Bài Toán Cắt Ghép Lò Xo

1. Cắt lò xo

Giả sử lò xo có cấu tạo đồng đều, chiều dài tự nhiên${{\ell }_{0}}$ , độ cứng k₀, được cắt thành các lò xo khác nhau.

Nếu lò xo được cắt thành n phần bằng nhau.

${{\ell }_{1}}={{\ell }_{2}}=...={{\ell }_{n}}=\frac{{{\ell }_{0}}}{2}\Rightarrow {{k}_{1}}={{k}_{2}}=....{{k}_{n}}=n{{k}_{0}}$

+ ω, f tăng $\sqrt{n}$ lần.

+ T giảm $\sqrt{n}$ lần.

2. Ghép lò xo

Phương pháp giải:

* Ghép nối tiếp: $\frac{1}{{{k}_{nt}}}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}}+...$

* Ghép song song: ${{k}_{s}}={{k}_{1}}+{{k}_{2}}+...$

* Nếu một vật có khối lượng m lần lượt liên kết với các lò xo khác nhau thì hệ thức liên hệ:

B: BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m và lò xo có độ cứng k, dao động điều hòa Nếu cắt bớt một nửa chiều dài của lò xo và giảm khối lượng m đi 8 lần thì chu kì dao động của vật sẽ

A. tăng 2 lần. B. giảm 2 lần. C. giảm 4 lần. D. tăng 4 lần.

Hướng dẫn

$k\ell =k'\ell '\Rightarrow k'=k\frac{\ell }{\ell '}=2k\Rightarrow \frac{T'}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{m'}{k'}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}=\sqrt{\frac{m'}{m}}\sqrt{\frac{k'}{k}}=\sqrt{\frac{1}{8}}.\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{4}\Rightarrow $ Chọn C.

Ví dụ 2: Biết độ dài tự nhiên của lò xo treo vật nặng là 25cm. Nếu cắt bỏ 9 cm lò xo thì chu kỳ dao động riêng của con lắc:

A. Giảm 25%. B. Giảm 20%. C. Giảm 18%. D. Tăng 20%.

Hướng dẫn

$\frac{T'}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}=\sqrt{\frac{k'}{k}}=\sqrt{\frac{\ell '}{\ell }}=\frac{4}{5}=80%\Rightarrow $ Giảm $100%-80%=20%\Rightarrow $ Chọn B.

Ví dụ 3: Một lò xo đồng chất, tiết diện đều được cắt thành ba lò xo có chiều dài tự nhiên là $\ell $ (cm), ($\ell $− 10) (cm) và ($\ell $− 30) (cm). Lần lượt gắn mỗi lò xo này (theo thứ tự trên) với vật nhỏ khối lượng m thì được ba con lắc có chu kì dao động riêng tương ứng là: 2 s; $\sqrt{3}$ s và T. Biết độ cứng của các lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. Giá trị của T là

A. 1,00 s. B. 1,28 s. C. 1,41 s. D. 1,50 s.

Hướng dẫn

Từ công thức $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ và độ cứng tỉ lệ nghịch với chiều dài nên:

$\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\ell }_{2}}}{{{\ell }_{1}}}}=\sqrt{\frac{\ell -0,1}{\ell }}=\sqrt{1-\frac{0,1}{\ell }}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{1-\frac{0,1}{\ell }}\Rightarrow \ell =0,4\left( m \right)$

$\frac{{{T}_{3}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\ell }_{3}}}{{{\ell }_{1}}}}=\sqrt{\frac{\ell -0,3}{\ell }}=\sqrt{\frac{0,4-0,3}{0,4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}\Rightarrow {{T}_{3}}=\frac{{{T}_{1}}}{2}=1\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Ví dụ 4: Con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hoà với biên độ A, dọc theo phương trùng với trục của lò xo. Khi vật nặng chuyển động qua vị trí cân bằng thì giữ cố định điểm I trên lò xo cách điểm cố định của lò xo một đoạn bằng b thì sau đó vật sẽ tiếp tục dao động điều hòa với biên độ bằng 0,5$\sqrt{3}$. Chiều dài tự nhiên của lò xo lúc đầu là

A. 4b/3. B. 4b. C. 2b. D. 3b.

Hướng dẫn

Cơ năng dao động không thay đổi nên: $\frac{{{k}_{1}}A_{1}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow \frac{k}{{{k}_{1}}}=\frac{3}{4}$

Mà ${{k}_{1}}{{\ell }_{1}}=k\ell \Rightarrow {{\ell }_{1}}=\ell \frac{k}{{{k}_{1}}}\Rightarrow b=\frac{\ell }{4}\Rightarrow 4b\Rightarrow $ Chọn B

Ví dụ 5: Một con lắc lò xo dài dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang với chu kì T và biên độ A. Khi t = 0 vật có li độ x = A. Đến thời điểm t = 19T + T/8 người ta giữ cố định 20% chiều dài của lò xo. Tính biên độ dao động mới của vật

A. A$\sqrt{17}$/5. B. A/2. C. 3A$\sqrt{2}$ /5. D. $A\sqrt{7}$ /4.

Hướng dẫn

Tại thời điểm giữ cố định: $t=19T+T/8\Rightarrow x=\frac{A}{\sqrt{2}}$ nên $n=\sqrt{2}$

Áp dụng công thức: $A'=A\sqrt{\frac{{{\ell }_{1}}}{\ell }\left( 1-\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell {{n}^{2}}} \right)}$ với ${{\ell }_{2}}/\ell =0,2;{{\ell }_{1}}/\ell =0,8$ tính được $A'=\frac{3A\sqrt{2}}{5}$

$\Rightarrow $Chọn C.

Ví dụ 6: Khi treo vật có khối lượng m lần lượt vào các lò xo 1 và 2 thì tần số dao động của các con lắc lò xo tương ứng là 3 Hz và 4 Hz. Nối 2 lò xo với nhau thành một lò xo rồi treo vật nặng m thì tần số dao động là

A. 5,0 Hz. B. 2,2 Hz. C. 2,3 Hz. D. 2,4 Hz.

Hướng dẫn

${{f}_{1}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{{k}_{1}}}{m}};{{f}_{2}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{{k}_{2}}}{m}};{{f}_{m}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\frac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}{m}}$

$\Rightarrow \frac{1}{f_{1}^{2}}+\frac{1}{f_{2}^{2}}=\frac{1}{f_{m}^{2}}\Rightarrow {{f}_{m}}=\frac{{{f}_{1}}{{f}_{2}}}{\sqrt{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}}=2,4\left( Hz \right)\Rightarrow $ Chọn D.

Ví dụ 7: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 8 cm, đúng lúc nó qua vị trí cân bằng thì người ta ghép nối tiếp thêm một lò xo giống hệt lò xo của nó. Tính biên độ dao động mới của vật

A. $8\sqrt{2}cm$ B. 4cm. C. $4\sqrt{3}$ cm. D. $4\sqrt{2}cm$

Hướng dẫn

Độ cứng tương đương của hệ lò xo sau: $\frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k}\Rightarrow {{k}_{s}}=\frac{k}{2}$

Cơ năng dao động không thay đổi: $\frac{{{k}_{s}}A_{s}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow {{A}_{s}}=8\sqrt{2}\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Chú ý: Nếu đúng lúc con lắc đi qua vị trí có li độ x, một lò xo không còn tham gia dao động thì phần năng lượng bị mất đúng bằng thế năng đàn hồi của lò xo bị mất.

Ví dụ 8: Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với biên độ A. Lò xo của con lắc gồm n lò xo ghép song song. Khi vật nặng cách vị trrí cân bằng một đoạn A/n thì một lò xo không còn tham gia dao động. Tính biên độ dao động mới.

A. \[{{A}_{s}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+n+1}}{n}\] B. ${{A}_{s}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+n+1}}{2n}$ C. \[{{A}_{s}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}-n+1}}{n}\] D. \[{{A}_{s}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}-n+1}}{2n}\]

Hướng dẫn

Phần thế năng đàn hồi chứa trong lò xo bị mất: \[{{\text{W}}_{mat}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2{{n}^{2}}}\]

Đây chính là phần cơ năng bị giảm \[{{\text{W}}_{t}}-{{\text{W}}_{s}}={{W}_{mat}}\Rightarrow \frac{{{k}_{t}}{{A}^{2}}}{2}-\frac{{{k}_{s}}A_{s}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2{{n}^{2}}}\] mà

nên suy ra ${{A}_{s}}=A\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+n+1}}{n}\Rightarrow $ Chọn A.

C: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Một lò xo dài 1,2 m độ cứng 120 N/m. Khi cắt lò xo đó thành 2 lò xo có chiều dài 100 cm và 20 cm thì độ cứng tương ứng lần lượt là

A. 144N/m và 720N/m. B. 100 N/m và 20 N/m.

C. 720 N/m và 144 N/m. D. 20 N/m và 100 N/m.

Bài 2: Con lắc lò xo gồm vật nặng treo dưới lò xơ dài, có chu kỳ dao động là T. Nếu lò xo bị cắt bớt 2/3 chiều dài thì chu kỳ dao động của con lắc mới là:

A. 3T B. 0,5T$\sqrt{6}.$ C. T/3. D. T/$\sqrt{3}$

Bài 3: Quả cầu m gắn vào lò xo có độ cứng k thì nó dao động với chu kỳ T. Hỏi phải cắt lò xo trên thành bao nhiêu phần bằng nhau để khi treo quả cầu vào mỗi phần thì chu kỳ dao động có giá trị T’ = T/2

A. Cắt làm 4 phần. B. cắt làm 6 phần. C. cắt làm 2 phần. D. cắt làm 8 phần.

Bài 4: Quả cầu m gắn vào lò xo có độ cứng k thì nó dao động với chu kỳ T. cắt lò xo trên thành 3 phần có chiều dài theo đúng tỉ lệ 1:2:3. Lấy phần ngắn nhất và treo quả cầu vào thì chu kỳ dao động có giá trị là

A. T/3. B. $T/\sqrt{6}.$ C. $T/\sqrt{3}$ D. T/6.

Bài 5: Một con lắc lò xo có độ dài 120 cm. cắt bớt chiều dài thì chu kỳ dao động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu. Tính độ dài mới.

A. 148,148 cm. B. 133,33 cm. C. 108 cm. D. 97,2 cm.

Bài 6: Con lắc lò xo dao động điều hòa không ma sát theo phương nằm ngang với biên độ A. Đúng lúc vật đi qua vị trí cân bằng, người ta giữ chặt lò xo tại điểm cách đầu cố định của nó một đoạn bằng 60% chiều dài tự nhiên của lò xo. Hỏi sau đó con lắc dao động với biên độ A' bằng bao nhiêu lần biên độ A lúc đầu?

A.$2/\sqrt{2}$. B.$\sqrt{8/3}$. C.$\sqrt{3/8}$ . D. $\left( 0,2\sqrt{10} \right)$.

Bài 7: Con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật nặng chuyển động qua vị trí cân bằng thì giữ cố định điểm cách điểm cố định một đoạn bằng 1/4 chiều dài tự nhiên của lò xo. Vật sẽ tiếp tục dao động với biên độ bằng:

A.$A/\sqrt{2}.$ B. 0,5A. C. A/2. D. $A\sqrt{2}$.

Bài 8: Con lắc lò xo nằm ngang daọ động điều hòa với biên độ A. Khi vật nặng chuyển động qua vị trí cân bằng thì giữ cố định điểm cách điểm cố định một đoạn bằng 1/3 chiều dài tự nhiên của lò xo. Vật sẽ tiếp tục dao động với biên độ bằng

A.$A/\sqrt{2}.$ B. 0,5A$\sqrt{3}$ . C. A/2. D.$\sqrt{6}$ A/3.

Bài 9: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với biên độ A và tần số f. Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo lại. Bắt đầu từ thời điểm đó vật sẽ dao động điều hòa với

A. biên độ là A/$\sqrt{2}$ và tần số f $\sqrt{2}$. B. biên độ là A/$\sqrt{2}$ và tần số f$\sqrt{2}$ .

C. biên độ là A$\sqrt{2}$ và tần số f/$\sqrt{2}$. D. biên độ là A$\sqrt{2}$và tần số f$\sqrt{2}$ .

Bài 10: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang. Từ vị trí cân bằng người ta kéo vật ra 8 cm rồi thả nhẹ, khi vật cách vị trí cân bằng 4 cm thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo. Tính biên độ dao động mới của vật

A. 4 $\sqrt{2}$cm. B. 4 cm C. $6\sqrt{3}cm$ D. 2$\sqrt{7}$ cm.

Bài 11: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc con lắc qua vị trí có động năng bằng thế năng và đang dãn thì người ta cố định một điểm chính giữa của lò xo, kết quả làm con lắc dao động điều hòa với biên độ A’. Hãy lập tỉ lệ giữa biên độ A và biên độ A

A. 2/$\sqrt{2}$. B.$\sqrt{8/3}$ . C.$\sqrt{3/8}$ . D.$\left( 2\sqrt{6} \right)/3$.

Bài 12: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc con lắc qua vị trí lò xo dãn nhiều nhất người ta cố định một điểm chính giữa của lò xo, kết quả làm con lắc dao động điều hòa với biên độ A’. Hãy lập tỉ lệ giữa biên độ A và biên độ A’.

A. 2/$\sqrt{2}$. B.$\sqrt{8/3}$ . C.$\sqrt{3/8}$. D. 2

Bài 13: Con lắc gồm lò xo có chiều dài 20 cm và vật nặng khối lượng m, dao động điều hòa với tần số 2 Hz. Nếu cắt bỏ lò xo đi một đoạn 15 cm thì con lắc sẽ dao động điều hòa với tần số là

A. 4 Hz. B. 2/3 Hz. C. 1,5 Hz. D. 6 Hz.

Bài 14: Một lò xo có chiều dài tự nhiên 10cm, khối lượng không đáng kể, đặt trên mặt phẳng ngang. Hai vật có khối lượng m₁ = 30g và m₂ = 50g gắn lần lượt vào hai đầu A và B của lò xo. Giữ cố định 1 điểm C nằm trong khoảng giữa lò xo và cho 2 vật dao động điều hòa theo phương ngang thì thấy chu kì dao động 2 vật bằng nhau. Khoảng cách AC là

A. 4cm. B. 3,75cm. C. 6,25cm D. 6cm

Bài 15: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang với chu kỳ T và biên độ A. Khi t = 0 vật có li độ x = A. Đến thời điểm t = 19T + T/12 người ta giữ cố định 20% chiều dài của lò xo. Tính biên độ dao động mới của vật?

A. $A\sqrt{17}/5.$ B. A/2. C. $3A\sqrt{2}/5$ D. $A\sqrt{7}/4$.

Bài 16: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Lò xo của con lắc gồm 2 lò xo giống nhau ghép song song. Khi vật nặng cách vị trí cân bằng một đoạn A/2 thì một lò xo không còn tham gia dao dộng. Tinh biên độ dao dộng mới.

A. $0,5A\sqrt{7}$ B. $A/\sqrt{7}$ C. $A\sqrt{7}$ D. $0,5A\sqrt{7}$

Bài 17: Một lò xo nhẹ có độ cứng 120 N/m được kéo căng theo phương nằm ngang và hai đầu gắn cố định A và B sao cho lò xo dãn 10 cm. Một chất điểm có khối lượng m được gắn vào điểm chính giữa của lò xo. Kích thích để m dao động nhỏ theo trục Ox trùng với trục của lò xo. Gốc O ở vị trí cân bằng chiều dương từ A đến B. Tính độ lớn lực tác dụng vào B khi m có li độ 3 cm.

A. 4,8 N. B. 3,6 N. C. 9,6 N. D. 2,4 N.

Bài 18: Một lò xo nhẹ có độ cứng 120 N/m được kéo căng theo phương nằm ngang và hai đầu gắn cố định A và B sao cho lò xo dãn 10 cm. Một chất điểm có khối lượng m được gắn vào điểm chính giữa của lò xo. Kích thích để m dao động nhỏ theo trục Ox trùng với trục của lò xo. Gốc O ở vị trí cân bằng chiều dương từ A đến B. Tính độ lớn hợp lực tác dụng vào m khi nó có li độ 3 cm.

A. 7,2 N. B. 14,4 N. C. 9,6 N. D. 3,6 N.

Bài 19: Hai dây cao su vô cùng nhẹ, có độ dài tự nhiên bằng nhau và bằng${{\ell }_{0}}$, có hệ số đàn hồi khi dãn bằng nhau. Một chất điểm m được gắn với mỗi đầu của đầu dây, các đầu còn lại được kéo căng theo phương ngang cho đến khi mỗi dây có chiều dài $\ell $. Tìm biên độ dao động cực đại của m để dao động đó là dao động điều hòa Biết rằng dây cao su không tác dụng lên m khi nó bị chùng.

A. $\left( \ell -{{\ell }_{0}} \right)/2.$ B. $2\left( \ell -{{\ell }_{0}} \right).$ C. ${{\ell }_{0}}.$ D. $\left( \ell -{{\ell }_{0}} \right).$

Bài 20: Treo một vật m vào đầu của một chiếc lò xo thì vật m dao động với chu kì 4 s. Cắt lò xo thành hai phần bằng nhau rồi ghép chúng song song với nhau sau đó mới treo vật m. Chu kì dao động của vật m là

A. 8s. B. 2$\sqrt{2}$ s. C. 1 s D. 2s.

1.A	2.D	3.A	4.B	5.D	6.D	7.B	8.D	9.A	10.D
11.D	12.D	13.A	14.C	15.A	16.A	17.A	18.B	19.D	20.D