Nguyên hàm của hàm số lượng giác (Bài 1)

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC(BÀI 1)

Trong bài này, chúng ta tìm hiểu một số bài toán tìm nguyên hàm của hàm lượng giác có dạng khá đặc biệt.

A. Các dạng toán và bài tập mẫu

I. Dạng 1. $I=\int{\frac{dx}{\sin \left( x+a \right)\sin \left( x+b \right)}}$

1. Phương pháp tính

Dùng đồng nhất thức:

$1=\frac{\sin \left( a-b \right)}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\sin \left[ \left( x+a \right)-\left( x+b \right) \right]}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\sin \left( x+a \right)\cos \left( x+b \right)-\cos \left( x+a \right)\sin \left( x+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}$

Từ đó suy ra:

$I=\frac{1}{\sin \left( a-b \right)}\int{\frac{\sin \left( x+a \right)\cos \left( x+b \right)-\cos \left( x+a \right)\sin \left( x+b \right)}{\sin \left( x+a \right)\sin \left( x+b \right)}}dx$

$=\frac{1}{\sin \left( a-b \right)}\int{\left[ \frac{\cos \left( x+b \right)}{\sin \left( x+b \right)}-\frac{\cos \left( x+a \right)}{\sin \left( x+a \right)} \right]}dx$

$=\frac{1}{\sin \left( a-b \right)}\left[ \ln \left| \sin \left( x+b \right) \right|-\ln \left| \sin \left( x+a \right) \right| \right]+C$

2. Chú ý

Với cách này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:

•$J=\int{\frac{dx}{\cos \left( x+a \right)\cos \left( x+b \right)}}$ bằng cách dùng đồng nhất thức $1=\frac{\sin \left( a-b \right)}{\sin \left( a-b \right)}$

•$K=\int{\frac{dx}{\sin \left( x+a \right)\cos \left( x+b \right)}}$ bằng cách dùng đồng nhất thức $1=\frac{\cos \left( a-b \right)}{\cos \left( a-b \right)}$

3. Ví dụ áp dụng

• $I=\int{\frac{dx}{\sin x\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}}$

Ta có: $1=\frac{\sin \frac{\pi }{6}}{\sin \frac{\pi }{6}}=\frac{\sin \left[ \left( x+\frac{\pi }{6} \right)-x \right]}{\frac{1}{2}}=2\left[ \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\cos x-\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\sin x \right]$

Từ đó: $I=2\int{\frac{\left[ \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\cos x-\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\sin x \right]}{\sin x\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}}dx=2\int{\left[ \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)} \right]}dx$

               $=2\int{\frac{d\left( \sin x \right)}{\sin x}}-2\int{\frac{d\left( \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right) \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}}=2\ln \left| \frac{\sin x}{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)} \right|+C$

• $I=\int{\frac{dx}{\cos 3x\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)}}$

Ta có:

$1=\frac{\sin \frac{\pi }{6}}{\sin \frac{\pi }{6}}=\frac{\sin \left[ \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)-3x \right]}{\frac{1}{2}}=2\left[ \sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)\cos 3x-\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)\sin 3x \right]$Từ đó:

$I=2\int{\frac{\left[ \sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)\cos 3x-\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)\sin 3x \right]}{\cos 3x\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)}}dx=2\int{\frac{\sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)}{\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)}dx}-2\int{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}dx}$                  $=-\frac{2}{3}\int{\frac{d\left( \cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right) \right)}{\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)}}+\frac{2}{3}\int{\frac{d\left( \cos 3x \right)}{\cos 3x}}=\frac{2}{3}\ln \left| \frac{\cos 3x}{\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)} \right|+C$

II. Dạng 2. $I=\int{\tan \left( x+a \right)\tan \left( x+b \right)dx}$

1. Phương pháp tính

Ta có: $\tan \left( x+a \right)\tan \left( x+b \right)=\frac{\sin \left( x+a \right)\sin \left( x+b \right)}{\cos \left( x+a \right)\cos \left( x+b \right)}$

                   $=\frac{\sin \left( x+a \right)\sin \left( x+b \right)+\cos \left( x+a \right)\cos \left( x+b \right)}{\cos \left( x+a \right)\cos \left( x+b \right)}-1=\frac{\cos \left( a-b \right)}{\cos \left( x+a \right)\cos \left( x+b \right)}-1$

Từ đó: $I=\cos \left( a-b \right)\int{\frac{dx}{\cos \left( x+a \right)\cos \left( x+b \right)}}-1$

Đến đây ta gặp bài toán tìm nguyên hàm ở Dạng 1.

2. Chú ý

Với cách này, ta có thể tính được các nguyên hàm:

•$J=\int{\cot \left( x+a \right)\cot \left( x+b \right)dx}$

•$K=\int{\tan \left( x+a \right)\tan \left( x+b \right)dx}$

3. Ví dụ áp dụng

$I=\int{\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cot \left( x+\frac{\pi }{6} \right)dx}$

Ta có:

Ta có: $\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cot \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=\frac{\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}$

                                               

$=\frac{\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)+\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}-1$

$=\frac{\cos \left[ \left( x+\frac{\pi }{3} \right)-\left( x+\frac{\pi }{6} \right) \right]}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}-1=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}-1$

Từ đó: \[I=\frac{\sqrt{3}}{2}\int{\frac{1}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}dx}-\int{dx}=\frac{\sqrt{3}}{2}{{I}_{1}}-x+C\]

Tính ${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}}$

Ta có: $1=\frac{\sin \frac{\pi }{6}}{\sin \frac{\pi }{6}}=\frac{\sin \left[ \left( x+\frac{\pi }{3} \right)-\left( x+\frac{\pi }{6} \right) \right]}{\frac{1}{2}}$

             $=2\left[ \sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)-\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right) \right]$

Từ đó: ${{I}_{1}}=2\int{\frac{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)-\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}}dx$

                $=2\int{\frac{\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}dx}-2\int{\frac{\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)}dx}=2\ln \left| \frac{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} \right|+C$

Suy ra: $I=\frac{\sqrt{3}}{2}.2\ln \left| \frac{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} \right|-x+C=\sqrt{3}\ln \left| \frac{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} \right|-x+C$

III. Dạng 3. $I=\int{\frac{dx}{a\sin x+b\cos x}}$

1. Phương pháp tính

2. Ví dụ áp dụng

•$I=\int{\frac{2dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}}=\int{\frac{dx}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x}}=\int{\frac{dx}{\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}}}$

   $=\int{\frac{dx}{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}}=\int{\frac{d\left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}}=\ln \left| \tan \frac{x+\frac{\pi }{6}}{2} \right|+C=\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{12} \right) \right|+C$

•$J=\int{\frac{dx}{\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x}}$

    $=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sin \frac{\pi }{6}\cos 2x-\cos \frac{\pi }{6}\sin 2x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sin \left( \frac{\pi }{6}-2x \right)}}=-\frac{1}{4}\int{\frac{d\left( \frac{\pi }{6}-2x \right)}{\sin \left( \frac{\pi }{6}-2x \right)}}$

    $=-\frac{1}{4}\ln \left| \tan \frac{\frac{\pi }{6}-2x}{2} \right|+C=-\frac{1}{4}\ln \left| \tan \left( \frac{\pi }{12}-x \right) \right|+C$

IV. Dạng 4. $I=\int{\frac{dx}{a\sin x+b\cos x+c}}$

1. Phương pháp tính

 

2. Ví dụ áp dụng

•$I=\int{\frac{dx}{3\cos x+5\sin x+3}}$

Từ đó: $I=\int{\frac{\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}}}{3.\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}+5\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+3}}=\int{\frac{2dt}{3-3{{t}^{2}}+10t+3+3{{t}^{2}}}}=\int{\frac{2dt}{10t+6}}$

               $=\frac{1}{5}\int{\frac{d\left( 5t+3 \right)}{5t+3}}=\frac{1}{5}\ln \left| 5t+3 \right|+C=\frac{1}{5}\ln \left| 5\tan \frac{x}{2}+3 \right|+C$

•$J=\int{\frac{2dx}{2\sin x-\cos x+1}}$

Từ đó: $J=\int{\frac{2.\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}}}{2.\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}-\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}+1}}=\int{\frac{4dt}{4t-1+{{t}^{2}}+1+{{t}^{2}}}}=\int{\frac{4dt}{2{{t}^{2}}+4t}}=2\int{\frac{dt}{t\left( t+2 \right)}}$

               $=\int{\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t+2} \right)dt}=\ln \left| t \right|-\ln \left| t+2 \right|+C=\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right|-\ln \left| \tan \frac{x}{2}+2 \right|+C$

B. Bài tập tự luyện

1.$I=\int{\frac{dx}{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cos \left( x+\frac{\pi }{12} \right)}}$   Đáp án:$\sqrt{2}\ln \left| \frac{\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)}{\cos \left( x+\frac{\pi }{12} \right)} \right|+C$

2.$K=\int{\frac{dx}{\sin x+\tan x}}$                     Đáp án:$\frac{1}{2}\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right|-\frac{1}{4}{{\tan }^{2}}\frac{x}{2}+C$

3.$I=\int{\frac{dx}{{{\cos }^{3}}x}}$                                  Đáp án:$\frac{1}{3}\left[ \frac{\tan x}{\cos x}+\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \right| \right]+C$

4.$I=\int{\frac{\sin 3x\sin 4x}{\tan x+\tan 2x}dx}$                    Đáp án:$-\frac{1}{28}\cos 7x-\frac{1}{20}\cos 5x-\frac{1}{12}\cos 3x-\frac{1}{4}\cos x+C$

5.$I=\int{\tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cot \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}dx$          Đáp án:$\frac{\sqrt{3}}{3}\ln \left| \frac{\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}{\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} \right|+x+C$

6.$I=\int{\cos x\sin 2x\cos 3xdx}$            Đáp án:$\frac{1}{2}\int{\sin 2x\left( \cos 2x+\cos 4x \right)}dx$

7.$I=\int{\left( {{\sin }^{3}}x\cos 3x+{{\cos }^{3}}x\sin 3x \right)dx}$  Đáp án:$-\frac{3}{4}\int{\sin 2xdx}=\frac{3}{8}\cos 2x+C$

8.\[I=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x\cos x}}\]                            Đáp án:\[-\frac{1}{3{{\sin }^{3}}x}-\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\sin x-1}{\sin x+1} \right|+C\]

9.$I=\int{{{\sin }^{3}}x\sin 3xdx}$                     Đáp án:\[\frac{3}{16}\sin 2x-\frac{3}{32}\sin 4x+\frac{1}{48}\sin 6x-\frac{1}{8}x+C\]

10.$I=\int{\tan x\tan \left( \frac{\pi }{3}-x \right)\tan \left( \frac{\pi }{3}+x \right)dx}$ Đáp án:$-\frac{1}{3}\ln \left| \cos 3x \right|+C$

Bài viết gợi ý: