BÀI TẬP CHIỀU DÀI CỦA CON LẮC LÒ XO
Ví dụ 1: Một lò xo khối lượng không đáng kể có độ cứng k, một đầu gắn vật nhỏ có khối lượng m, đầu còn lại được gắn vào một điểm cố định J sao cho vật dao động điều hòa theo phương ngang. Trong quá trình dao động, chiều dài cực đại và chiều dài cực tiểu của lò xo lần lượt là 40 cm và 30 cm. Chọn phương án sai.
A. Chiều dài tự nhiên của lò xo là 35 cm.
B. Biên độ dao động là 5 cm.
C. Lực mà lò xo tác dụng lên điểm J luôn là lực kéo.
D. Độ biến dạng của lò xo luôn bằng độ lớn của li độ.
Hướng dẫn
Vì khi ở vị trí cân bằng lò xo không biến dạng nên độ biến dạng của lò xo luôn bằng độ lớn của li độ => D đúng.
Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo lần lượt là:
.png)
Trong một chu kì một nửa thời gian lò xo nén (lực lò xo tác dụng lên J là lực đẩy) và một nửa thời gian lò xo dãn (lực lò xo tác dụng lên J là lực kéo) => C sai => Chọn C.
Ví dụ 2: Con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ $A=4\sqrt{2}$ (cm). Biết lò xo có độ cứng k = 50 (N/m), vật dao động có khối lượng m = 200 (g), lấy π2= 10. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để lò xo dãn một lượng lớn hơn $2\sqrt{2}$ cm là
A. 2/15 (s). B. 1/15 (s). C. 1/3 (s). D. 0,1 (s)
Hướng dẫn
|
Để lò xo dãn lớn hơn $2\sqrt{2}$cm = A/2 thì vật có li độ nằm trong khoảng x = A/2 đến A: $\Delta t=\frac{T}{6}+\frac{T}{6}=\frac{T}{3}$ $=\frac{1}{3}2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{1}{3}2\pi \sqrt{\frac{0,2}{50}}=\frac{2}{15}\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn A. |
|
.png)
Ví dụ 3: Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên 30 cm có độ cứng là k, đầu trên cố định, đầu dưới gắn vật m, vật dao động điều hoà trên mặt phẳng nghiêng góc 30° với phương trình x = 6cos(10t + 5π/6) (cm) (t đo bằng s) tại nơi có g = 10 (m/s2). Trong quá trình dao động chiều dài cực tiểu của lò xo là
A. 29 cm. B. 25 cm. C. 31 cm. D. 36 cm.
Hướng dẫn
|
Độ dãn của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg\sin \alpha }{{{\omega }^{2}}}=\frac{g\sin \alpha }{{{\omega }^{2}}}=0,05\left( m \right)$ Chiều dài lò xo tại VTCB (${{\ell }_{0}}$ là chiều dài tự nhiên) ${{\ell }_{CB}}={{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}}=35\left( cm \right)$ Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): ${{\ell }_{\min }}={{\ell }_{cb}}-A=29\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn A. |
|
.png)
Chú ý: Khi lò xo có độ dãn Δl thì độ lớn li độ là: $\left| {{x}_{0}} \right|=\left| \Delta \ell -\Delta {{\ell }_{0}} \right|$
Ví dụ 4: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, gồm lò xo độ cứng 100 (N/m) và vật nặng khối lượng 100 (g). Giữ vật theo phưong thẳng đứng làm lò xo dãn 3 (cm), rồi truyền cho nó vận tốc $20\pi \sqrt{3}$ (cm/s) hướng lên thì vật dao động điều hòa Lấy π2 = 10; gia tốc trọng trường g = 10 (m/s2). Biên độ dao động là
A. 5,46 (cm). B. 4,00 (cm). C. 4,58 (cm). D. 2,54 (cm).
Hướng dẫn
.png)
$\Rightarrow A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}=4\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn B
Ví dụ 5: Một lắc lò xo có độ cứng 100 (N/m) treo thẳng đứng, đầu dưới treo một vật có khối lượng 1 kg tại nơi có gia tốc trọng trường là 10 (m/s2). Giữ vật ở vị trí lò xo còn dãn 7 cm rồi cung cấp vận tốc 0,4 m/s theo phương thẳng đứng. Ở vị trí thấp nhất lò xo dãn là
A. 5 cm. B. 25 cm. C. 15 cm. D. 10 cm.
Hướng dẫn
$\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg}{k}=\frac{1.10}{100}=0,1\left( m \right)=10\left( cm \right)$ .png)
Khi ở vị trí thấp nhất độ dãn của lò xo: $\Delta {{\ell }_{\max }}=\Delta {{\ell }_{0}}+A=15\left( cm \right)$ > Chọn C.
Ví dụ 6: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật treo có khối lượng m. Kéo vật xuống dưới vị trí cân bằng 3 cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 cm/s thì nó dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo và khi vật đạt độ cao cực đại, lò xo dãn 5 cm. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Vận tốc cực đại của vật dao động là
A. 1,15 m/s. B. 0,5 m/s. C. 10 cm/s. D. 2,5 cm/s.
Hướng dẫn
Độ dãn của lò xo khi ở vị trí cân bằng: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg}{k}=\frac{10}{{{\omega }^{2}}}$
Khi ở độ cao cực đại, độ dãn của lò xo: $\Delta {{\ell }_{\min }}=\Delta {{\ell }_{0}}-A\Rightarrow 0,05=\frac{10}{{{\omega }^{2}}}-A$
.png)
$\omega =\sqrt{\frac{1}{0,1A+0,005}}=10\left( rad/s \right)\Rightarrow {{v}_{\max }}=\omega A=0,5\left( m/s \right)\Rightarrow $ Chọn B
Ví dụ 7: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật treo có khối lượng m. Vật đang ở vị trí bằng, người ta truyền cho nó một vận tốc hướng xuống dưới thì sau thời gian π/20 (s), vật dừng lại tức thời lần đầu và khi đó lò xo dãn 20 cm. Lấy gia tốc họng trường g= 10 m/s2. Biết vật dao động điều hòa theo phươmg thẳng đứng trùng với trục của lò xo.Biên độ dao động là
A. 5 cm. B. 10 cm. C. 15 cm. D. 20 cm.
Hướng dẫn
$\frac{T}{4}=\frac{\pi }{20}\Rightarrow T=\frac{\pi }{5}\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=10\left( rad/s \right)$
Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg}{k}=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=0,1\left( m \right)=10\left( cm \right)$
Độ dãn cực đại của lò xo: $\Delta {{\ell }_{\max }}=\Delta {{\ell }_{0}}+A\Rightarrow 20=10+A\Rightarrow A=10\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn B
Chú ý: Từ các công thức${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}};a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$ .
Ví dụ 8: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, lúc cân bằng lò xo dãn 3,5 cm. Kéo vật nặng xuống dưới vị trí cân bằng khoảng h, rồi thả nhẹ thấy con lắc đang dao động điều hoà. Gia tốc trọng trường g = 9,8 (m/s2). Tại thời điểm có vận tốc 50 cm/s thì có gia tốc 2,3 m/s2. Tính h
A. 3,500 cm. B. 3,066 cm. C. 3,099 cm. D. 6,599 cm.
Hướng dẫn
$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{\Delta {{\ell }_{0}}}}=\sqrt{280}$ ;$\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{2,3}^{2}}}{{{280}^{2}}}+\frac{{{0,5}^{2}}}{280}}\approx 0,03099\left( m \right)\Rightarrow $ Chọn C.
Chú ý: Khi vật có tốc độ bằng không và lò xo không biến dạng thì $A=\Delta {{\ell }_{0}}$
.png)
Ví dụ 9: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng (trùng với trục của lò xo), khi vật ở cách vị trí cân bằng 5 cm thì có tốc độ bằng không và lò xo không biến dạng. Cho g = 9,8 m/s2. Tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng là
A. 0,7 m/s. B. 7m/s. C. $7\sqrt{2}$m/s. D. 0,7/2 m/s.
Hướng dẫn
.png)
Ví dụ 10 : Con lắc lò xo treo trên mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng 30°. Nâng vật lên đến vị trí lò xo không biến dạng và thả không vận tốc ban đầu thì vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo, khi vận tốc của vật là 1 m/s thì gia tốc của vật là 3 m/s2. Lấy gia tốc họng trường 10 m/s2. Tần số góc bằng
A. 2 rad/s. B. 3 rad/s. C. 4 rad/s. D. $5\sqrt{3}$rad/s
Hướng dẫn
.png)
Chú ý: Chiều dài lò xo ở vị trí cân bằng, ở vị trí có li độ x (chọn chiều trục Ox hướng xuống) ở vị trí cao nhất và ở vị trí thấp nhất.
.png)
Ví dụ 11: Một con lắc lò xo heo thẳng đứng (coi gia tốc trọng trường là 10 m/s2) quả cầu có khối lượng 120 g. Chiều dài tự nhiên của lò xo là 20 cm và độ cứng 40 N/m. Từ vị trí cân bằng, kéo vật thẳng đứng, xuống dưới tới khi lò xo dài 26,5 cm rồi buông nhẹ cho nó dao động điều hòa Động năng của vật lúc lò xo dài 25 cm là
A. 24,5 mJ. B. 22 mJ. C. 12 mJ. D. 16,5 mJ.
Hướng dẫn
.png)
\[{{\text{W}}_{d}}=\text{W}-{{\text{W}}_{t}}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}-\frac{k{{x}^{2}}}{2}=\frac{40}{2}\left( {{0,035}^{2}}-{{0,02}^{2}} \right)={{16,5.10}^{-3}}\left( J \right)\Rightarrow \] Chọn D
Ví dụ 12: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa theo phương trùng với trục của lò xo. Tại các thời điểm t1, t2 và t3 lò xo dãn a cm, 2a cm và 3a cm tưong ứng với tốc độ của vật là $v\sqrt{8}$ cm/s; $v\sqrt{7}$ cm/s và $v\sqrt{2}$ cm/s. Tỉ số giữa thòi gian lò xo nén và lò xo dãn trong một chu kỳ gần với giá trị nào nhất:
A. 0,4 B. 0,5. C. 0,8 D. 0,6
Hướng dẫn
Thay $x=\Delta \ell -\Delta {{\ell }_{0}}$ vào ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$
$\Rightarrow {{A}^{2}}=\left( \Delta \ell -\Delta {{\ell }_{0}} \right)+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow {{\left( \frac{A}{\Delta {{\ell }_{0}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{\Delta \ell }{\Delta {{\ell }_{0}}}-1 \right)}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\left( \omega \Delta {{\ell }_{0}} \right)}^{2}}}$
Theo bài ra \[{{\left( \frac{A}{\Delta {{\ell }_{0}}} \right)}^{2}}={{\left( b-1 \right)}^{2}}+8{{c}^{2}}={{\left( 2b-1 \right)}^{2}}+7{{c}^{2}}+{{\left( 3b-1 \right)}^{2}}+2{{c}^{2}}\]
.png)
Ví dụ 13: Một lò xo đặt thẳng đứng, đầu dưới cố định, đầu trên gắn vật, sao cho vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ là 5 cm. Lò xo có độ cứng 80 (N/m), vật nặng có khối lượng 200 (g), lấy gia tốc trọng trường 10 (m/s2). Độ dãn cực đại của lò xo khi vật dao động là
A. 3 (cm). B. 7,5 (cm). C. 2,5 (cm). D. 8 (cm).
Hướng dẫn
Độ nén lò xo ở VTCB: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg}{k}=\frac{0,2.10}{80}=0,025\left( m \right)=2,5\left( cm \right)$
Độ dãn cực đại củ lò xo: $A=\Delta {{\ell }_{0}}=2,5\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn C.
Ví dụ 14: Con lắc lò xo gồm vật khối lượng 1 kg, lò xo độ cứng k = 100 N/m đặt trên mặt phẳng nghiêng góc 30° (đầu dưới lò xo gắn cố định đầu trên gắn vật). Đưa vật đến vị trí lò xo bị nén 2 cm rồi buông tay không vận tốc đầu thì vật dao động điều hoà. Lấy g = 10 m/s2. Lực tác dụng do tay tác dụng lên vật ngay trước khi buông tay và động năng cực đại của vật lần lượt là
A. 5 N và 125 mJ. B. 2N và 0,02J. C. 3 N và 0,45 J. D. 3 N và 45 mJ.
Hướng dẫn
Độ nén của lò xo ở vị trí cân bằng: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg\sin \alpha }{k}=5\left( cm \right)$
Biên độ: $\Delta {{\ell }_{0}}-\Delta \ell =-3\left( cm \right)$ ;$F=kA=100.0,03=3\left( N \right)$
\[{{\text{W}}_{d\max }}=\text{W}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}=\frac{{{100.0,03}^{2}}}{2}=0,045\left( J \right)\Rightarrow \] Chọn D.
Ví dụ 15: Một con lắc lò xo đang cân bằng trên mặt phẳng nghiêng một góc 37° so với phương ngang. Tăng góc nghiêng thêm 16° thi khi cân bằng lò xo dài thêm 2 cm. Bỏ qua ma sát và lấy g = 10 m/s2. Tần số góc dao động riêng của con lắc là
A. 12,5 rad/s. B. 9,9rad/s. C. 15 rad/s. D. 5 rad/s.
Hướng dẫn
Độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng trong hai trường hợp lần lượt là:
.png)
$\Rightarrow 0,02=\frac{10\left( \sin {{53}^{0}}-\sin {{37}^{0}} \right)}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow \omega =9,9\left( rad/s \right)\Rightarrow $ Chọn B
Ví dụ 16: Một quả nặng có khối lượng m, nằm trên mặt phẳng nằm ngang, được gắn với lò xo nhẹ có độ cứng k lò xo theo phương thẳng đứng. Đầu tự do của lò xo bắt đầu được nâng lên thẳng đứng với vận toc V không đổi. Xác định độ biến dạng cực đại của lò xo.
A. $v\sqrt{\frac{m}{k}}.$ B. $2v\sqrt{\frac{m}{k}}$ C. $\frac{mg}{k}.$ D. $\frac{mg}{k}+v\sqrt{\frac{m}{k}}$
Hướng dẫn
|
Lúc đầu lò xo cứ dãn dần và khi vật m bắt đầu rời sàn thì lò xo dãn $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg}{k},$ lúc này vật ở vị trí cân bằng được truyền vận tốc v (hướng lên) và sau đó vật m dao động điều hòa với tần số góc $\sqrt{\frac{k}{m}}$. Do đó biên độ |
|
.png)
$A=\frac{v}{\omega }=v\sqrt{\frac{m}{k}}$ và độ dãn cực đại của lò xo là: $\Delta {{\ell }_{0}}+A=\frac{mg}{k}+v\sqrt{\frac{m}{k}}\Rightarrow $ Chọn D.
Ví dụ 17: Một con lắc lò xo có tần số góc riêng ω = 25 rad/s, rơi tự do mà trục lò xo thẳng đứng, vật nặng bên dưới. Ngay khi con lắc có vận tốc 40 cm/s thì đầu ưên lò xo bị giữ lại. Tính vận tốc cực đại của con lắc.
A. 60 cm/s. B. 58 cm/s. C. $40\sqrt{2}$ cm/s D. 67 cm/s.
Hướng dẫn
|
Khi con lắc lò xo đang rơi tự do thì lò xo không biến dạng. Ngay khi đầu trên lò xo bị giữ lại, độ lớn li độ của vật đúng bằng độ dãn của lò xo tại VTCB: $\left| {{x}_{0}} \right|=\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg}{k}=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=0,016\left( m \right)=$ l,6(cm) và lúc này vât có vận tốc v0 = 40 cm/s. Biên độ dao động và vận tốc dao động cực đại lần lượt là: |
|
.png)
.png)
Ví dụ 18: Một con lắc lò xo nằm ngang có m = 0,2 kg, k = 20N/m. Khi con lắc ở VTCB tác dụng một lực F = 20 N theo phương trùng với trục của lò xo trong thời gian 0,005 s. Tính biên độ của vật sau đó xem rằng trong thời gian lực tác dụng vật chưa kịp dịch chuyển
A. 4 cm. B. 5 cm. C. 8 cm. D. 10 cm.
Hướng dẫn
Áp dụng định luật II Niuton: $F=mg=m\frac{dv}{dt}\approx m\frac{\Delta v}{\Delta t}=m\frac{{{v}_{0}}-0}{\Delta t}$
$\Rightarrow {{v}_{0}}=\frac{F\Delta t}{m}=\frac{20.0,005}{0,2}=0,5\left( m/s \right)\Rightarrow A=\frac{{{v}_{0}}}{\omega }={{v}_{0}}\sqrt{\frac{m}{k}}=0,05\left( m \right)\Rightarrow $ Chọn B
