BÀI TẬP CON LẮC LÒ XO TRONG HỆ QUY CHIẾU PHI QUÁN TÍNH

 

*Khi hệ quy chiếu chuyển động thẳng biến đổi đều với gia tốc $\overrightarrow{a}$ thì vật dao động của con lắc sẽ chịu thêm một lực quán tính${{\overrightarrow{F}}_{qt}}=-m\overrightarrow{a}$ ; Còn nếu hệ quy chiếu quay đều với tốc độ góc ω thì chịu thêm lực li tâm có hướng ra tâm và có độ lớn:

${{F}_{lt}}=\frac{m{{v}^{2}}}{r}=m{{\omega }^{2}}r$

Ví dụ 1:  Trong thang máy treo một con lắc lò xo có độ cứng 25 N/m, vật nặng có khối lượng 400 g. Khi thang máy đứng yên ta cho con lắc dao động điều hoà, chiều dài con lắc thay đổi từ 32 cm đến 48 cm. Tại thời điểm mà vật ở vị trí thấp nhất thì cho thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a = g/10. Lấy g = π2 = 10 m/s2. Biên độ dao động của vật sau đó là

A. 17 cm.                B. 19,2 cm.            C. 8,5 cm.               D. 9,6 cm.

Hướng dẫn

Biên độ dao động con lắc lúc đầu: $A=\frac{{{\ell }_{\max }}-{{\ell }_{\min }}}{2}=\frac{48-32}{2}=8\left( cm \right)$

Tại thời điểm mà vật ở vị trí thấp nhất, người ta cho thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a = g/10 thì vật nặng của con lắc chịu tác dụng lực quán tính hướng lên trên và có độ lớn ${{F}_{qt}}=ma=0,4N$

Vì có lực này nên vị trí cân bằng sẽ dịch lên trên một đoạn

\[b=\frac{{{F}_{qt}}}{k}=1,6\left( cm \right)\] Sau đó vật dao động biên độ là A’= 8 +1,6 = 9,6 cm => Chọn D.

 Kinh nghiệm: Con lắc lò xo treo trong thang máy đứng yên, đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng, đúng lúc nó có li độ xC (vận tốc ${{v}_{C}}=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-x_{C}^{2}}$ nếu vật đang đi theo chiều dương và vận tốc ${{v}_{C}}=-\omega \sqrt{{{A}^{2}}-x_{C}^{2}}$ nếu vật đang đi theo chiều âm) thì thang máy chuyển động biến đổi đều với gia tốc $\overrightarrow{a}$ . Khi đó, vật dao động chịu thêm lực quán tinh ${{\overrightarrow{F}}_{qt}}=-m\overrightarrow{a}$ nên VTCB mới dịch theo hướng của ${{\overrightarrow{F}}_{qt}}$ một đoạn $b=\frac{{{F}_{qt}}}{k}$ . Ngay tại lúc này, đối với gốc tọa độ mới, vật có li độ và vận tốc:

(Lấy +b khi ${{\overrightarrow{F}}_{qt}}$ theo chiều âm và lẩy −b khi ${{\overrightarrow{F}}_{qt}}$hướng theo dương)

Ví dụ 2:  Một con lắc lò xo được treo trcn trần một thang máy. Khi thang máy đứng yên thì con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T = 0,4 (s) và biên độ A = 5 (cm). Vừa lúc quả cầu con lắc đang đi qua vị trí lò xo không biến dạng theo chiều từ trên xuống thì thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc a = 5 (m/s2). Lấy g = 10 m/s2. Biên độ dao động của con lắc lò xo lúc này là

A. $5\sqrt{3}$ cm.            B. 5 cm.                             C. $3\sqrt{5}$ cm.                 D. 7 cm.

Hướng dẫn

Tần số góc:

$\omega =\frac{2\pi }{T}=5\pi \left( rad/s \right)$

Độ dãn lò xo tại VTCB lúc thang máy đứng yên: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{mg}{k}=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=4\left( cm \right)$

Tại thời điểm vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng (nó có li độ so với vị trí cân bằng cũ là xC = −4 cm và có vận tốc ${{v}_{C}}=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=15\pi \left( rad/s \right)$, người ta cho thang máy đi lên nhanh dần đều với gia toc a = g/2 m/s2 thì vật nặng của con lắc chịu

tác dụng lực quán tính hướng xuống và có độ lớn Fqt = ma. Vì có lực này nên vị trí cân bằng sẽ dịch xuống dưới một đoạn b =\[\frac{{{F}_{qt}}}{k}=\frac{ma}{k}\]  = 2 (cm).

Như vậy, tại thời điểm này vật có li độ so với vị trí cân bằng mới là xm = xC − b = −6 cm và có vận tốc v = 1571 cm/s. Do đó, biên độ dao động mới:

$A'=\sqrt{x_{m}^{2}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{15\pi }{5\pi } \right)}^{2}}}=3\sqrt{5}\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn C.

Ví dụ 3:  Trong một thang máy đứng yên có treo một con lắc lò xo. Con lắc gồm vật nhỏ có khối lượng m và lò xo nhẹ có độ cứng k đang dao động điều hòa với biên độ A. Ở thời điểm t nào đó khi con lắc đang dao động thì thang máy bắt đầu chuyển động nhanh dần đều đi lên theo phương thẳng đứng. Nếu tại thời điểm t con lắc

A. qua VTCB thì biên độ dao động sẽ tăng lên.

B. ở vị trí biên trên thì biên độ dao động sẽ giảm đi.

C. ở vị trí biên dưới thì biên độ dao động sẽ tăng lên.

D. Qua VTCB thì biên độ dao động sẽ không thay đổi.

Hướng dẫn

Khi thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a thì vật nặng của con lắc chịu tác dụng lực quán tính hướng xuống và có độ lớn Fqt = mA. Vì có lực này nên vị trí cân bằng sẽ dịch xuống dưới một đoạn $b=\frac{{{F}_{qt}}}{k}=\frac{ma}{k}$

Giả sử tại thời điểm thang máy bắt đầu chuyển động nhanh dần đều lên trên, vật M có li độ x so với Oc (có li độ so với Om là x + b).

Ta có:

Ví dụ 4:  Một lò xo có chiều dài tự nhiên 20 cm độ cứng k = 20 N/m gắn lò xo trên thanh nhẹ OA nằm ngang, một đầu lò xo gắn với O; đầu còn lại gắn quả cầu có khối lượng m = 200 g sao cho quả cầu có thể chuyển động không ma sát trên thanh ngang OA. Nếu cho thanh quay tròn đều với tốc độ góc 4,47 rad/s xung quanh trục thẳng đứng đi qua O thì chiều dài của lò xo lúc này là:

A. 30 cm.                B. 25 cm.      C. 24 cm.      D. 27 cm.

Hướng dẫn

Lực li tâm (${{F}_{lt}}=m{{\omega }^{2}}r=m{{\omega }^{2}}\left( {{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}} \right)$ ) cân bằng với lực hướng tàm (chính là lực đàn hồi của lò xo ${{F}_{dh}}=k\Delta {{\ell }_{0}})$ nên $m{{\omega }^{2}}\left( {{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}} \right)=k\Delta {{\ell }_{0}}$ $\begin{align}

  & \Rightarrow {{0,2.4,47}^{2}}\left( 0,2+\Delta {{\ell }_{0}} \right)=20\Delta {{\ell }_{0}} \\

 & \Rightarrow \Delta {{\ell }_{0}}\approx 0,05\left( m \right) \\

\end{align}$

 Chiều dài lò xo lúc này là: ${{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}}=25\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn B.

Chú ý: Nếu tính được tốc độ góc ω thì góc quay được, số vòng quay được  trong thời gian Δt lần lượt là:

Ví dụ 5:  Một lò xo nhẹ gắn lò xo trên thanh nhẹ OA nằm ngang, một đầu lò xo gắn với O; đầu còn lại gắn quả cầu có khối lượng m sao cho quả cầu có thể chuyển động không ma sát trên thanh ngang OA (thanh ngang xuyên qua quả cầu) thì chu kì dao động là T = 0,85 s. Nếu cho thanh quay tròn đều với tốc độ góc ω xung quanh trục thẳng đứng đi qua O thì chu kì dao động lúc này là T’ = 1 s. Tính ω.

A. 3,9 rad/s.            B. 2,5 rad/s.            C. 3,4 rad/s.            D. 2,7 rad/s.

Hướng dẫn

Chu kì dao động lúc đầu: $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$

Khi thanh quay, chu kỳ: $T'=2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}}$ Để tính k’ ta xét trong hệ quy chiếu quay:

* Tại VTCB, lực li tâm cân bằng với lực đàn hồi: $m{{\omega }^{2}}\left( {{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}} \right)=k\Delta {{\ell }_{0}}$

* Tại VT li độ x, hợp lực tác dụng: $F=m{{\omega }^{2}}\left( {{\ell }_{0}}+\Delta {{l}_{0}}+x \right)=-k\left( \Delta l+x \right)$

$\Rightarrow F=-x$ Do đó:

$\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{4{{\pi }^{2}}}{{{T}^{2}}}-\frac{4{{\pi }^{2}}}{T{{'}^{2}}}\Rightarrow \omega =2\pi \sqrt{\frac{1}{{{T}^{2}}}-\frac{1}{T{{'}^{2}}}}\approx 3,9\left( rad/s \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Ví dụ 6:  Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên OA = 20 cm, dãn thêm 1 cm nếu chịu lực kéo 0,1 N. Treo hòn bi m = 100 g vào đầu A của lò xo rồi quay đều lò xo với tốc độ góc (O xung quanh trục thẳng đứng đi qua điểm O của lò xo, khi ấy trục lò xo hợp với phương thẳng đứng một góc 60°. Lấy g = 10 m/s2. Chiều dài lò xo lúc này và co lần lượt là

A. 25 ran và 2$\sqrt{5}$ rad/s.               B. 40 cm và $5\sqrt{2}$ rad/s.

C. 30 cm và 2 $\sqrt{5}$rad/s.               D. 30 cm và 5 rad/s

Hướng dẫn

Độ cứng của lò xo: $k=\frac{T}{\Delta \ell }=\frac{0,1}{0,01}=10\left( N/m \right)$

Khi lò xo quay tạo ra hình nón tròn xoay, hợp lực $\overrightarrow{P}$ và ${{\overrightarrow{F}}_{dh}}$ đóng vai trò là lực hướng tâm.

Từ hình vẽ: $P={{F}_{dh}}\cos \alpha \Rightarrow mg=k\Delta {{\ell }_{0}}\cos \alpha \Rightarrow \Delta {{l}_{0}}=\frac{mg}{k\cos \alpha }=0,2\left( m \right)=20\left( cm \right)$

$\Rightarrow \ell ={{\ell }_{0}}+\Delta {{\ell }_{0}}=0,4\left( m \right)$

${{F}_{ht}}=P\tan \alpha \Rightarrow mr{{\omega }^{2}}=mg\tan \alpha \Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{g\tan \alpha }{r}}=\sqrt{\frac{g\tan \alpha }{\ell \sin \alpha }}=5\sqrt{2}\left( rad/s \right)$

$\Rightarrow $ Chọn B.

 Ví dụ 7:  Lò xo khối lượng không đáng kể có chiều tự nhiên 17,5 cm. Dưới tác dụng của lực kéo F = 0,15 N, lò xo bị dãn 1,5 cm. Treo vật khối lượng m = 150 g vào một đầu lò xo, đầu còn lại của lò xo được treo vào điểm cố định M. Cho M quay đều quanh trục MN thẳng đứng với tốc độ góc ω thì trục lò xo hợp với phương thẳng đứng một góc 60°. Cho gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2. số vòng quay được của lò xo sau 98 s gần nhất giá trị nào sau đây?

A. 80.           B. 90.                      C. 101.                              D. 75.

Hướng dẫn

Độ cứng của lò xo: $k=\frac{F}{\Delta l}=\frac{0,15}{0,015}=10\left( N/m \right)$

Khi lò xo quay tạo ra hình nón tròn xoay, hợp lực $\overrightarrow{P}$ và ${{\overrightarrow{F}}_{dh}}$ đóng vai trò là lực hướng tâm.

Từ hình vẽ:

Số vòng quay: $n=\frac{\Delta \varphi }{2\pi }=\frac{\omega \Delta t}{2\pi }=\frac{6,49.98}{2\pi }\approx 101\Rightarrow $ Chọn C.

Quy trình giải nhanh:

 

Bài viết gợi ý: