Dạng 1: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai điểm A,B. Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$ ?
Hướng dẫn giải
+ Nếu A và B trái phía so với $\left( P \right)$
$\Rightarrow M,A,B$ thẳng hàng $\Rightarrow M=AB\cap \left( P \right)$
+ Nếu A và B cùng phía so với $\left( P \right)$
Lấy B’ đối xứng với B qua mặt phẳng $\left( P \right)$
$\Rightarrow M,A,B'$ thẳng hàng$\Rightarrow M=AB'\cap \left( P \right)$
Dạng 2: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai điểm A,B. Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left| MA-MB \right|}_{\max }}$ ?
Hướng dẫn giải
+ Nếu A và B cùng phía so với $\left( P \right)$
$\Rightarrow M,A,B$ thẳng hàng $\Rightarrow M=AB\cap \left( P \right)$
+ + Nếu A và B trái phía so với $\left( P \right)$
Lấy B’ đối xứng với B qua mặt phẳng $\left( P \right)$
.png)
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$qua điểm A và cách M một khoảng lớn nhất là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Phương trình mặt phẳng .png)
Dạng 4: Cho điểm $M\left( a;b;c \right)$ không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình $\left( P \right)$ qua M và cắt 3 tia \[\text{Ox};Oy;Oz\] lần lượt tại A,B,C sao cho ${{V}_{OABC}}$ nhỏ nhất?
Hướng dẫn giải
Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{3a}+\frac{y}{3b}+\frac{z}{3c}=1$
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ $M\notin d$ đến $\left( P \right)$ là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Phương trình mặt phẳng .png)
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d, sao cho $\left( P \right)$ tạo với ∆ (∆ không song song với d) một góc lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là .png)
Dạng 7: Cho đường thẳng $\Delta //\left( P \right)$ . Viết phương trình đường thẳng d song song với ∆ và cách $\Delta $ một khoảng nhỏ nhất?
Hướng dẫn giải
Lấy $A\in \Delta $ . Gọi A; là hình chiếu vuông góc của A trên $\left( P \right)$.Khi đó phương trình đường thẳng d là:
Đường thẳng d đi qua A’ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất (AM không vuông góc với $\left( P \right)$)?
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d đi qua điểm A và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AM} \right]$
Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất (AM không vuông góc với $\left( P \right)$)?
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d đi qua điểm A và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AM} \right],\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]$
Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A\in \left( P \right)$ cho trước sao cho d nằm trong $\left( P \right)$ và tạo với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất (∆ cắt nhưng không vuông góc với $\left( P \right)$)?
Hướng dẫn giải
Đường thẳng đi qua A và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{AM} \right],\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]$
