Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba y=ax3+bx2+cx+d có phương trình là \[y=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}\]
Chứng minh: Gọi\[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\],\[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\]là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Ta có \[{{x}_{1}}\],\[{{x}_{2}}\]là hai nghiệm phân biệt của phương trình
\[{{y}^{'}}\]=0\[\Leftrightarrow \]\[3a{{x}^{2}}+2bx+c=0\]
Lấy \[a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\]chia cho \[3a{{x}^{2}}+2bx+c\]ta được
\[a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=(\frac{x}{3}+\frac{b}{9a})(3a{{x}^{2}}+2bx+c)+\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}\]
Do đó \[y=(\frac{x}{3}+\frac{b}{9a}){{y}^{'}}+\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}\]
Vì
\[{{y}^{'}}\left( {{x}_{1}} \right)={{y}^{'}}\left( {{x}_{2}} \right)=0\Rightarrow {{y}_{1}}=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a}){{x}_{1}}+d-\frac{bc}{9a};{{y}_{2}}=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a}){{x}_{2}}+d-\frac{bc}{9a}\]
Điều đó chứng tỏ \[A,B\in d:y=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}\]. Ta có điều phải chứng minh
Ví dụ minh họa
Câu 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \[y=2{{x}^{3}}+3(m-3){{x}^{2}}-3m+11\] có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm \[N\left( 2;-1 \right)\] thẳng hàng là
A.\[m=\frac{9-\sqrt{33}}{4};m=\frac{9+\sqrt{33}}{4}\] B.\[m=3;m=6\]
C.\[m=\frac{27-\sqrt{33}}{6};m=\frac{27+\sqrt{33}}{6}\] D.\[m=\frac{27-\sqrt{249}}{12};m=\frac{27+\sqrt{249}}{12}\]
Lời giải: ta có \[y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+6(m-3)x=0\Leftrightarrow x=0;x=3-m\]. Hàm số có hai điểm cực trị \[\Leftrightarrow 3-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 3\]. Loại đáp án B
Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
\[y=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}=-{{(m-3)}^{2}}x-3m+11\]
Vì điểm \[N(2;-1)\]thuộc đường thẳng này nên
\[-2{{(m-3)}^{2}}-3m+11=-1\Leftrightarrow m=\frac{9\pm \sqrt{33}}{4}\]\[-2{{(m-3)}^{2}}-3m+11=-1\Leftrightarrow m=\frac{9\pm \sqrt{33}}{4}\].
Chọn đáp án A
Câu 2: Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\]với a,b,c là các số thực. Biết \[f'\left( x \right)=0\] có hai nghiệm phân biệt m,n sao cho đường thẳng đi qua hai điểm\[A\left( m;f\left( m \right) \right),B\left( n;f\left( n \right) \right)\] đi qua gốc tọa độ O. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[S=abc+ab+c\]\[S=abc+ab+c\] là?
- -9 B. \[-\frac{25}{9}\]
- \[-\frac{16}{25}\] D. 1
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng qua hai điểm AB:\[y=\frac{2}{3}\left( b-\frac{{{a}^{2}}}{3} \right)x+c-\frac{ab}{9}\].
Vì \[O\in AB\]nên \[c-\frac{ab}{9}=0\]. Vì vậy
\[S=\frac{1}{9}{{(ab)}^{2}}+\frac{10}{9}ab=\frac{1}{9}{{(ab+5)}^{2}}-\frac{25}{9}\ge -\frac{25}{9}\]. Chọn đáp án B
Câu 3: Khoảng cách từ điểm \[P\left( 3;1 \right)\] đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-({{m}^{2}}-2)x+{{m}^{2}}\] có giá trị lớn nhất bằng
- \[\sqrt{5}\] B.\[\sqrt{2}\]
C.\[2\sqrt{5}\] D.\[2\sqrt{2}\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A,B của đồ thị hàm số đã cho là
\[y=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}=-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1)x+\frac{2({{m}^{2}}+1)}{3}\]
Đường thẳng qua hai điểm cực trị luôn qua điểm cố định \[I(1;0)\] là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho
Vì vậy \[d\left( P,AB \right)\le PI=\sqrt{5}\]. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[PI\bot AB\].
Đường thẳng AB có hệ số góc \[{{k}_{1}}=-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1)\]. Đường thẳng PI có hệ số góc \[{{k}_{2}}=\frac{{{y}_{p}}-{{y}_{I}}}{{{x}_{p}}-{{x}_{I}}}=\frac{1-0}{3-1}=\frac{1}{2}\].
Vậy: \[PI\bot AB\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow -\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1).\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}\]
Chọn đáp án A
Bài tập tự luyện:
Câu 1: Khi đồ thị hàm số\[y={{x}^{3}}-3mx+2\] có hai điểm cực trị A,B và đường tròn \[(C):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=3\] cắt đường thẳng AB tại hai điểm phân biệt M,N sao cho khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính độ dài MN.
- \[MN=\sqrt{3}\] B. MN = 1
C.MN = 2 D. \[MN=2\sqrt{3}\]
Câu 2: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}+(m+3){{x}^{2}}-(2m+9)x+m+6\] có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để (C) có hai điểm cực trị và khaongr cách từ gốc tọa độ ) đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là lớn nhất.
- \[m=-6\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\] B. \[m=-3\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\]
C.\[m=-3\pm 6\sqrt{2}\] D. \[m=-6\pm 6\sqrt{2}\]
Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm \[M(2{{m}^{3}};m-1)\] cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \[y=2{{x}^{3}}-3(2m+1){{x}^{2}}+6m(m+1)x\] tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
- m = 1 B. m = 2
C.m = 0 D. m = -1
