Phương pháp giải phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba

Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba y=ax3+bx2+cx+d có phương trình là $y=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}$

Chứng minh: Gọi$A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$,$B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Ta có ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$là hai nghiệm phân biệt của phương trình

${{y}^{'}}$=0$\Leftrightarrow$$3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$

Lấy $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$chia cho $3a{{x}^{2}}+2bx+c$ta được

$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=(\frac{x}{3}+\frac{b}{9a})(3a{{x}^{2}}+2bx+c)+\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}$

Do đó $y=(\frac{x}{3}+\frac{b}{9a}){{y}^{'}}+\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}$

Vì

${{y}^{'}}\left( {{x}_{1}} \right)={{y}^{'}}\left( {{x}_{2}} \right)=0\Rightarrow {{y}_{1}}=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a}){{x}_{1}}+d-\frac{bc}{9a};{{y}_{2}}=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a}){{x}_{2}}+d-\frac{bc}{9a}$

Điều đó chứng tỏ $A,B\in d:y=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}$. Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ minh họa

Câu 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}+3(m-3){{x}^{2}}-3m+11$ có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm $N\left( 2;-1 \right)$ thẳng hàng là

A.$m=\frac{9-\sqrt{33}}{4};m=\frac{9+\sqrt{33}}{4}$           B.$m=3;m=6$

C.$m=\frac{27-\sqrt{33}}{6};m=\frac{27+\sqrt{33}}{6}$      D.$m=\frac{27-\sqrt{249}}{12};m=\frac{27+\sqrt{249}}{12}$

Lời giải: ta có $y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+6(m-3)x=0\Leftrightarrow x=0;x=3-m$. Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow 3-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 3$. Loại đáp án B

Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$y=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}=-{{(m-3)}^{2}}x-3m+11$

 

 

Vì điểm $N(2;-1)$thuộc đường thẳng này nên

$-2{{(m-3)}^{2}}-3m+11=-1\Leftrightarrow m=\frac{9\pm \sqrt{33}}{4}$$-2{{(m-3)}^{2}}-3m+11=-1\Leftrightarrow m=\frac{9\pm \sqrt{33}}{4}$.

Chọn đáp án A

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$với a,b,c là các số thực. Biết $f'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt m,n sao cho đường thẳng đi qua hai điểm$A\left( m;f\left( m \right) \right),B\left( n;f\left( n \right) \right)$ đi qua gốc tọa độ O. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=abc+ab+c$$S=abc+ab+c$ là?

1. -9                                                          B. $-\frac{25}{9}$
2. $-\frac{16}{25}$                                                      D. 1

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng qua hai điểm AB:$y=\frac{2}{3}\left( b-\frac{{{a}^{2}}}{3} \right)x+c-\frac{ab}{9}$.

Vì $O\in AB$nên $c-\frac{ab}{9}=0$. Vì vậy

$S=\frac{1}{9}{{(ab)}^{2}}+\frac{10}{9}ab=\frac{1}{9}{{(ab+5)}^{2}}-\frac{25}{9}\ge -\frac{25}{9}$. Chọn đáp án B

Câu 3: Khoảng cách từ điểm $P\left( 3;1 \right)$ đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-({{m}^{2}}-2)x+{{m}^{2}}$ có giá trị lớn nhất bằng

1. $\sqrt{5}$                                                 B.$\sqrt{2}$

     C.$2\sqrt{5}$                                               D.$2\sqrt{2}$

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A,B của đồ thị hàm số đã cho là

$y=\frac{2}{3}(c-\frac{{{b}^{2}}}{3a})x+d-\frac{bc}{9a}=-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1)x+\frac{2({{m}^{2}}+1)}{3}$

Đường thẳng qua hai điểm cực trị luôn qua điểm cố định $I(1;0)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho

Vì vậy $d\left( P,AB \right)\le PI=\sqrt{5}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $PI\bot AB$.

Đường thẳng AB có hệ số góc ${{k}_{1}}=-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1)$. Đường thẳng PI có hệ số góc ${{k}_{2}}=\frac{{{y}_{p}}-{{y}_{I}}}{{{x}_{p}}-{{x}_{I}}}=\frac{1-0}{3-1}=\frac{1}{2}$.

Vậy: $PI\bot AB\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow -\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1).\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}$

Chọn đáp án A

Bài tập tự luyện:

Câu 1: Khi đồ thị hàm số$y={{x}^{3}}-3mx+2$ có hai điểm cực trị A,B và đường tròn $(C):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=3$ cắt đường thẳng AB tại hai điểm phân biệt M,N sao cho khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính độ dài MN.

1. $MN=\sqrt{3}$                                         B. MN = 1

     C.MN = 2                                                 D. $MN=2\sqrt{3}$

Câu 2: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+(m+3){{x}^{2}}-(2m+9)x+m+6$ có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để (C) có hai điểm cực trị và khaongr cách từ gốc tọa độ ) đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là lớn nhất.

1. $m=-6\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$                     B. $m=-3\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$

     C.$m=-3\pm 6\sqrt{2}$                         D. $m=-6\pm 6\sqrt{2}$

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm $M(2{{m}^{3}};m-1)$ cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3(2m+1){{x}^{2}}+6m(m+1)x$ tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

1. m = 1                                                         B. m = 2

     C.m = 0                                                          D. m = -1

 

 

Bài viết gợi ý: