Bài toán biện luận Min - Max trong tổng hợp dao động điều hòa

A. LÝ THUYẾT

1. Độ lệch pha giữa hai dao động : Cho hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình dao động lần lượt : ${{x}_{1}}={{A}_{1}}c\text{os}\left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right);{{x}_{2}}={{A}_{2}}c\text{os}\left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)$

Độ lệch pha giữa hai dao động : $\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}$

Nếu $\Delta \varphi $ > 0 dao động 2 nhanh pha hơn dao động 1

Nếu $\Delta \varphi $ < 0 dao động 2 trễ pha hơn dao động 1

Nếu $\Delta \varphi $ = 0 dao động 2 cùng pha với dao động 1

Nếu $\Delta \varphi =\pm \frac{\pi }{2}$ dao động 2 vuông pha với dao động 1.

2. Phương pháp giản đồ Fresnen (Phương pháp giản đồ vec tơ quay):

Lấy trục Ox theo phương ngang làm chuẩn.

Vẽ vec tơ $\overrightarrow{OM}$có :

- Điểm đặt : tại O

Vec tơ $\overrightarrow{OM}$ hợp với trục Ox một góc φ

- Độ lớn : OM = A

Lưu ý :

φ > 0 vẽ $\overrightarrow{OM}$ trên trục Ox, φ < 0 vẽ $\overrightarrow{OM}$ dưới trục Ox, φ = 0 vẽ $\overrightarrow{OM}$ trùng với trục Ox.

3. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số : Cho hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình dao động lần lượt : ${{x}_{1}}={{A}_{1}}c\text{os}\left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right);{{x}_{2}}={{A}_{2}}c\text{os}\left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)$.

Tìm phương trình dao động tổng hợp.

Biên độ dao động tổng hợp

\[{{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)\]

Pha ban đầu của dao đông tổng hợp

\[\tan \varphi =\frac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}}}\]

Phương pháp 1: Phương pháp hình học

Tính $\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}$

a. Nếu $\Delta \varphi =0$ thì: A = A₁ + A₂ $\varphi ={{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}$

b. Nếu $\Delta \varphi =\pm \pi $ thì: $A=\left| {{A}_{1}}-{{A}_{2}} \right|$; $\varphi ={{\varphi }_{1}}$ nếu A₁ > A₂; $\varphi ={{\varphi }_{2}}$ nếu A₁ < A₂

c. $\Delta \varphi =\pm \frac{\pi }{2}$: $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}$

d. A₁ = A₂: $A=2{{A}_{1}}\cos \frac{\Delta \varphi }{2}$

Phương pháp 2: Phương pháp hình chiếu

$\overrightarrow{A}={{\overrightarrow{A}}_{1}}+{{\overrightarrow{A}}_{2}}$

Khi đó: $A=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}};\tan \varphi =\frac{{{A}_{y}}}{{{A}_{x}}}$

Vẽ giản đồ vectơ dựa trên giản đồ xác định giá trị của φ

Chú ý: Với bài toán từ 3 dao động thành phần trở lên ta dùng phương pháp 2 rất tiện lợi và hiệu quả.

B. BÀI TOÁN TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA DẠNG BIỆN LUẬN MAX - MIN

a. Tính giá trị của A₁ .

b. Viết phương trình dao động tổng hợp

c. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0, suy ra tính chất của chuyển động khi đó.

Dựa vào giản đồ vec tơ. Áp đụng định lý hàm số sin

$\frac{{{A}_{2}}}{\sin \alpha }=\frac{A}{\sin \frac{\pi }{6}}\Rightarrow {{A}_{2}}=\frac{\text{A}\sin \alpha }{\sin \frac{\pi }{6}}$ (1)

Từ (1) $\Rightarrow {{A}_{2m\text{ax}}}$khi α = 90⁰: ${{A}_{2}}=\frac{A}{\frac{1}{2}}=2A=18cm$

Tam giác OAA₂ vuông tại A nên ta có:

$A_{1}^{2}+{{9}^{2}}=A_{2}^{2}\Rightarrow {{A}_{1}}=\sqrt{A_{2}^{2}-{{9}^{2}}}=9\sqrt{3}cm$

b. Dựa vào giản đồ vec tơ: $\varphi =\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$

Vậy phương trình dao động tổng hợp là: $x=9\cos \left( 4\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)cm$

c. Ta có $v={{x}^{,}}=-36\pi \sin \left( 4\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)cm/s;a=-144{{\pi }^{2}}c\text{os}\left( 4\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)cm/{{s}^{2}}$

khi t = 0: $v=18\sqrt{3}\pi cm/s;a=72{{\pi }^{2}}cm/{{s}^{2}}\Rightarrow a.v>0$chất điểm chuyển động nhanh dần.

Bài 2: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cùng phương: ${{x}_{1}}={{A}_{1}}c\text{os}\left( 10\pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm$ ,${{x}_{2}}={{A}_{2}}c\text{os}\left( 10\pi t-\frac{\pi }{2} \right)cm$. Phương trình dao động tổng hợp là Biết biên độ dao động A₂ có giá trị lớn nhất

a. Tính A_2max.

b. Viết phương trình dao động tổng hợp.

c. Tính vận tốc của vật năng tại ly độ x = 2,5cm.

a. Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên.

Áp dụng định lý hàm số sin:

$\frac{{{A}_{2}}}{\sin \left( \varphi +{{\varphi }_{1}} \right)}=\frac{A}{\sin \alpha }\Rightarrow {{A}_{2}}=\frac{A\sin \left( \varphi +{{\varphi }_{1}} \right)}{\sin \alpha }$

Vì α, A không đổi để A _2max khi và chỉ khi $\varphi +{{\varphi }_{1}}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{2}-{{\varphi }_{1}}=\frac{\pi }{6}$

${{A}_{2m\text{ax}}}=\frac{A\sin \left( \varphi +{{\varphi }_{1}} \right)}{\sin \alpha }=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10cm$

b. Phương trình dao động tổng hợp: $x=5\cos \left( 10\pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm$

c. Vận tốc của vật nặng: $v=\pm \omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\pm $ 136,03cm/s

Bài 3: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ 0x, coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là ${{x}_{1}}=4\cos \left( 4t+\frac{\pi }{3} \right)cm$; ${{x}_{2}}=4\sqrt{2}c\text{os}\left( 4t+\frac{\pi }{12} \right)cm$,

a. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là bao nhiêu.

b. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động trên tìm phương trình dao động tổng hợp.

Theo định lý hàm số sin:

\[\frac{{{A}_{2}}}{\sin \alpha }=\frac{A}{\sin \frac{\pi }{6}}\Rightarrow {{A}_{2}}=\frac{A\sin \alpha }{\sin \frac{\pi }{6}}\]

A₂ có giá trị cực đại khi sina = 1 $\Rightarrow $a = $\frac{\pi }{2}$

A_2max = 2A = 18cm $\Rightarrow $ A₁ = \[\sqrt{A_{2}^{2}-{{A}^{2}}}=\sqrt{{{18}^{2}}-{{9}^{2}}}=9\sqrt{3}\]cm

Theo định lý hàm số sin:

\[\frac{{{A}_{1}}}{\sin \alpha }=\frac{A}{\sin (\pi -{{\varphi }_{2}})}\Rightarrow {{A}_{1}}=\frac{A\sin \alpha }{\sin (\pi -{{\varphi }_{2}})}\]

A₁ có giá trị cực đại khi sina = 1 $\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{2}$

A_1max = \[\sqrt{{{A}^{2}}+A_{2}^{2}}=\sqrt{2,{{5}^{2}}+3.2,{{5}^{2}}}=5cm\]

Khi đó: $\sin \left( \pi -{{\varphi }_{2}} \right)=\frac{A}{{{A}_{1\max }}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \pi -{{\varphi }_{2}}=\frac{\pi }{6}\Rightarrow {{\varphi }_{2}}=\frac{5\pi }{6}$

b. Dựa vào giản đồ vec tơ ta có: $\varphi =\frac{\pi }{2}-\left( \pi -\frac{5\pi }{6} \right)=\frac{\pi }{3}$

Vậy phương trình dao động tổng hợp là: $x=2,5\cos \left( \omega t+\frac{\pi }{3} \right)cm$

Bài 6: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt là ; ${{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)cm$thì dao động tổng hợp là $x=A\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{3} \right)cm$. Khi năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động A₂ có giá trị là bao nhiêu ?

Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ : $\overrightarrow{A}={{\overrightarrow{A}}_{1}}+{{\overrightarrow{A}}_{2}}$

Theo định lí sin trong tam giác:\[\frac{A}{\sin \alpha }=\frac{{{A}_{1}}}{\sin \frac{\pi }{6}}\Rightarrow A=\frac{{{A}_{1}}\sin \alpha }{\sin \frac{\pi }{6}}\]

A_max khi $\sin \alpha =1\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{2}\Rightarrow {{A}_{m\text{ax}}}=2{{A}_{1}}=20cm$

Năng lượng dao động của vật cực đại khi A cực đại vậy: ${{\overrightarrow{A}}_{1}}\bot {{\overrightarrow{A}}_{2}}$

Suy ra A₂ = \[\sqrt{{{A}^{2}}-A_{1}^{2}}\] = 10\[\sqrt{3}\] (cm).

Bài 7: Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình ${{x}_{1}}={{A}_{1}}c\text{os}\left( \pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm$ và ${{x}_{2}}=6\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)cm$. Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình $x=A\cos (\pi t+\varphi )$cm. Thay đổi A₁ cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì pha ban đầu của dao động tổng hợp có giá trị bằng bao nhiêu ?

\[\frac{A}{\sin \widehat{O{{A}_{2}}A}}=\frac{{{A}_{1}}}{\sin \widehat{OA{{A}_{2}}}}\Rightarrow A=\frac{\sin \widehat{O{{A}_{2}}A}}{\sin \widehat{OA{{A}_{2}}}}{{A}_{1}}=\frac{\sin {{60}^{0}}}{\sin \widehat{OA{{A}_{2}}}}{{A}_{1}}\]

A đạt giá trị cực tiểu khi \[\sin \widehat{OA{{A}_{2}}}=1\Rightarrow \widehat{OA{{A}_{2}}}=\frac{\pi }{2}\]

Pha ban đầu của dao động tổng hợp: $\varphi =\frac{\pi }{2}-{{\varphi }_{1}}=\frac{\pi }{3}$

Bài 8: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có biên độ A₁= 10 cm, pha ban đầu p/6 và dao động 2 có biên độ A₂, pha ban đầu -p/2. Biên độ A₂ thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. A = 2\[\sqrt{3}\] (cm) B. A= 5\[\sqrt{3}\] (cm) C. A = 2,5\[\sqrt{3}\] (cm) D. A= \[\sqrt{3}\] (cm)

Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên:

Hình vẽ dễ dàng ta thấy:

A min khi Biên độ dao động tổng hợp A trùng với OM.

A= A₁cos (p/6) =10\[\sqrt{3}\]/2 = 5\[\sqrt{3}\] (cm).

Và A₂ = A₁sin (p/6) =10.1/2 = 5 (cm) => Chọn B

Bài 9: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cung phương:

x₁= A₁cos(wt+p/3)(cm) và x₂= A₂cos(wt- p/2)(cm).Phương trình dao động tổng hợp là: x=5cos(wt+ j)(cm). Biên dộ dao động A₂ có giá trị lớn nhất khi j bằng bao nhiêu? Tính A_2max?
A.- p/3; 8cm B.-p /6;10cm C. p/6; 10cm D. B hoặc C

Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên:

A₂ max khi góc đối diện với nó ( góc b) trong tam giác tạo bởi A₁,A₂,A là góc vuông

(tam giác vuông tại góc b mà A₂ là cạnh huyền)

Theo định lý hàm số sin ta có \[\frac{Sin\beta }{{{A}_{2}}}=\frac{Sin\alpha }{A}\]=> \[{{A}_{2}}=Sin\beta .\frac{A}{Sin\alpha }\].

Theo đề ta có A =5cm, a= p/6. Nên A₂phụ thuộc vào Sin b.

Trên hình vẽ: A₂max khi góc đối diện b =p/2 =>\[{{A}_{2\max }}=1.\frac{A}{Sin{}^{\pi }/{}_{6}}=\frac{5}{{}^{1}/{}_{2}}=10cm\]

Hình vẽ dễ dàng ta thấy: j = /b - j₁ /= / p/2 - p/3 / = p/6

Vì j <0 => j = - p/6 => Chọn B

Bài 10: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ 0x, coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là: x₁ = 4cos(4t +\[\frac{\pi }{3}\]) cm và x₂ = 4\[\sqrt{2}\]cos(4t +\[\frac{\pi }{12}\]) cm. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là:

A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. ( 4\[\sqrt{2}\]- 4)cm