Bài Tập Cắt Ghép Lò Xo

BÀI TẬP CẮT GHÉP LÒ XO

 

Hướng dẫn

$k\ell =k'\ell '\Rightarrow k'=k\frac{\ell }{\ell '}=2k\Rightarrow \frac{T'}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{m'}{k'}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}=\sqrt{\frac{m'}{m}}\sqrt{\frac{k'}{k}}=\sqrt{\frac{1}{8}}.\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{4}\Rightarrow $ Chọn C.

Hướng dẫn

$1=\frac{{{T}_{AC}}}{{{T}_{CB}}}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{AC}}}{{{k}_{AC}}}}}{2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{CB}}}{{{k}_{CB}}}}}=\sqrt{\frac{1}{3}\frac{{{k}_{CB}}}{{{k}_{AC}}}}\Rightarrow AC=3CB\Rightarrow \frac{CB}{AB}=\frac{1}{4}\Rightarrow $ Chọn C.

Hướng dẫn

$\frac{T'}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}=\sqrt{\frac{k'}{k}}=\sqrt{\frac{\ell '}{\ell }}=\frac{4}{5}=80%\Rightarrow $ Giảm $100%-80%=20%\Rightarrow $ Chọn B.

Hướng dẫn

Từ công thức $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ và độ cứng tỉ lệ nghịch với chiều dài nên:

$\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\ell }_{2}}}{{{\ell }_{1}}}}=\sqrt{\frac{\ell -0,1}{\ell }}=\sqrt{1-\frac{0,1}{\ell }}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{1-\frac{0,1}{\ell }}\Rightarrow \ell =0,4\left( m \right)$

$\frac{{{T}_{3}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\ell }_{3}}}{{{\ell }_{1}}}}=\sqrt{\frac{\ell -0,3}{\ell }}=\sqrt{\frac{0,4-0,3}{0,4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}\Rightarrow {{T}_{3}}=\frac{{{T}_{1}}}{2}=1\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Hướng dẫn

Độ cứng của lò xo còn lại: ${{k}_{1}}{{\ell }_{1}}=k\ell \Rightarrow {{k}_{1}}=2k$

Cơ năng dao động không thay đổi nên: $\frac{{{k}_{1}}A_{1}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow {{A}_{1}}=\frac{A}{\sqrt{2}}\Rightarrow $ Chọn A.

Hướng dẫn

Cơ năng dao động không thay đổi nên: $\frac{{{k}_{1}}A_{1}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow \frac{k}{{{k}_{1}}}=\frac{3}{4}$

Mà ${{k}_{1}}{{\ell }_{1}}=k\ell \Rightarrow {{\ell }_{1}}=\ell \frac{k}{{{k}_{1}}}\Rightarrow b=\frac{\ell }{4}\Rightarrow 4b\Rightarrow $ Chọn B

Hướng dẫn

 

Phần thế năng bị nhốt: \[{{\text{W}}_{nhot}}=\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k{{x}^{2}}}{2}\]

Cơ năng còn lại: $W'=W-{{W}_{nhot}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{1}}A_{1}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}-\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k{{x}^{2}}}{2}$

Hướng dẫn

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=0,2\left( s \right);\omega =\frac{2\pi }{T}=10\pi \left( rad/s \right)\Rightarrow A=\frac{{{v}_{cb}}}{\omega }=4\left( cm \right)$

$t=\frac{1}{30}s=\frac{T}{6}\Rightarrow x=\frac{A\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left( cm \right)$

Phần phần thế năng bị nhốt: W_nhốt $=\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k{{x}^{2}}}{2}$

Cơ năng còn lại : $W'=W-{{W}_{nhot}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{1}}A_{1}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k{{x}^{2}}}{2}$

\[\Rightarrow {{A}_{1}}=\sqrt{\frac{1}{2}{{4}^{2}}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\left( cm \right)\Rightarrow \]Chọn A.

Hướng dẫn

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=0,2\left( s \right);\omega =\frac{2\pi }{T}=10\pi \left( rad/s \right);A=\frac{{{v}_{cb}}}{\omega }=4\left( cm \right);k'=2k\]

Thời điểm giữ cố đỉnh điểm chính giữa lò xo: t = 0,15s =$\frac{3T}{4}$ , lúc này vật đang ở vị trí biên nên thế năng bằng cơ năng Wt = W. Phần thế năng này

chia đều cho hai nửa nên phần thế năng bị nhốt là 0,5W.

Do đó, cơ năng còn lại: $W'=W-{{W}_{nhot}}=0,5W$

 hay $\frac{k'A{{'}^{2}}}{2}=0,5\frac{k{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow A'=\sqrt{0,5}\sqrt{\frac{k}{k'}}A=2\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn C.

Hướng dẫn

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{\pi }{5}\left( s \right);k'=2k$ Thời điểm giữ cố dịnh điểm chính giữa lò xo:

$t=\frac{7\pi }{30}s=T+\frac{T}{6}$ lúc này vật đang ở vị trí x = A/2 nên thế năng Wt = W/4. Phần thế năng này chia đều cho hai nửa nên phần thế năng bị nhốt là Wnhốt = W/8.

Do đó, cơ năng còn lại: W’ = W – W_nhốt = 7W/8 hay

 $\frac{k'{{A}^{'2}}}{2}=\frac{7}{8}\frac{k{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow A'=\sqrt{\frac{7}{8}\frac{k}{k'}A}=\frac{a\sqrt{7}}{4}\Rightarrow $ Chọn D.

 

Quy trình giải nhanh:

Bước 1: Tại thời điểm giữ cố định $x=\pm \frac{A}{n}$ nên thế năng lúc này \[{{\text{W}}_{t}}=\frac{W}{{{n}^{2}}}\]

Bước 2: Phần thế năng bi nhốt ${{W}_{nhot}}=\frac{{{\ell }_{nhot}}}{\ell }{{W}_{t}}=\frac{{{\ell }_{nhot}}}{\ell }\frac{W}{{{n}^{2}}}$

Bước 3: Cơ năng còn lại $W'=W-{{W}_{nhot}}=W\left( 1-\frac{{{\ell }_{nhot}}}{\ell {{n}^{2}}} \right)\Rightarrow \frac{k'A{{'}^{2}}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}\left( 1-\frac{{{\ell }_{nhot}}}{\ell {{n}^{2}}} \right)$

$\Rightarrow A'=A\sqrt{\frac{k}{k'}\left( 1-\frac{{{\ell }_{nhot}}}{\ell {{n}^{2}}} \right)}=A\sqrt{\frac{{{\ell }_{con\,\_lai}}}{\ell }\left( 1-\frac{{{\ell }_{nhot}}}{\ell {{n}^{2}}} \right)}$

Hướng dẫn

Tại thời điểm giữ cố định: $t=19T+T/8\Rightarrow x=\frac{A}{\sqrt{2}}$ nên $n=\sqrt{2}$

Áp dụng công thức: $A'=A\sqrt{\frac{{{\ell }_{1}}}{\ell }\left( 1-\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell {{n}^{2}}} \right)}$ với ${{\ell }_{2}}/\ell =0,2;{{\ell }_{1}}/\ell =0,8$ tính được $A'=\frac{3A\sqrt{2}}{5}$

$\Rightarrow $Chọn C.

Hướng dẫn

${{f}_{1}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{{k}_{1}}}{m}};{{f}_{2}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{{k}_{2}}}{m}};{{f}_{m}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\frac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}{m}}$

$\Rightarrow \frac{1}{f_{1}^{2}}+\frac{1}{f_{2}^{2}}=\frac{1}{f_{m}^{2}}\Rightarrow {{f}_{m}}=\frac{{{f}_{1}}{{f}_{2}}}{\sqrt{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}}=2,4\left( Hz \right)\Rightarrow $ Chọn D.

 

Hướng dẫn

Hướng dẫn

Độ cứng tương đương của hệ lò xo sau: $\frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k}\Rightarrow {{k}_{s}}=\frac{k}{2}$

Cơ năng dao động không thay đổi: $\frac{{{k}_{s}}A_{s}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow {{A}_{s}}=8\sqrt{2}\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Chú ý: Nếu đúng lúc con lắc đi qua vị trí có li độ x, một lò xo không còn tham gia dao động thì phần năng lượng bị mất đúng bằng thế năng đàn hồi của lò xo bị mất.

Hướng dẫn

Phần thế năng đàn hồi chứa trong lò xo bị mất: \[{{\text{W}}_{mat}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2{{n}^{2}}}\] Đây chính là phần cơ năng bị giảm \[{{\text{W}}_{t}}-{{\text{W}}_{s}}={{W}_{mat}}\Rightarrow \frac{{{k}_{t}}{{A}^{2}}}{2}-\frac{{{k}_{s}}A_{s}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2{{n}^{2}}}\] mà

nên suy ra ${{A}_{s}}=A\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+n+1}}{n}\Rightarrow $ Chọn A.

Chú ý: Khi cơ hệ có nhiều lò xo, tại vị trí cân bằng của vật hợp lực tác dụng lên vật bằng 0, từ đó ta biết được trạng thái của các lò xo dãn hay nén.

 

Hướng dẫn

$\Delta {{\ell }_{01}}=\Delta {{\ell }_{02}}=0,05\left( m \right)$

${{k}_{1}}={{k}_{2}}=\frac{{{k}_{0}}{{\ell }_{0}}}{{{\ell }_{1}}}=2{{k}_{0}}=240\left( N/m \right)$

${{F}_{1}}={{k}_{1}}\left( \Delta {{\ell }_{01}}+x \right)=240.0,08=19,2N\Rightarrow $ Chọn A.

Bài viết gợi ý: