BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

 

A: LÍ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Các phương trình phụ thuộc thời gian:

$x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)$

$v=x'=-\omega A\sin \left( \omega t+\varphi  \right)$

$a=v'=-{{\omega }^{2}}A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)$

$F=ma=-m{{\omega }^{2}}A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)$

\[{{W}_{t}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}{{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi  \right)=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{4}\left[ 1+\cos \left( 2\omega t+2\varphi  \right) \right]\]

${{W}_{d}}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}{{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi  \right)=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{4}\left[ 1-\cos \left( 2\omega t+2\varphi  \right) \right]$

W = Wt + Wd $=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}$

Phương pháp chung: Đối chiếu phương trình của bài toán với phưong trình tổng quát để tìm các đại lượng.

2. Các phương trình độc lập với thời gian

Phương pháp chung: Biến đổi về phương trình hoặc hệ phương trình có chứa đại lượng cần tìm và đại lượng đã biết.

B: BÀI TẬP

Ví dụ 1:  (ĐH − 2014) Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình $x=3\cos \pi t$(x tính bằng cm, t tính bằng s). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Tốc độ cực đại của chất điểm là 9,4 cm/s.

B. Chu ki của dao động là 0,5 s.

C. Gia tốc của chất điểm có độ lớn cực đại là 113 cm/s2.

D. Tần số của dao động là 2 Hz.

Hướng dẫn

Tốc độ cực đại: vmax = $\omega A$= 9,4 cm/s => Chọn A.

Ví dụ 2:  (ĐH − 2012) Một vật nhỏ có khối lượng 250 g dao động điều hòa dưới tác dụng của một lực kéo về có biểu thức F =  − 0,4cos4t (N) (t đo bằng s). Dao động của vật có biên độ là

A. 8 cm.                 B. 6 cm.                             C. 12 cm.                D. 10 cm.

Hướng dẫn

Đối chiếu F = − 0,4cos4t (N) với biểu thức tổng quát F =  − mω2Acos$\left( \omega t+\varphi  \right)$

Ví dụ 3:  Một vật nhỏ khối lượng 0,5 (kg) dao động điều hoà có phương trình li độ x = 8cos30t (cm) (t đo bằng giây) thì lúc t = 1 (s) vật

A. có li độ $4\sqrt{2}$ (cm).                            B. có vận tốc  − 120 cm/s.

C. có gia tốc $-36\sqrt{3}$ (m/s2).                    D. chịu tác dụng hợp lực có độ lớn 5,55N.

Hướng dẫn

Đối chiếu với các phương trinh tổng quát ta tính được:

$\Rightarrow $ Chọn D.

Ví dụ 4:  Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình vận tốc là $v=3\pi \cos 3\pi t$ (cm/s). Gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Mốc thời gian được chọn vào lúc chất điểm có li độ và vận tốc là:

A. x = 2cm, v = 0.   B. x = 0, v = 3π cm/s.        C. x=  − 2 cm, v = 0.  D. x = 0, v = − π cm/s.

Hướng dẫn

Đối chiếu với các phương trình tổng quát ta tính được:

 

Ví dụ 5:  Một vật dao động điều hoà, khi vật có li độ x1 = 4 (cm) thì vận tốc ${{v}_{1}}=-40\pi \sqrt{3}$ (cm/s) và khi vật có li độ ${{x}_{2}}=4\sqrt{2}$ (cm) thỉ vận tốc ${{v}_{1}}=-40\pi \sqrt{2}\left( cm/s \right)$ (cm/s). Động năng biến thiên với chu kỳ

A. 0,1 s.                  B. 0,8 s.                            C. 0,2 s.                            D. 0,4 s.

Hướng dẫn

Áp dụng công thức: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$

Động năng và thế năng đều biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ là:

$T'=\frac{T}{2}=0,1\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Ví dụ 6:  Vận tốc và gia tốc của con lắc lò xo dao động điều hoà tại các thời điểm t1,t2 có giá trị tương ứng là v1 = 0,12 m/s, v2 = 0,16 m/s, a1= 0,64 m/s2, a2 = 0,48 m/s2. Biên độ và tần số góc dao động của con lắc là:

A. A = 5 cm, ω = 4 rad/s.            B. A = 3 cm, ω = 6 rad/s.

C. A = 4 cm, ω = 5 rad/s.            D. A = 6 cm, ω = 3 rad/s.

Hướng dẫn

Áp dụng công thức: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\xrightarrow[{}]{a=-{{\omega }^{2}}x}\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$

Ví dụ 7:  (ĐH − 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 30 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 15 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là $90\sqrt{3}cm/{{s}^{2}}$ cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là

A. 5 cm.                 B. 4 cm.                            C. 10 cm.                D. 8 cm.

Hướng dẫn

Phối hợp với công thức: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}};a=-{{\omega }^{2}}x;{{v}_{\max }}=\omega A$ ta suy ra:

${{\left( \frac{aA}{v_{\max }^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{90\sqrt{3}}{{{30}^{2}}}A \right)}^{2}}+{{\left( \frac{15}{30} \right)}^{2}}=1\Rightarrow A=5\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Ví dụ 8:  Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Tìm độ lớn li độ x mà tại đó công suất của lực đàn hồi đạt cực đại.

A. A                       B. 0.                       C. $A\sqrt{2}.$                 D. $0,5A\sqrt{2}.$

Hướng dẫn

Công suất của lực bằng tích độ lớn của lực $\left( F=k\left| x \right| \right)$ và tốc độ v.

$P=F.v=\frac{k\omega }{2}.2\left| x \right|.\left| \frac{v}{\omega } \right|\le \frac{k\omega }{2}\left( {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}} \right)=\frac{k\omega {{A}^{2}}}{2}$

$\Rightarrow {{P}_{\max }}=\frac{k\omega {{A}^{2}}}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=\frac{{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow \left| x \right|=\frac{A}{\sqrt{2}}\Rightarrow $ Chọn D.

Ở trên ta đã áp dụng bất đẳng thức$2ab\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ , dấu ‘=’ xẩy ra khi a = b.

Ví dụ 9:  Một con lắc lò xo có độ cứng k = 40 N/m đầu trên được giữ cố định còn phía dưới gắn vật m dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ 2,5 cm. Khi vị trí cao nhất lò xo không biến dạng. Lấy g = 10 m/s2. Trong quá trình dao động, trọng lực của m có công suất tức thời cực đại bằng

A. 0,41 W.              B. 0,64 W.              C. 0,5 W.                D. 0,32 W.

Hướng dẫn

Tại vị trí cân bằng: $mg=k\Delta {{\ell }_{0}}=A.$

Tần số góc: $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{\Delta {{\ell }_{0}}}}=\sqrt{\frac{g}{A}}$

Công suất tức thời của trọng lực: ${{P}_{cs}}=F.v=P.v=mgv$ với v là tốc độ của vật m.

${{P}_{\max }}=mg{{v}_{\max }}=kA\sqrt{\frac{g}{A}}.A=kA\sqrt{Ag}={{40.2,5.10}^{-2}}\sqrt{{{2,5.10}^{-2}}.10}=0,5W$

$\Rightarrow $ Chọn C.

Ví dụ 10:  Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì 2 s và biên độ 10 cm. Tại thời điểm t, lực hồi phục tác dụng lên vật có độ lớn F = 0,148 N và động lượng của vật lúc đó p = 0,0628 kgm/s. Tính khối lượng của vật nặng.

A. 0,25 kg.              B. 0,20 kg.              C. 0,10 kg.              D. 0,15 kg.

Hướng dẫn

Từ công thức tính độ lớn lực hồi phục$F=k\left| x \right|=m{{\omega }^{2}}\left| x \right|$ , độ lớn động lượng của vật p = mv ta rút ra |x| và v rồi thay vào: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$ ta được:

nên suy ra: m $\approx $  0,25 (kg) => Chọn A.

Ví dụ 11:  Gọi M là điểm của đoạn AB trên quỹ đạo chuyển động của một vật dao động điều hòa. Biết gia tốc tại A và B lần lượt là  − 3 cm/s2 và 6 cm/s2 đồng thời chiều dài đoạn AM gấp đôi chiều dài đoạn BM. Tính gia tốc tại M.

A. 2 cm/s2.              B. 1 cm/s2.              C. 4 cm/s2.              D. 3 cm/s2.

Hướng dẫn

Áp dụng công thức $a=-{{\omega }^{2}}x$ cho các điểm A, B, M và lưu ý AM = 2MB nên

${{x}_{M}}-{{x}_{A}}=2\left( {{x}_{B}}-{{x}_{M}} \right)\Rightarrow {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}+2{{x}_{B}}}{3}\Rightarrow -{{\omega }^{2}}{{x}_{M}}=\frac{-{{\omega }^{2}}{{x}_{A}}-2{{\omega }^{2}}{{x}_{B}}}{3}$

$\Rightarrow {{a}_{M}}=\frac{{{a}_{A}}+2{{a}_{B}}}{3}=3\left( cm/{{s}^{2}} \right)\Rightarrow $ Chọn D.

Ví dụ 12:  Một vật dao động điều hòa có chu kì 2 s, biên độ 10 cm. Khi vật cách vị trí cân bằng 5 cm, tốc độ của nó bằng

A. 27,21 cm/s.         B. 12,56 cm/s.                   C. 20,08 cm/s.                    D. 18,84 cm/s.

Hướng dẫn

Từ công thức: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$  suy ra:

$\left| v \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{2\pi }{T}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{2\pi }{2}\sqrt{{{10}^{2}}-{{5}^{2}}}\approx 27,21\left( cm/s \right)\Rightarrow $ Chọn A.

 Ví dụ 13:  Một quả cầu dao động điều hoà với biên độ 5 (cm), chu kỳ 0,4 (s). Tính vận tốc cùa quả cầu tại thời điểm vật có li độ 3 (cm) và đang chuyển động theo chiều dương.

A. v = 62,8 (cm/s).  B. v = ± 62,8 (cm/s) C. v =  −  62,8 (cm/s).          D. v = 62,8 (m/s).

Hướng dẫn

Chú ý:

Các bài toàn đơn giản như: cho x tính v hoặc cho v tính x. Từ các công thức

ta suy ra các điểm đặc biệt

$\left| x \right|=0\Leftrightarrow \left| v \right|=\omega A.$                         $\left| x \right|=\frac{A}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left| v \right|=\frac{\omega A}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow {{W}_{d}}={{\text{W}}_{t}}$

$\left| x \right|=A\Leftrightarrow \left| v \right|=0$                           $\left| x \right|=\frac{A\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left| v \right|=\frac{\omega A}{2}\Leftrightarrow {{W}_{t}}=3{{W}_{d}}$

$\left| x \right|=\frac{A}{2}\Leftrightarrow \left| v \right|=\frac{\omega A\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow {{W}_{d}}={{\text{W}}_{t}}$

Từ ${{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow {{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1$

$\Rightarrow $Đồ thị liên hệ x, v là đường elip và các bán trục A và ωA.

Ví dụ 14:  Một vật nhỏ có khối lượng 0,3 kg dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Vị trí cân bằng của vật trùng với O. Trong hệ trục vuông góc xOv, đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật như hình vẽ. Lực kéo về cực đại tác dụng lên vật trong quá trình dao động là

 A. 24N.             B. 30N.                              

C. 1,2N.              D. 27N.

 

Hướng dẫn

$\Rightarrow \omega =40\left( rad/s \right)\Rightarrow {{F}_{\max }}=kA=m{{\omega }^{2}}A=24\left( N \right)$ $\Rightarrow $ Chọn A.

Ví dụ 15:  (THPTQG  −  2016) Cho hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của mỗi vật nằm trên đường thắng vuông góc với trục Ox tại O. Trong hệ trục vuông góc xOv, đường (1) là đ thị biu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 1, đường (2) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 2 (hình vẽ). Biết các lực kéo về cực đại tác dụng lên hai vật trong quá trình dao động là bằng nhau. Tỉ số giữa khối lượng của vật 2 với khối lượng của vật 1 là 

A. 1/3.      B. 3.        C. 1/27.   D. 27.

 

 

Hướng dẫn

$\Rightarrow $ Chọn D.

Bài viết gợi ý: