Bài Tập Con Lắc Lò Xo (P4)

KHOẢNG THỜI GIAN LIÊN QUAN ĐẾN

CƠ NĂNG, THẾ NĂNG, ĐỘNG NĂNG

Kiến thức cần có

Nếu W_t = nW_đ thì toàn bộ có (n + 1) phần: thế năng “chiếm n phần” và động năng “chiếm 1 phần”

Khoảng thời gian 2 lần liên tiếp W_t = nW_đ là 2t₁ hoặc 2t₂.

* Nếu $n=1\left( \frac{{{x}_{1}}}{A}=\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\approx 0,71$ thì $2{{t}_{1}}=2{{t}_{2}}=\frac{T}{4}$

* Nếu $n>1\left( \frac{{{x}_{1}}}{A}>\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,71 \right)$ thì $2{{t}_{1}}>\frac{T}{4};2{{t}_{2}}<\frac{T}{4}\Rightarrow \Delta {{t}_{\min }}=2{{t}_{2}}$

* Nếu $n<1\left( \frac{{{x}_{1}}}{A}<\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,71 \right)$ thì $2{{t}_{1}}<\frac{T}{4};2{{t}_{2}}>\frac{T}{4}\Rightarrow \Delta {{t}_{\min }}=2{{t}_{1}}$

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo dao động với tần số góc 20 (rad/s). Tại thời điểm t₁ và t₂ = t₁ + Δt vật có thế năng (mốc ở vị trí cân bằng của vật) bằng bốn lần động năng. Giá trị nhỏ nhất của Δt là

A. 0,111 s. B. 0,046 s. C. 0,500 s. D. 0,750 s.

Hướng dẫn

${{W}_{t}}=4{{W}_{d}}=\frac{4}{5}W\Rightarrow \left| x \right|=\sqrt{0,8}A>\frac{A}{\sqrt{2}}$

\[\Rightarrow \Delta {{t}_{\min }}=2{{t}_{2}}=2.\frac{1}{\omega }\arccos \frac{{{x}_{1}}}{A}\]

\[=2.\frac{1}{20}arccos\sqrt{0,8}\approx 0,046\Rightarrow \]Chọn B

Ví dụ 2: Vật dao động điều hòa thực hiện 10 dao động trong 5s khi vật qua vị trí cân bằng nó có tốc độ 20π cm/s. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua có vị trí li độ $x=2,5\sqrt{3}$ cm và đang chuyển động về vị trí can bằng. Vật có động năng bằng ba lần thế năng lần thứ hai kể từ khi bắt đầu chuyển động tại thời điểm:

A. t = 0,25 s. B. t = 1,5s C. t = 0,125s D. t = 2,5s

Hướng dẫn

$T=\frac{\Delta t}{n}=\frac{5}{10}=0,5\left( s \right)\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=4\pi \left( rad/s \right)\Rightarrow A=\frac{{{v}_{\max }}}{\omega }=5\left( cm \right)$

${{t}_{2}}=\frac{T}{24}+\frac{T}{24}+\frac{T}{12}+\frac{T}{12}=\frac{T}{4}=0,125\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn C.

Ví dụ 3 : Vật nhỏ của con lắc lò xo dao động điều hòa mỗi phút thực hiện được 30 dao động. Khoảng thời gian hai lần liên tiếp vật đi qua hai điểm trên quỹ đạo mà tại các điểm đó động năng của chất điểm bằng một phần ba thế năng là

A. 7/12 s. B. 2/3 s. C. 1/3 s. D. 10/12 s.

Hướng dẫn

$T=\frac{\Delta t}{n}=2\left( s \right)$ ;${{W}_{d}}=\frac{1}{3}{{W}_{t}}=\frac{1}{4}W\Rightarrow W_{t}^{'}=\frac{3}{4}W\Rightarrow x=\pm \frac{A\sqrt{3}}{2}$

Thời gian đi ngắn nhất từ $x=-\frac{A\sqrt{3}}{2}$ đến $x=\frac{A\sqrt{3}}{2}$ là $\frac{T}{3}=\frac{2}{3}\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn B.

Ví dụ 4: Vật dao động điều hoà với tần số 2,5 Hz. Tại một thời điểm vật có động năng bằng một nửa cơ năng thì sau thời điểm đó 0,05 (s ) động năng của vật

A. có thể bằng không hoặc bằng cơ năng. B. bằng hai lần thế năng

C. bằng thế năng. D. bằng một nửa thế năng.

Hướng dẫn

Chú ý: Với bài toán cho biết khoảng thời gian yêu cầu tìm W thì làm theo quy trình sau: $\Delta t=?\Rightarrow T=?\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}\Rightarrow \text{W}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}$

Ví dụ 5: Một vật có khối lượng 1kg dao động điều hòa dọc theo trục Ox (O là vị trí cân bằng) với biên độ 10cm. Thời gian ngấn nhất vật đi từ vị trí x = − 6cm đến vị trí x = + 6cm là 0,1 (s). Cơ năng dao động của vật là:

A. 0,5J. B. 0,83J. C. 0,43J. D. 1,72J.

Hướng dẫn

\[0,1=2.\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{6}{10}\Rightarrow \omega =12,87\left( rad/s \right)\]

$\Rightarrow W=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\frac{{{1.12,87}^{2}}{{.0,1}^{2}}}{2}\approx 0,83\left( J \right)\Rightarrow $ Chọn B.

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa với biên độ A dọc theo trục Ox (O là vị trí cân bằng). Thời gian ngắn nhất đi từ vị trí x = 0 đến vị trí $x=0,5A\sqrt{3}$ là π/6 (s). Tại điểm cách vị trí cân bằng 2 cm thì nó có vận tốc là $4\sqrt{3}$ cm/s. Khối lượng quả cầu là 100 g. Năng lượng dao động của nó là

A. 0,32 mJ. B. 0,16 mJ. C. 0,26 mJ. D. 0,36 mJ.

Hướng dẫn

$\frac{T}{6}=\frac{\pi }{6}\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=2\left( rad/s \right)\Rightarrow k=m{{\omega }^{2}}={{0,1.2}^{2}}=0,4\left( N/m \right)$

\[\text{W}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}+\frac{m{{v}^{2}}}{2}=\frac{{{0,4.0,02}^{2}}}{2}+\frac{0,1{{\left( 0,04\sqrt{3} \right)}^{2}}}{2}=0,32\left( mJ \right)\Rightarrow \] Chọn A.

Ví dụ 7: Con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình: x = Acosωt. Thời điểm lần thứ hai thế năng bằng 3 lần động năng là

A. π/(12ω). B. 5π/(6ω). C. 0,25π/ω. D. π/(6ω).

Hướng dẫn

+ Lần 1: ${{W}_{t}}=3{{W}_{d}}$ là đi từ x = A đến $x=\frac{A\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{t}_{2}}=\frac{1}{12}T=\frac{\pi }{6\omega }$

+ Lần 2: \[{{\text{W}}_{t}}=3{{W}_{d}}\] là đi từ $x=A$ đến $x=-\frac{A\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{t}_{1}}=\frac{T}{4}+\frac{T}{6}=\frac{5}{12}T=\frac{5\pi }{6\omega }.$

Ví dụ 8: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật có khối lượng 1 kg và lò xo có độ cứng 100π² N/m. Từ vị trí cân bằng kéo vật theo phương ngang một đoạn A, rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa Sau khoảng thời gian ngắn nhất bằng bao nhiêu, kể từ lúc thả vật thì động năng vật bằng 3 lần thế năng đàn hồi lò xo?

A. 1/15 s. B. 1/30 s. C. 1/60 s. D. 2/15 s.

Hướng dẫn

Lần đầu tiên W_đ = 3W_t là vật đi từ x = A đến x = A/2:

${{t}_{2}}=\frac{1}{6}T=\frac{1}{6}.2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{1}{30}\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn B.

Chú ý:

* Nếu bài toán cho biết đồ thị phụ thuộc thời gian thì từ đồ thị viết phương trình rồi từ

đó tính các đại lượng khác.

Ví dụ 9: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của động năng W_đ của con lắc theo thời gian t. Giá trị t₀ gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 0,63 s. B. 0,72 s.

C. 0,64 s. D. 0,66 s.

Hướng dẫn

* Từ $\frac{T'}{4}=0,25\Rightarrow T'=1\left( s \right)\Rightarrow \omega '=\frac{2\pi }{T'}=2\pi \left( rad/s \right)\Rightarrow {{\text{W}}_{d}}=1-\cos 2\pi t$

Ví dụ 10: (THPTQG − 2017) Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của động năng W_đ của con lắc theo thời gian t. Hiệu t₂ – t₁ có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 0,27 s. B. 0,24 s.

C. 0,22 s. D. 0,20s

Hướng dẫn

* Từ $\frac{T'}{T}=0,25\Rightarrow T'=1\left( s \right)\Rightarrow \omega '=\frac{2\pi }{T'}=2\pi \left( rad/s \right)\Rightarrow {{W}_{d}}=1-\cos 2\pi T$

Chú ý:

* Khoảng thời gian 2 lần liên tiếp các đại lượng x, v, a, F, p, W_t, W_d bằng 0 hoặc có độ lớn cực đại là T/2.

* Khoảng thời gian 2 lần liên tiếp W_t = W_d là T/4.

* Nếu lúc đầu vật ở vị trí biên hoặc vị trí cân bằng thì cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất T/2 vật lại các vị trí cân bằng một khoảng như cũ.

* Nếu lúc đầu vật cách vị trí cân bằng một khoảng x₀ mà cử sau khoảng thời gian ngan nhất Δt (Δt < T) vật lại cách vị trí cân bằng một khoảng như cũ thì ${{x}_{0}}=A/\sqrt{2}$ và Δt = T/4.

Ví dụ 11: (ĐH−2009) Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g. Con lắc dao động điều hòa theo một trục cố định nằm ngang với phương trình x = Acosωt. Cứ sau những khoáng thời gian 0,05 thì động năng và thế năng cúa vật lại bằng nhau. Lấy π² = 10. Lò xo của con lắc có độ cứng bằng

A. 50 N/m B. 100 N/m C. 25 N/m D. 200 N/m

Hướng dẫn

Ví dụ 12: Một vật dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng theo phương trình x = 4cos(ωt + π/2) (cm); t tính bằng giây. Biết rằng cứ sau những khoảng thời gian π/40 (s) thì động năng lại bằng nửa cơ năng. Tại những thời điểm nào thì vật có vận tốc bằng không (k là số nguyên)?

A. π/40 + kπ/40. B. π/40 + kπ/20. C. −π/40 + kπ/10. D. π/20 + kπ/20.

Hướng dẫn

Ví dụ 13: Một vật dao động điều hoà với biên độ 4 cm, cứ sau một khoảng thời gian 1/4 giây thì động năng lại bằng thế năng. Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian 1/6 giây là

A. 8 cm. B. 6 cm. C. 2 cm. D. 4 cm.

Hướng dẫn

$\frac{T}{4}=0,25\left( s \right)\Rightarrow $ T = l(s). Để đi được quãng đường lớn nhất trong thời gian 1/6 (s):

T/6 thì vật phải đi xung quanh VTCB: $S=\frac{A}{2}+\frac{A}{2}=A$ = 4(cm) => Chọn D.

Ví dụ 14: (ĐH−2014) Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ khối lượng 100g đang dao động điều hòa theo phương ngang, mốc tính thế năng tại vị trí cân bằng. Từ thời điểm t₁ = 0 đến t₂ = π/48 s, động năng của con lắc tăng từ 0,096 J đến giá trị cực đại rồi giảm về 0,064 J. Ở thời điểm t₂, thế năng của con lắc bằng 0,064 J. Biên độ dao động của con lắc là

A. 5,7 cm. B. 7,0 cm. C. 8,0 cm. D. 3,6 cm.

Hướng dẫn

Tại thời điểm t₁ = 0 thì W_đ $=0,096H=3W/4;{{\text{W}}_{t}}=\text{W}/4$ nên lúc này ${{x}_{0}}=\pm A/2$

Ta có thể biểu diễn quá trình chuyển động như trên hình vẽ sau:

Ta có: ${{t}_{1}}=T/13+T/8=\pi /48\left( s \right)\Rightarrow T=0,1\pi s\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=20\left( rad/s \right)$

Biên độ tính từ công thức: \[\text{W}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow A=\sqrt{\frac{2W}{m{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{\frac{2.0,128}{{{0,1.20}^{2}}}}=0,08\left( m \right)=8\left( cm \right)\]

\[\Rightarrow \]Chọn C

Ví dụ 15: (THPTQG − 2017) Một con lắc lò xo treo vào một điểm cố định ở nơi có gia tốc trọng trường g = π² (m/s²). Cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của thế năng đàn hồi W_đh của lò xo vào thời gian t. Khối lượng của con lắc gần nhất với giá trị nào sau đây?