Bài tập về chuyển động của vật rắn ôn thi học sinh giỏi vật lý - phần 2

HỆ THỐNG BÀI TẬP KINH ĐIỂN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

(PHẦN 2)

Bài 1. Động lực học vật rắn có liên kết ròng rọc giải bằng phương pháp sử dụng ĐLBT Moment xung lượng

Hai vật nặng P₁ và P₂ được buộc vào hai dây quấn vào hai tang của một tời bán kính r và R (hình vẽ). Để nâng vật nặng P₁ lên người ta còn tác dụng vào tời một mômen quay M. Tìm gia tốc góc của tời quay. Biết trọng lượng của tời là Q và bán kính quán tính đối với trục quay là $\rho $.

Bài 2. Động lực học vật rắn có liên kết ròng rọc sử dụng DLBT cơ năng

Hai bản phẳng song song và thẳng đứng 1 trong số chúng hoàn toàn trơn, cái còn lại rất nhám, được phân bố cách nhau khoảng D. Giữa chúng có đặt một ống chỉ với đường kính ngoài b ằng D, khối lượng chung bằng M mômen quán tính đối với trục là I. Ổng chỉ bị kẹp chặt bởi 2 bản phẳng sao cho có thể chuyển động xuống dưới khi quay nhưng không trượt so với bản phẳng nhám. Một sợi chỉ nhẹ được buộc với vật nặng khối lượng m1 và được quấn vào hình trụ trong của ống chỉ có đường kính d. Tìm gia tốc của vật nặng?

Lời giải

Giả sử trong thời gian Dt khối tâm của ống chỉ đi xuống được một đoạn DH. Lúc này ống chỉ quay quanh khối tâm góc: \[\Delta \phi =\frac{\Delta H}{R}=\frac{2\Delta H}{D}\].

Khối m bị cuốn lên một đoạn: \[\Delta \phi \frac{d}{2}=\Delta H\frac{d}{D}\]so với khối tâm của cuộn chỉ. Vậy khối m đi xuống một đoạn: \[\Delta h=\Delta H-\Delta H\frac{d}{D}=\Delta H\frac{D-d}{D}\Delta t\]. Gọi a là gia tốc của khối tâm ống chỉ, thì gia tốc của vật m là:

a₀ = a\[\frac{D-d}{D};\Delta H=a\frac{\Delta {{t}^{2}}}{2};\Delta h=a\frac{D-d}{D}\frac{\Delta {{t}^{2}}}{2}\].

Vận tốc của ổng chỉ và của vật m: v = aDt, v₀ = a₀Dt = a\[\frac{\text{D-d}}{\text{D}}\Delta t\]. Vận tốc góc của trục chỉ w = \[\frac{2v}{D}=\frac{2a\Delta t}{D}\].

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

MgDH + mgDh = \[\frac{M{{v}^{2}}}{2}+\frac{mv_{0}^{2}}{2}+\frac{I{{\omega }^{2}}}{2}\]. Mga\[\frac{\Delta {{t}^{2}}}{2}+mga\frac{\text{D-d}}{\text{D}}\frac{\Delta {{t}^{2}}}{2}=\frac{M{{(a\Delta t)}^{2}}}{2}+\frac{m{{(a\frac{\text{D-d}}{\text{D}}\Delta t)}^{2}}}{\text{2}}+\frac{I}{2}{{\left( \frac{2a\Delta t}{D} \right)}^{2}}\]

suy ra a = g\[\frac{M-\frac{D-d}{\text{D}}m}{\text{M}+{{\left( \frac{D-d}{\text{D}} \right)}^{2}}m+\frac{4I}{{{D}^{2}}}}\].

Bài 3: Khảo sát chuyển động lăn của một vật rắn trên mặt phẳng nghiêng

          Từ mức cao nhất của một mặt phẳng nghiêng, một hình trụ đặc và một quả cầu đặc có cùng khối lượng và bán kính, đồng thời bắt đầu lăn không trượt xuống dưới. Tìm tỷ số các vận tốc của hai vật tại một một mức ngang nào đó.

Lời giải

Gọi v_c là vận tốc của quả cầu sau khi lăn xuống được độ cao h.

v_T là vận tốc của hình trụ sau khi lăn xuống được độ cao h.

Khi quả cầu, hình trụ lăn không trượt xuống dưới, thì điểm đặt của lực ma sát tĩnh nằm trên trục quay tức thời, mà tại đó vận tốc của các điểm tại bằng không và không ảnh hưởng tới cơ năng toàn phần của vật.

Vai trò của lực ma sát ở đây là đảm bảo cho vật lăn thuần tuỳ không trượt và đảm bảo cho độ giảm thế năng hoàn toàn chuyển thành độ tăng động năng tịnh tiến và chuyển động năng quay của vật.

Vì các lực tác dụng lên hình trụ đặc và quả cầu đều là : $\overrightarrow{P}$ ( lực thế ), $\overrightarrow{N}$ ( theo phương pháp tuyến) và lực ma sát tĩnh$\overrightarrow{{{F}_{m\text{s}}}}$ . Ta có  $\overrightarrow{N}$và $\overrightarrow{{{F}_{m\text{s}}}}$ không sinh công

=>    A_{các lực không thế}  = 0 => cơ năng của hệ được bảo toàn. 

Như vậy ta có thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho chuyển động của quả cầu và hình trụ:  

 Với quả cầu:     \[mgh\text{ }=~~~\frac{mv_{c}^{2}}{2}+\frac{{{I}_{c}}\omega _{c}^{2}}{2}\]                                          ( 1 )

 Với hình trụ:     \[mgh\text{ }=~~~\frac{mv_{T}^{2}}{2}+\frac{{{I}_{T}}\omega _{T}^{2}}{2}\]                                      ( 2 )

Trong đó:            \[{{I}_{C}}=\frac{2m{{\text{R}}^{2}}}{5}\]   ;  ${{\omega }_{C}}=\frac{{{v}_{C}}}{R}$            

                            \[{{I}_{T}}=\frac{m{{\text{R}}^{2}}}{2}\]  ;    ${{\omega }_{T}}=\frac{{{v}_{T}}}{R}$

Thay vào  ( 1 ) và ( 2 ) ta có:        $mgh=\frac{7mv_{C}^{2}}{10}$ ;    $mgh=\frac{3mv_{T}^{2}}{4}$

                                                           $\frac{v_{C}^{2}}{v_{T}^{2}}=\frac{15}{14}=>\frac{{{v}_{C}}}{{{v}_{T}}}=\sqrt{\frac{15}{14}}$                                  

Bài viết gợi ý: