Công thức tính nhanh thể tích của các khối đa diện đều, tứ diện đều, khối lập phương, bát diện đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều

1. Tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a$ .

Ta có $S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ và $h=AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Do đó $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$ .

2. Hình lập phương cạnh $a$ .

Khối lập phương có thể tích $V={{a}^{3}}$ .

3. Khối bát diện đều $ABCDEF$ cạnh $a$ , ta có

${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$ và $EF=2EO=2\sqrt{B{{E}^{2}}-B{{O}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}$ .

Do đó $V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.EF=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$ .

4. Khối 12 mặt đều cạnh $a$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 12 mặt đều, xét 3 mặt phẳng chung đỉnh $A$ là $ABEFC,\,ACGHD,\,ABJID$ .

Khi đó $A.BCD$ là chóp tam giác đều và $OA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ tại tâm ngoại tiếp H của tam giác $BCD$ . Theo định lí hàm số côsin ta có

$BC=CD=BD=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a.a.\cos \left( \frac{3\pi }{5} \right)}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a.$

Do đó $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{BC\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}a \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a.$

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$ , ta có hai tam giác vuông $AHB$ ∽ $AMO$ , do đó

$\frac{AO}{AB}=\frac{AM}{AH}\Rightarrow R=AO=\frac{A{{B}^{2}}}{2AH}=\frac{{{a}^{2}}}{2.\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}$ .

Ta có thể tích khối đa diện 12 mặt đều bằng tổng thể tích của 12 khối chóp ngũ giác đều cạnh đáy bằng $a$ , cạnh bên bằng $R=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}$ .

Từ đó dễ có $V=\frac{{{a}^{3}}\left( 15+7\sqrt{5} \right)}{4}$ .

* Chú ý. Có thể tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện đã cho (cũng chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCD$ ) bằng cách áp dụng công thức

$R=OA=\frac{A{{B}^{2}}}{2\sqrt{A{{B}^{2}}-R_{BCD}^{2}}}$

5. Khối đa diện đều 20 mặt đều cạnh $a$ , bằng cách thực hiện tương tự như khối đa diện 12 mặt đều ta có công thức xác định thể tích là $V=\frac{5\left( 3+\sqrt{5} \right){{a}^{3}}}{12}$ .

* Chú ý. Khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều chỉ để tham khảo; các em không nên sa đà vào các bài toán loại này.

* Khối 12 mặt đều hoặc 20 mặt đều việc xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hoặc thể tích các em chỉ tham khảo, không nên quan tâm đến các câu hỏi loại này trong đề thi vì nó không phù hợp.