Con Lắc Đơn Trong Trường Trọng Lực Biểu Kiến

CON LẮC ĐƠN TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC BIỂU KIẾN

 

A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. CHU KÌ CỦA CON LẮC ĐƠN TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC BIỂU KIẾN

 

Hướng dẫn:

Trong trường trọng lực

Trong trường trọng lực biểu kiến

+ Phương trình động lực học cho vật \[\overrightarrow{T}+\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}\]     + Tại vị trí cân bằng \[\overrightarrow{T}=-\overrightarrow{P}\] cũng chính là vị trí dây treo trùng với phương thẳng đứng     + Chu kì dao động của vật \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

+ Phương trình động lực học cho vật \[\overrightarrow{T}+\underbrace{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}}_{\overrightarrow{{{P}_{bk}}}}=m\overrightarrow{a}\] Ta đặt \[\overrightarrow{{{P}_{bk}}}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}\] gọi là trọng lực biểu kiến + Tại vị trí cân bằng \[\overrightarrow{T}=-\overrightarrow{{{P}_{bk}}}\], tại vị trí này dây treo lệch một góc α so với phương thẳng đứng với \[\tan \alpha =\frac{\overrightarrow{F}}{\overrightarrow{P}}\] + Chu kì dao động của vật \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}_{bk}}}}\] với \[\overrightarrow{{{g}_{bk}}}=\frac{\overrightarrow{{{P}_{bk}}}}{m}=\overrightarrow{g}+\overrightarrow{a}\]

 Lưu ý:

Ngoại lực \[\overrightarrow{F}\]có thể là:

+ Lực tĩnh điện \[\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}\]

+ Lực quán tính cho bài toán con lắc treo trong thang máy \[\overrightarrow{F}=-m\overrightarrow{a}\]

 

II. SỰ THAY ĐỔI CỦA GIA TỐC BIỂU KIẾN VÀ NĂNG LƯỢNG THEO VỊ TRÍ TÁC DỤNG LỰC

+ Sự thay đổi biên độ góc của con lắc

Giả sử sau khi thang máy đi lên con lắc dao động với biên độ góc \[{{{\alpha }'}_{0}}\]

Định luật bảo toàn cơ năng cho con lắc (với \[{{{\alpha }'}_{0}}\] là biên độ góc lúc sau của dao động)

\[\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+m{{g}_{bk}}l\left( 1-\cos \alpha  \right)=m{{g}_{bk}}l\left( 1-\cos {{{{\alpha }'}}_{0}} \right)\]

Với \[{{v}^{2}}=2gl\left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)\]

Trong khai triển gần đúng: \[\cos \alpha \approx 1-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2}\] ta thu được\[g\left( \frac{\alpha _{0}^{2}}{2}-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2} \right)+{{g}_{bk}}\frac{{{\alpha }^{2}}}{2}={{g}_{bk}}\frac{{{{{\alpha }'}}_{0}}}{2}\]

Rút gọn biểu thức:

Từ phương trình trên ta thấy rằng

• Nếu thang máy chuyển động có gia tốc tại vị trí biên \[\alpha ={{\alpha }_{0}}\]thì biên độ góc của con lắc không đổi
• Nếu thang máy chuyển động có gia tốc tại vị trí cân bằng \[\alpha =0\]thì biên độ góc của con lắc tỉ lệ với căn bậc hai gia tốc trọng trường trong các trường hợp \[{\alpha }'_{0}^{2}=\frac{g}{{{g}_{bk}}}\alpha _{0}^{2}\]

+ Sự thay đổi năng lượng dao động của con lắc

Năng lượng dao động của con lắc đơn sau khi kích thích được xác định bằng biểu thức \[E=\frac{1}{2}m{{g}_{bk}}l{\alpha }'_{0}^{2}\]\

Từ phương trình trên ta thấy rằng

• Nếu thang máy chuyển động có gia tốc tại vị trí biên \[\alpha ={{\alpha }_{0}}\]thì biên độ góc của con lắc không đổi, tuy nhiên gia tốc biểu kiến \[{{g}_{bk}}>g\Rightarrow \]năng lượng dao động của con lắc tăng
• Nếu thang máy chuyển động có gia tốc tại vị trí cân bằng \[\alpha =0\]thì biên độ góc của con lắc tỉ lệ với căn bậc hai gia tốc trọng trường trong các trường hợp \[{\alpha }'_{0}^{2}=\frac{g}{{{g}_{bk}}}\alpha _{0}^{2}\] , tuy nhiên tích số \[{{g}_{bk}}{\alpha }'_{0}^{2}=g\alpha _{0}^{2}\] do đó năng lượng của vật là không đổi

 

B: BÀI TậP VẬN DỤNG

Hướng dẫn

Ta có \[T=1,1{T}'\Leftrightarrow \frac{{{g}_{bk}}}{g}={{1,1}^{2}}\Leftrightarrow \frac{g+\text{a}}{g}={{1,1}^{2}}\Rightarrow a=0,21g\]

\[\Rightarrow \]Lực quán tính chùng chiều với \[\overrightarrow{g}\Rightarrow \]gia tốc thang máy hướng thẳng đứng lên trên

• Đáp án A

 

Hướng dẫn

Ta có tỉ số

• Đáp án D

 

Hướng dẫn

Ta có tỉ số

\[\frac{{{T}'}}{T}=\sqrt{\frac{g}{g{}_{bk}}}=\sqrt{\frac{g}{g+\frac{qE}{m}}}=\frac{1}{\sqrt{1,6}}\]

Vậy chu kì của vật giảm \[\sqrt{1,6}\] lần

• Đáp án C

 

Hướng dẫn

Thang máy đi xuống chậm dần đều \[\Rightarrow \overrightarrow{a}\] có phương thẳng đứng hướng lên trên \[\Rightarrow \overrightarrow{{{F}_{qt}}}\] hướng thẳng đứng xuống dưới

Ta có \[{T}'=\sqrt{\frac{g}{{{g}_{bk}}}}T=\sqrt{\frac{g}{g+a}}T=2\sqrt{3}s\]

• Đáp án B

 

Hướng dẫn

Chu kì dao động của con lắc khi không có điện trường và khi có điện trường là

Đối với con lắc q₁: \[\frac{{{T}_{1}}}{T}=\sqrt{\frac{g}{g+\frac{{{q}_{1}}E}{m}}}=2\Rightarrow \frac{{{q}_{1}}E}{m}=-0,75g\]

Đối với con lắc q₂: \[\frac{{{T}_{1}}}{T}=\sqrt{\frac{g}{g+\frac{{{q}_{2}}E}{m}}}=0,5\Rightarrow \frac{{{q}_{2}}E}{m}=3g\]

Vậy \[\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}=-\frac{1}{4}\]

• Đáp án B

 

C: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 6: Một con lắc đơn treo trên trần của một toa xe đang chuyển động theo phương ngang. Gọi T là chu kì dao động cùa con lắc khi toa xe chuyển động thẳng đều và \[{T}'\] là chu kì dao động của con lắc khi toa xe chuyển động có gia tốc a. Với góc α được tính theo công thức \[\tan \alpha =\frac{a}{g}\], hệ thức liên hệ giữa T và \[{T}'\]là:

          A.\[{T}'=\frac{T}{co\text{s}\alpha }\]             B. \[{T}'=T\sqrt{co\text{s}\alpha }\]                               C. \[{T}'=Tco\text{s}\alpha \]     D. \[{T}'=\frac{T}{\sqrt{co\text{s}\alpha }}\]

Câu 7: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa trong thang máy đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường \[g=9,8\]m/s² với năng lượng dao động là 150 mJ, gốc thế năng là tại vị trí cân bằng của quả nặng. Đúng lúc vận tốc của con lắc bằng không thì thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc 2,5 m/s². Con lắc tiếp tục dao động trong thang máy với năng lượng dao động

          A.150 mJ                     B. 129,5 mJ                  C. 111,7 mJ      D. 188,3 mJ

Câu 8: Một hòn bi nhỏ có khối lượng m treo dưới một sợi dây và dao động. Nếu hòn bi được tích điện \[q>0\] và treo trong điện trường đều có vecto cường độ điện trường \[\overrightarrow{E}\] hướng thẳng đứng xuống dưới thì chu kì dao động của nó

          A. tăng \[\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{qE}{mg}}\]lần                                   B. giảm \[\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{qE}{mg}}\]lần                                     

          C. tăng \[\sqrt{1+\frac{qE}{mg}}\]lần                                                   D. giảm \[\sqrt{1+\frac{qE}{mg}}\]lần

Câu 9: Một con lắc đơn gồm sợi dây nhẹ dài \[l=25\]cm, vật có khối lượng m = 10 g và mang điện tích \[q={{10}^{-4}}C\]. Treo con lắc giữa hai bản kim loại phẳng, thẳng đứng, song song cách nhau 22 cm. Đặt giữa hai bản một hiệu điện thế không đổi U = 88 V. Lấy g = 10 m/s². Kích thích cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, chu kì dao động điều hòa của con lắc là

