Xét hàm số y = \[\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{mx+n}\]có y’ = \[\frac{am{{x}^{2}}+2anx+bn-cm}{{{(mx+n)}^{2}}}\]$$
*Chú ý: Các em có thể dùng công thức nhanh trên hoặc áp dụng đạo hàm của thương
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định \[\Leftrightarrow \]\[am{{x}^{2}}+2anx+bn-cm\ge 0,\forall x\]
- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \[\Leftrightarrow \]\[am{{x}^{2}}+2anx+bn-cm\le 0,\forall x\]
- Hàm số đồng biến trên K \[\Leftrightarrow \]\[\mathop{\{}_{mx+n\ne 0}^{am{{x}^{2}}+2anx+bn-cm\ge 0},\forall x\in K\]
- Hàm số nghịch biến trên K \[\Leftrightarrow \]\[\mathop{\{}_{mx+n\ne 0}^{am{{x}^{2}}+2anx+bn-cm\le 0},\forall x\in K\]
Hai trường hợp cuối xem thêm bài giảng và đề thi Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên K
Giải thích vì sao hai trường hợp đầu không cần điều kiện xác định của x
Xét \[f\left( x \right)\]=\[am{{x}^{2}}+2anx+bn-cm\ge 0\],\[\forall x\ne -\frac{n}{m}\](*)
Do hàm số \[f\left( x \right)\]= \[am{{x}^{2}}+2anx+bn-cm\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]nên liên tục tại điểm \[x=-\frac{n}{m}\]và do đó có \[\underset{x\to -\mathop{\frac{n}{m}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\] \[f\left( x \right)\]=\[\underset{x\to -\mathop{\frac{n}{m}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\] \[f\left( x \right)\]= \[f\left( -\frac{n}{m} \right)\]
Mặt khác theo (*) ta có \[\underset{x\to -\mathop{\frac{n}{m}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\] \[f(x)\]\[\ge 0\]; \[\underset{x\to -\mathop{\frac{n}{m}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\] \[f(x)\]\[\ge 0\]. Do đó \[f\left( -\frac{n}{m} \right)\]\[\ge 0\]. Điều đó chứng tỏ bất phương trình (*) \[\Leftrightarrow \]\[f(x)\]=\[am{{x}^{2}}+2anx+bn-cm\ge 0,\forall x\]
Câu 1: Hỏi có tất cả bai nhiêu số nguyên m để hàm số \[y=\frac{m{{x}^{2}}+6x-2}{x+2}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định?
A. Vô số B. 5 C. 4 D. 3
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}-8x}{x+m}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định:
A.[0;8] B.[-8;0] C.(-8;0) D.(0;8)
Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y=\frac{(m+1){{x}^{2}}-2mx-({{m}^{3}}-{{m}^{2}}+2)}{x-m}\] nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ?
A. \[\varnothing \] B. {-1} C. (-\[\infty \];-1) D. (-1; +\[\infty \])
Câu 4: Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2018;2018] để hàm số \[y=mx+\frac{1}{x}\]nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ?
A.2017 B.1 C.2018 D.2019
Câu 5: Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số \[y=mx+\frac{1}{x}\] nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và hàm số \[y=(m+8)x-\frac{1}{x}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định?
A.8 B.9 C.7 D.Vô số
Câu 6: Tìm tất cả cá giá trị thực của tham số m để hàm số \[y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-1}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định
A.(1; +\[\infty \]) B.(-\[\infty \];1] C.(-\[\infty \];1) D.[1;+\[\infty \]]
Câu 7: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y=\frac{-2{{x}^{2}}-3x+m}{2x+1}\] nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
A.[-1;+\[\infty \]) B.(-1;+\[\infty \]) C.(-2;+\[\infty \]) D.[-2;+\[\infty \])
Câu 8: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y=\frac{m{{x}^{2}}-(m+1)x-3}{x}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác đinh:
A.[0; +\[\infty \]) B.[-1; +\[\infty \]) C.(0; +\[\infty \]) D.(-1; +\[\infty \])
Câu 9: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y=\frac{m{{x}^{2}}+x+m}{mx+1}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định:
A.[0; +\[\infty \]) B.( -\[\infty \]; +\[\infty \]) C.{0} D.( -\[\infty \]:0]
Câu 10: Với a,b là các số thực khác 0. Biết rằng hàm số \[y=ax+\frac{b}{x}\] đồng biến trên mỗi khoảng ác định. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a > 0, b > 0 B. a > 0, b < 0 C. a < 0, b > 0 D. a < 0, b < 0
Câu 11: Với a,b là các số thực khác 0. Biết rằng hàm số \[y=ax+\frac{b}{x}\] nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. a > 0, b > 0 B. a > 0, b < 0 C. a < 0, b > 0 D. a < 0, b < 0
Câu 12: Với a,b là các số nguyên dương và a\[\ne \]4, b\[\ne \]5. Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) để hàm số \[y=(4-a)x+\frac{b-5}{x}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?
A. 12 B. 20 C.9 D. 16
Câu 13: Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số
\[y=3x+\frac{{{m}^{2}}+3m}{x+1}\]
Đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ?
A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \[y=9x+\frac{{{m}^{2}}-10m}{x-1}\]đồng biến trên mỗi khoảng xác định:
A.10 B. Vô số C. 11 D. 9
Câu 15: Với m,n là các số thực thay đổi sao cho hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}-n}{x+m}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức m + n bằng
A.\[-\frac{1}{16}\] B. \[-\frac{1}{4}\] C. -1 D. \[-\frac{3}{4}\]
Câu 16: Với m,n là các số nguyên dương thay đổi sao cho hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}-n}{x+4m}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2m + 3n bằng
A.35 B.14 C. 48 D.50
Câu 17: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số \[y=x-\frac{m+6}{6x-m}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định:
A. 7 B. 5 C. 6 D. 4
Câu 18: Với m,n là các số thực lớn hơn -1 thay đổi sao cho hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}+nx-n}{x+m}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức m + n bằng:
A.\[2\sqrt{2}-1\] B. \[\sqrt{2}-2\] C. \[2\sqrt{2}-3\] D. \[6-4\sqrt{2}\]
Câu 19: Có bao nhiêu số nguyên m \[\in \] (-20; 20) để hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}-2(m+1)x+5}{3x-1}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định
A.11 B.14 C. 12 D.13
Câu 20: Với m,n là các số thực dương thay đổi sao cho hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}+nx+n}{x+m}\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức m + n bằng
A. \[9+4\sqrt{5}\] B. \[2\sqrt{2}+3\] C. \[3+2\sqrt{5}\] D. \[\frac{3+\sqrt{5}}{2}\]
