Các bài toán cực trị trong hình học không gian

Dạng 1: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai điểm A,B. Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$ ?

Hướng dẫn giải

+ Nếu A và B trái phía so với $\left( P \right)$

$\Rightarrow M,A,B$ thẳng hàng $\Rightarrow M=AB\cap \left( P \right)$

+ Nếu A và B cùng phía so với $\left( P \right)$

Lấy B’ đối xứng với B qua mặt phẳng $\left( P \right)$

$\Rightarrow M,A,B'$ thẳng hàng$\Rightarrow M=AB'\cap \left( P \right)$

Dạng 2: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai điểm A,B. Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left| MA-MB \right|}_{\max }}$ ?

Hướng dẫn giải

+ Nếu A và B cùng phía so với $\left( P \right)$

$\Rightarrow M,A,B$ thẳng hàng $\Rightarrow M=AB\cap \left( P \right)$

+ + Nếu A và B trái phía so với $\left( P \right)$

Lấy B’ đối xứng với B qua mặt phẳng $\left( P \right)$

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$qua điểm A và cách M một khoảng lớn nhất là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng  

Dạng 4: Cho điểm $M\left( a;b;c \right)$ không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình $\left( P \right)$ qua M và cắt 3 tia $\text{Ox};Oy;Oz$ lần lượt tại A,B,C sao cho ${{V}_{OABC}}$ nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{3a}+\frac{y}{3b}+\frac{z}{3c}=1$

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ $M\notin d$ đến $\left( P \right)$ là lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng 

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d, sao cho $\left( P \right)$ tạo với ∆ (∆ không song song với d) một góc lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là 

Dạng 7: Cho đường thẳng $\Delta //\left( P \right)$ . Viết phương trình đường thẳng d song song với ∆ và cách $\Delta$ một khoảng nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải

Lấy $A\in \Delta$ . Gọi A; là hình chiếu vuông góc của A trên $\left( P \right)$.Khi đó phương trình đường thẳng d là:

 Đường thẳng d đi qua A’ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất (AM không vuông góc với $\left( P \right)$)?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A và  $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AM} \right]$

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất (AM không vuông góc với $\left( P \right)$)?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AM} \right],\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]$

Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A\in \left( P \right)$ cho trước sao cho d nằm trong $\left( P \right)$ và tạo với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất (∆ cắt nhưng không vuông góc với $\left( P \right)$)?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua A và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{AM} \right],\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]$

Bài viết gợi ý: