Công thức 1: Tìm số phức \[z\] thỏa mãn điều kiện \[az+b\overline{z}=c.\]
Giải. Lấy liên hợp hai vế có \[\left( \overline{az+b\overline{z}} \right)=\overline{c}\Leftrightarrow \overline{b}z+\overline{a}\overline{z}=\overline{c}.\] Vậy ta có hệ .png)
Áp dụng công thức nghiệm của hệ bậc nhất hai ẩn có .png)
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Câu 1. Tìm số phức \[z\] thỏa mãn \[\left( 1+2i \right)z+5\overline{z}=4-2i.\]
Lời giải: Có \[z=\frac{\left( 4-2i \right)\left( 1-2i \right)-5\left( 4+2i \right)}{5-25}=1+i.\]
Câu 2. Tìm số phức \[z\] thỏa mãn \[\left( 3+4i \right)z+\left( 6-2i \right)\overline{z}=5+10i.\]
Lời giải: \[z=\frac{\left( 5+10i \right)\left( 3-4i \right)-\left( 6-2i \right)\left( 5-10i \right)}{25-36-4}=-3-\frac{16}{3}i.\]
Câu 3. Cho số phức \[z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\] thỏa mãn \[\frac{2-iz}{2+i}-\frac{z+2i}{1-2i}=2\overline{z}.\] Giá trị biểu thức \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab\] bằng
A. \[0.\] B. \[1.\] C. \[\frac{29}{100}.\] D. \[5.\]
Lời giải: \[z\left( -\frac{i}{2+i}-\frac{1}{1-2i} \right)-2\overline{z}=\frac{2i}{1-2i}-\frac{2}{2+i}\Leftrightarrow z\left( -\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i \right)-2\overline{z}=-\frac{8}{5}+\frac{4}{5}i.\]
Do đó \[z=\frac{\left( -\frac{8}{5}+\frac{4}{5}i \right)\left( -\frac{2}{5}+\frac{4}{5}i \right)+2\left( -\frac{8}{5}-\frac{4}{5}i \right)}{\frac{4}{25}+\frac{16}{25}-4}=1+i.\] Chọn đáp án B.
Câu 4. Tìm số phức \[z\] thỏa mãn \[\left( 5-6i \right)z+\left( 3+4i \right)\overline{z}=1+2i.\]
Lời giải: Có \[z=\frac{\left( 1+2i \right)\left( 5+6i \right)-\left( 3+4i \right)\left( 1-2i \right)}{{{5}^{2}}+{{6}^{2}}-{{3}^{2}}-{{4}^{2}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i.\]
Câu 5. Tìm số phức \[z\] thỏa mãn \[\frac{3+2iz}{1+i}-\frac{2-3z}{1-i}=2\overline{z}.\]
Lời giải: Giả thiết tương đương \[\left( \frac{2i}{1+i}+\frac{3}{1-i} \right)z-2\overline{z}=\frac{2}{1-i}-\frac{3}{1+i}\Leftrightarrow \left( \frac{5}{2}+\frac{5}{2}i \right)z-2\overline{z}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i.\]
Do đó \[z=\frac{\left( -\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i \right)\left( \frac{5}{2}-\frac{5}{2}i \right)+2\left( -\frac{1}{2}-\frac{5}{2}i \right)}{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}-4}=\frac{8}{17}+\frac{5}{17}i.\]
