0 < b < c

2.4. Đặc biệt:

2.4.1. Logarit tự nhiên

${{\log }_{e}}b=\ln b$ với $e\approx 2.71828...$

2.4.2. Logarit thập phân

${{\log }_{10}}b=\log b$

3. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

	Hàm số mũ, $y={{a}^{x}}$	Hàm số logarit, $y={{\log }_{a}}x$
1) ĐK	a>0,a $\ne$ 1	$a>0,a\ne 1$
2) TXĐ	$D=\mathbb{R}$	$D = (0; + \infty )$
3) Tập giá trị	$Y = (0; + \infty )$	$Y=\mathbb{R}$
4) Miền liên tục	$\mathbb{R}$	$(0; + \infty )$
5) bảng biến thiên	0<> a>1	0<> a>1
6) đồ thị	0<> a>1	0<> a>1
7) đạo hàm	$({a^x})' = {a^x}\ln a$ $({e^x})' = {e^x}$ $({a^u})' = u'{a^u}{\mathop{\rm lna}\nolimits}$ $({e^u})' = u'{e^u}$ $({e^{kx}})' = k{e^{kx}}$	(lnx)^’ = $\frac{\text{1}}{\text{x}}$ ${{\text{(lo}{{\text{g}}_{\text{a}}}\text{x)}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}=\frac{\text{1}}{\text{x}\text{.lna}}$