Biện luận nghiệm thực của phương trình

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Tìm nghiệm thực phân biệt của phương trình $g\left( f\left( x \right) \right)=0$.

Mời bạn đọc cùng theo dõi các ví dụ dưới đây minh họa cho bài toán hay gặp về giao điểm thông qua tìm số nghiệm của một phương trình: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Tìm nghiệm thực phân biệt của phương trình $g\left( f\left( x \right) \right)=0$.

Câu 9. Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x+4\]. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[\sqrt{f\left( f\left( x \right)-2 \right)-2}=3-f\left( x \right)\] bằng:

A. 7 B. 4 C.6 D.9

Hướng dẫn:

Đặt $f\left( x \right)-2=t\Leftrightarrow f\left( x \right)=t+2$ phương trình trở thành:

$\sqrt{f\left( t \right)-2}=3-\left( t+2 \right)\Leftrightarrow \sqrt{f\left( t \right)-2}=1-t\Leftrightarrow \sqrt{{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-3t+2}=1-t$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm thực phân biệt. Chọn đáp án C.

Câu 10. Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1\]. Khi đó, phương trình \[f\left( f\left( f\left( x \right)-1 \right)-2 \right)=1\] có bao nhiêu nghiẹm thực phân biệt.

A.9 B.14 C.12 D.27

Hướng dẫn:

Đặt \[t=f\left( f\left( x \right)-1 \right)-2\], phương trình trở thành: \[f\left( t \right)=1\Leftrightarrow {{t}^{3}}-6{{t}^{2}}+9t=0\Leftrightarrow t=0;t=3.\]

TH1: Nếu \[t=0\Leftrightarrow f\left( f\left( x \right)-1 \right)-2=0\]. Đặt \[a=f\left( x \right)-1\] phương trình trở thành

Chú ý hàm số \[y=f\left( x \right)-1={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\] có \[{{y}_{cd}}=y\left( 1 \right)=4;{{y}_{ct}}=y\left( 3 \right)=0\].

Do đó, với \[a\in \left( 0;4 \right)\] phương trình \[y=a\] có ba nghiệm thực phân biệt.

Với \[a\in \left\{ 0;4 \right\}\] phương trình \[y=a\] có hai nghiệm thực phân biệt.

Với \[a\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)\] phương trình \[y=a\] có duy nhất một nghiệm thực.Vậy áp dụng đúng vào trường hợp này cho

có tất cả 3+3+3=9 nghiệm thực phân biệt.

TH2: Nếu \[t=3\Leftrightarrow f\left( f\left( x \right)-1 \right)-5=0\]. Đặt \[a=f\left( x \right)-1\] phương trình trở thành:

\[f\left( a \right)-5=0\Leftrightarrow {{a}^{3}}-6{{a}^{2}}+9a-4=0\Leftrightarrow \]

Trường hợp này có 3+2=5 nghiệm thực phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 14 nghiệm thực phân biệt. Chọn đáp án B.

* Note: Các em có thể bấm máy giải từng phương trình bậc bas au:

Khi đó

Câu 11. Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+\frac{3}{2}\]. Phương trình \[\frac{f\left( f\left( x \right) \right)}{2f\left( x \right)-1}=1\] có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.

A.4 B.9 C.6 D.5

Hướng dẫn:

Đặt \[t=f\left( x \right)\], phương trình trở thành:

Xét hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+\frac{3}{2}\] ta có \[{{f}^{'}}\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+1;{{f}^{'}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1\pm \frac{\sqrt{6}}{3}\].

Suy ra \[{{f}_{cd}}=f\left( 1-\frac{\sqrt{6}}{3} \right)=\frac{9+8\sqrt{6}}{18}\approx 1,5887;\] \[{{f}_{ct}}=f\left( 1+\frac{\sqrt{6}}{3} \right)=\frac{9-8\sqrt{6}}{18}\approx -0,58866\].

Nhận xét:

Với \[t\in \left( {{f}_{ct}};{{f}_{cd}} \right)\] phương trình \[t=f\left( x \right)\] có ba nghiệm thực phân biệt.

Với \[t\in \left\{ {{f}_{cd}};{{f}_{ct}} \right\}\] phương trình \[t=f\left( x \right)\] có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

Với \[t<{{f}_{ct}}\vee t>{{f}_{cd}}\] phương trình \[t=f\left( x \right)\] có đúng một nghiệm thực phân biệt.

Áp dụng phương trình có 1+3+1=5 nghiệm thực phân biệt. Chọn đáp án D.

Câu 12. Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\]. Đặt \[{{f}_{1}}\left( x \right)=f\left( x \right),{{f}_{n}}\left( x \right)=f\left( {{f}_{n-1}}\left( x \right) \right)\]. Tìm số nghiệm của phương trình \[{{f}_{6}}\left( x \right)=0\].

A.365 B.364 C.729 D.730

Hướng dẫn:

Ta có \[f\left( x \right)=x{{\left( x-3 \right)}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0;x=3.\]

Vì vậy \[{{f}_{n}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( {{f}_{n-1}}\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow {{f}_{n-1}}\left( x \right)=0;{{f}_{n-1}}\left( x \right)=3\in \left( 0;4 \right).\]

Vậy gọi \[{{u}_{n}},{{v}_{n}}\] lần lượt là số nghiệm của phương trình \[{{f}_{n}}\left( x \right)=0\] và\[{{f}_{n}}\left( x \right)=a\] với a là số thực bất kỳ thuộc khoảng \[\left( 0;4 \right).\] Ta có \[{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+{{v}_{n-1}}\] và \[{{u}_{1}}=2\].

Ta đi tìm số hạng tổng quát \[{{v}_{n}}\]. Xét hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\] có \[{{f}_{ct}}=f\left( 3 \right)=0;{{f}_{cd}}=f\left( 1 \right)=4\].

Nhân xét:

\[a\in \left( 0;4 \right)\] thì \[f\left( x \right)=a\] có ba nghiệm phân biệt và ba nghiệm này đều thuộc khoảng \[\left( 0;4 \right)\].
\[a\in \left\{ 0;4 \right\}\] thì \[f\left( x \right)=a\] có đúng hai nghiệm phân biệt.
\[a\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)\] thì \[f\left( x \right)=a\] có đúng một nghiệm thực.

Vậy \[{{v}_{1}}=3\] và dựa trên nhân xét trên ta có : \[{{f}_{n-1}}\left( x \right)=a\in \left( 0;4 \right)\Leftrightarrow {{f}_{n-2}}\left( x \right)={{b}_{1}}\in \left( 0;4 \right);\] \[{{f}_{n-2}}\left( x \right)={{b}_{2}}\in \left( 0;4 \right);{{f}_{n-2}}\left( x \right)={{b}_{3}}\]

Điều đó chứng tỏ \[{{v}_{n-1}}=3{{v}_{n-2}}\Rightarrow {{v}_{n}}={{3}^{n-1}}{{v}_{1}}={{3}^{n-1}}.3={{3}^{n}}\]. Vậy ta có:

\[{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+{{3}^{n-1}}\Rightarrow {{u}_{n}}=\sum\limits_{k=2}^{n}{\left( {{u}_{k}}-{{u}_{k-1}} \right)}+{{u}_{1}}=\left( 3+{{3}^{2}}+...+{{3}^{n-1}} \right)+2\]\[=3.\frac{{{3}^{n-1}}-1}{3-1}+2=2+\frac{{{3}^{n}}-3}{2}=\frac{{{3}^{n}}+1}{2}\].

Áp dụng vào bài toán ta có: \[{{u}_{6}}=\frac{{{3}^{6}}+1}{2}=365;\] \[{{u}_{2019}}=\frac{{{3}^{2019}}+1}{2}\].

Chọn đáp án A.

Bài tập tự luyện:

Câu 1: Cho hàm số \[f\left( x \right)\text{=a}{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \[f\left( f\left( x \right) \right)=0\] có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A.5 B.9 C.3 D.7

Câu 2: Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1\]. Khi đó, phương trình \[f\left( f\left( f\left( x \right)-1 \right)-2 \right)=1\] có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.

A.24 B.22 C.26 D.32

Câu 3: Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+\frac{1}{8}\]. Phương trình \[\frac{f\left( f\left( x \right) \right)}{2f\left( x \right)-1}=1\] có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.

A.4 B.9 C.6 D.5

Câu 4: Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+\frac{3}{2}\]. Phương trình \[\frac{f\left( f\left( x \right) \right)}{2f\left( x \right)-1}=1\] có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.

A.4 B.9 C.6 D.5

Câu 5: Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\]. Đặt \[{{f}_{n}}\left( x \right)=f\left( {{f}_{n-1}}\left( x \right) \right)\], \[{{f}_{1}}\left( x \right)=f\left( x \right)\]. Tìm số nghiệm của phương trình \[{{f}_{9}}\left( x \right)=0\].

A.9842 B.19683 C.19684 D.9841

Câu 6: Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\]. Đặt \[{{f}_{n}}\left( x \right)=f\left( {{f}_{n-1}}\left( x \right) \right)\], \[{{f}_{1}}\left( x \right)=f\left( x \right)\]. Tìm số nghiệm của phương trình \[{{f}_{6}}\left( x \right)=0\].

A.365 B.364 C.729 D.730.