          A. \[T=0,389\text{s}\]  B. \[T=0,659\text{s}\]  C. \[T=0,983\text{s}\]                 D. \[T=0,957\text{s}\]

Câu 10: Một con lắc đơn gồm quả cầu kim loại nhỏ có khối lượng m = 1 g mang điện tích \[q=-{{5,66.10}^{-7}}C\] được treo bằng sợi dây mảnh dài \[l=1,40\]m trong chân không và trong điện trường đều có phương nằm ngang, có cường độ \[E={{10}^{2}}\]V/m. Lấy \[g=9,79\]m/s². Ở vị trí cân bằng dây treo tạo với phương thẳng đứng một góc α. Góc α và chu kì dao động của con lắc đơn là

          A. \[\alpha ={{0,33}^{0}}\],\[T=2,21\text{s}\]                                            B. \[\alpha ={{30}^{0}}\],\[T=2,21\text{s}\]                  

          C. \[\alpha ={{20}^{0}}\],\[T=2,37\text{s}\]                                               D. \[\alpha ={{30}^{0}}\],\[T=2,37\text{s}\]                  

Câu 11: Quả lắc của đồng hồ coi như con lắc đơn dao động tại nơi  có gia tốc trọng trường g. Chu kì dao động của con lắc là 2 s. Đặt con lắc vào thang máy đi lên nhanh dần đều từ mặt đất. Biết con lắc đạt độ cao 200 m sao 20 s. Khi đó chu kì dao động điều hòa của con lắc là

          A. 1,80 s                      B. 1,91 s                      C. 2,10 s         D. 2,20 s

Câu 12: Hai con lắc đơn có cùng chiều dài và cùng khối lượng, các vật được coi là các chất điểm, chúng được đặt ở cùng một nơi và trong điện trường đều  có phương thẳng đứng hướng xuống dưới, gọi T₀ là chu kì chưa tích điện của mỗi con lắc, các vật nặng được tích điện là q₁ và q₂ thì chu kì trong điện trường tương ứng là T₁ và T₂, biết \[{{T}_{1}}=0,8{{T}_{0}}\] và \[{{T}_{2}}=1,2{{T}_{0}}\]. Tỉ số \[\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}\] là

          A. \[\frac{81}{44}\]     B. \[\frac{44}{81}\]     C. \[-\frac{81}{44}\]                      D. \[-\frac{44}{81}\]

Câu 13: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T₀ trong chân không. Tại nơi đó, đưa con lắc ra ngoài không khí ở cùng một nhiệt độ thì chu kì của con lắc là T. Biết T khác T₀ chỉ do lực đẩy Acsimet của không khí. Gọi tỉ số giữa khối lượng riêng của không khí và khối lượng riêng của chất làm vật nặng là ε. Mối liên hệ giữa T với T₀ là

A. \[T=\frac{{{T}_{0}}}{\sqrt{1-\varepsilon }}\]      B. \[T=\frac{{{T}_{0}}}{\sqrt{1+\varepsilon }}\]         

C. \[{{T}_{0}}=\frac{T}{\sqrt{1-\varepsilon }}\]      D. \[{{T}_{0}}=\frac{T}{\sqrt{1+\varepsilon }}\]

Câu 14: Một con lắc đơn có khối lượng \[m=50\]g đặt trong điện trường đều có cường độ điện trường E = 5000 V/m hướng thẳng đứng lên trên. Khi chưa tích điện cho vật chu kì dao động của con lắc là T = 2 s. Sau khi tích điện cho vật thì chu kì dao động của con lắc là \[{T}'=\frac{\pi }{2}s\]. Lấy g = π² m/s². Điện tích của vật bằng

          A. \[{{4.10}^{-5}}C\]  B. \[-{{4.10}^{-5}}C\] C. \[-{{6.10}^{-5}}C\]            D. \[{{6.10}^{-5}}C\]

Câu 15: Một con lắc đơn gồm một sợi dây mãnh, cách điện có chiều dài l = 1 m, quả nặng có khối lượng 20 g được tích điện \[q=-1\]μC, đặt con lắc đơn trong điện trường đều có các đường sức điện thẳng đứng hướng lên và cường độ \[E={{10}^{5}}\]V/m. Lấy g = 10 m/s². Chu kì đao động nhỏ của con lắc đơn là

          A. 6,28 s                      B. 2,81 s                      C. 1,99 s         D. 1,62 s

Câu 16: Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ có khối lượng m, tích điện q < 0, dây treo nhẹ, cách điện, chiều dài l. Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều có \[\overrightarrow{E}\] hướng thẳng đứng xuống dưới. Chu kì dao động của con lắc được xác định bằng biểu thức

          A. \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g+\frac{qE}{m}}}\]                                            B. \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}^{2}}-{{\left( \frac{qE}{m} \right)}^{2}}}}\]                   

          C. \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-\frac{qE}{m}}}\]                                                       D. \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}^{2}}+{{\left( \frac{qE}{m} \right)}^{2}}}}\]

Câu 17: Một con lắc đơn dao động nhỏ có chu kì T = 1,9 s. Tích điện âm cho vật và cho con lắc dao động trong một điện trường đều có phương thẳng đứng hướng xuống dưới thì thấy có chu kì \[{T}'=2T\]. Nếu đảo chiều điện trường và giữ nguyên độ lớn của cường độ điện trường thì chu kì dao động mới của con lắc là

          A. 1,6 s                        B. 2,2 s                        C. 1,436 s         D. 1,214 s

Câu 18: Một con lắc đơn có m = 100 g, l = 1m, treo trên trần của một toa xe có thể chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang. Khi xe đứng yên, cho con lắc dao động với biên độ nhỏ \[{{\alpha }_{0}}=+{{4}^{0}}\]. Khi vật đi đến vị trí có li độ góc \[\alpha =+{{4}^{0}}\] thì xe bắt đầu chuyển động với gia tốc \[a=1\]m/s² theo chiều dương quy ước. Con lắc đơn vẫn dao động điều hòa. Lấy \[g=10\]m/s². Biên độ dao động và năng lượng dao động mới của con lắc (khi xe chuyển động) là:

A. 1,7⁰; 14,49⁰ mJ                   B. 9,7⁰; 14,49⁰ mJ       

C. 9,7⁰; 2,44⁰ Mj                      D. 1,7⁰; 2,44⁰ mJ

Câu 19: Hai con lắc đơn có chiều dài dây treo như nhau, cùng đặt trong một điện trường đều có phương nằm ngang. Hòn bi của con lắc thứ nhất không tích điện, chu kì dao động của nó  là T. Hòn bi của con lắc thứ hai được tích điện, khi nằm cân bằng dây treo của con lắc này tạo với phương thẳng đứng một góc 60⁰. Chu kì dao động nhỏ của con lắc thứ hai là

          A. T                             B. 0,5T                        C. \[\sqrt{2}T\]                           D. \[\frac{T}{\sqrt{2}}\]

Câu 20: Khi vật nặng của một con lắc đơn có khối lượng m = 100 g và mang điện tích \[q={{10}^{-5}}\]C đang dao động điều hòa với biên độ góc \[{{\alpha }_{0}}={{6}^{0}}\]. Khi vật nặng qua vị trí cân bằng thì người ta thiết lập một điện trường đều theo phương thẳng đứng, hướng lên, với cường độ điện trường E = 25 kV/m. Lấy g = 10 m/s². Biên độ góc của vật sau đó là:

          A. 3⁰                            B. \[3{{\sqrt{3}}^{0}}\]                       C. 6⁰                                                  D. ^{\[6{{\sqrt{2}}^{0}}\]}

Câu 21: Hai con lắc đơn có chiều dài dây treo như nhau, vật nặng có cùng khối lượng, cùng đặt trong một điện trường đều có phương nằm ngang, cùng dao động điều hòa với cùng một biên độ góc. Hòn bi của con lắc thứ nhất không tích điện. Hòn bi của con lắc thứ hai được tích điện, khi nằm cân bằng thì dây treo của nó tạo với phương thẳng đứng một góc bằng 60⁰. Gọi cơ năng toàn phần của con lắc thứ nhất là W₁, cơ năng toàn phần của con lắc thứ hai là W₂ thì

A. \[{{\text{W}}_{1}}=\frac{{{\text{W}}_{2}}}{2}\]    B. \[{{\text{W}}_{1}}=2{{\text{W}}_{2}}\]               

C. \[{{\text{W}}_{1}}=\frac{{{\text{W}}_{2}}}{\sqrt{2}}\]       D. \[{{\text{W}}_{1}}={{\text{W}}_{2}}\]

 

Bài viết gợi ý: