Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa và tính chất

a) Định nghĩa

         Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có \[F'\left( x \right)=f\left( x \right)\]. Ta gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\]. Vì với $C$ là một hằng số bất kỳ, ta có \[{{\left( F\left( x \right)+C \right)}^{'}}=F'\left( x \right)=f\left( x \right)\] nên nếu \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] thì \[F\left( x \right)+C\]cũng là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\]. Ta gọi \[F\left( x \right)+C,\,\left( C-const \right)\] là Họ nguyên hàm của \[f\left( x \right)\].

Ký hiệu:\[\int{f\left( x \right)dx=F\left( x \right)+C}\]

VD: \[\int{{{x}^{4}}dx=\frac{1}{5}{{x}^{5}}+C;\,\int{\cos xdx=\sin x+C}}\].

b) Tính chất

• \[{{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{'}}=f\left( x \right)\]

• \[\int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx}}\], $k$ là hằng số

• \[\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx}}}\]

• \[\int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx-\int{g\left( x \right)dx}}}\]

2. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

3. Các phương pháp

Phương pháp 1. Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:

• x$I=\int{{{x}^{8}}dx=\frac{1}{9}{{x}^{9}}+C}$

.• $I=\int{\frac{dx}{{{x}^{5}}}=\int{{{x}^{-5}}dx=\frac{1}{-5+1}{{x}^{-5+1}}+C=}}-\frac{1}{4}{{x}^{-4}}+C$

•$I=\int{\frac{dx}{2x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}=\frac{1}{2}\ln \left| x \right|+C}$

• $I=\int{\tan 2xdx=\int{\frac{\sin 2x}{\cos 2x}dx=-\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( \cos 2x \right)}{\cos 2x}=-\frac{1}{2}\ln \left| \cos 2x \right|+C}}}$

• $I=\int{\sin x.{{\cos }^{4}}xdx=-\int{{{\cos }^{4}}xd\left( \cos x \right)}=-\frac{1}{5}{{\cos }^{5}}x+C}$

• $I=\int{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx}=\int{\frac{d\left( \sin x-\cos x \right)}{\sin x-\cos x}}=\ln \left| \sin x-\cos x \right|+C$

• $I=\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{{{e}^{x}}+1}}=\int{\frac{d\left( {{e}^{x}}+1 \right)}{{{e}^{x}}+1}}=\ln \left| {{e}^{x}}+1 \right|+C$

Phương pháp 2. Phương pháp đổi biến

a) Các dạng đổi biến số thường gặp

b) Ví dụ

• $I=\int{\sqrt{{{x}^{2004}}+1}.{{x}^{2003}}dx}$

Đặt $t={{x}^{2004}}+1\Rightarrow dt=2004{{x}^{2003}}dx\Rightarrow {{x}^{2003}}dx=\frac{1}{2004}dt$. Từ đó ta được:

$I=\frac{1}{2004}\int{\sqrt{t}dt}=\frac{1}{2004}\int{{{t}^{\frac{1}{2}}}dt}=\frac{1}{2004}.\frac{2}{3}{{t}^{\frac{3}{2}}}+C$

$=\frac{1}{3006}\sqrt{{{t}^{3}}}+C=\frac{1}{3006}\sqrt{{{\left( {{x}^{2004}}+1 \right)}^{3}}}+C$

• $I=\int{{{x}^{2}}{{\left( 1-x \right)}^{10}}dx}$

Đặt $1-x=t\Rightarrow dx=-dt$. Từ đó ta được:

$O=\int{{{\left( 1-t \right)}^{2}}{{t}^{10}}\left( -dt \right)}=-\int{\left( 1-2t+{{t}^{2}} \right).{{t}^{10}}}dt=-\int{{{t}^{10}}dt}+2\int{{{t}^{11}}dt}-\int{{{t}^{12}}}dt$

$\,\,\,\,\,=-\frac{1}{11}{{t}^{11}}+\frac{1}{6}{{t}^{12}}-\frac{1}{13}{{t}^{13}}+C=-\frac{1}{11}{{\left( 1-x \right)}^{11}}+\frac{1}{6}{{\left( 1-x \right)}^{12}}-\frac{1}{13}{{\left( 1-x \right)}^{13}}+C$

• $I=\int{\frac{\sin x.{{\cos }^{3}}x}{1+{{\cos }^{2}}x}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{2\sin x\cos x.{{\cos }^{2}}x}{1+{{\cos }^{2}}x}}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{{{\cos }^{2}}x}{1+{{\cos }^{2}}x}.\sin 2xdx}$

Đặt $1+{{\cos }^{2}}x=t\Rightarrow \sin 2xdx=-dt$

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}\frac{t-1}{t}\left( -dt \right)=-\frac{1}{2}\int{dt+\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t}}=-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\ln \left| t \right|+C}$

Phương pháp 3. Phương pháp nguyên hàm từng phần

a) Nội dung phương pháp

Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích. Giả sử cần tính $I=\int{{{f}_{1}}\left( x \right).{{f}_{2}}\left( x \right)dx}$, ta làm như sau:

b) Chú ý

Thứ tự ưu tiên đặt $u$ trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:

Lôgarít $\to $ Đa thức $\to $  Hàm lượng giác $\to $ Hàm mũ

c) Ví dụ

•$I=\int{x\text{sin2}xdx}$

$\Rightarrow I=-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{2}\int{\cos 2xdx}=-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

•$I=\int{x{{\cos }^{2}}2xdx}=\int{x.\frac{1+\cos 4x}{2}}dx=\frac{1}{2}\int{xdx}+\int{\frac{1}{2}x\cos 4xdx}=\frac{1}{4}{{x}^{2}}+{{I}_{1}}$

Tính ${{I}_{1}}=\int{\frac{1}{2}x\cos 4xdx}$.

$\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{1}{8}x\sin 4x-\frac{1}{8}\int{\sin 4xdx}=\frac{1}{8}x\sin 4x+\frac{1}{32}\cos 4x+C$

Từ đó: $I=\frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{1}{8}x\sin 4x+\frac{1}{32}\cos 4x+C$

•$I=\int{\frac{x\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}$

Ta được $I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C$

•$I=\int{{{\ln }^{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)dx}$

$\Rightarrow I=x.{{\ln }^{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-2\int{\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right).\frac{xdx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}$

$=x{{\ln }^{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-2\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+2x+C$

•$I=\int{{{\left( \frac{\ln x}{x} \right)}^{2}}dx}$. Ta có $I=\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{{{x}^{2}}}dx}$.

Ta được $I=-\frac{1}{x}\ln x-\frac{1}{x}+C$

Phương pháp 4. Phối hợp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần

•$I=\int{\sin \sqrt{x}dx}$

Đặt $\sqrt{x}=t\Rightarrow x={{t}^{2}}\Rightarrow dx=2tdt\Rightarrow I=\int{\sin t.\left( 2tdt \right)}=\int{2t\sin tdt}$

Vậy $I=2\sin \sqrt{x}-2\sqrt{x}\cos \sqrt{x}+C$

•$I=\int{\sin \left( \ln x \right)dx}$.

Từ đó $I=\int{{{e}^{t}}\sin tdt}=\frac{x\left[ \sin \left( \ln x \right)-\cos \left( \ln x \right) \right]}{2}+C$

•$I=\int{{{x}^{8}}{{e}^{{{x}^{3}}}}dx}$.
 

Từ đó $I=\frac{1}{3}\int{{{t}^{2}}{{e}^{t}}dt=\frac{1}{3}\left( {{x}^{6}}-2{{x}^{3}}+2 \right){{e}^{{{x}^{3}}}}}+C$

•$I=\int{{{e}^{\sqrt{x}}}dx}$.

Phương pháp 5. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Giả sử cần tính $I=\int{f\left( x \right)dx}$. Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ $J=\int{g\left( x \right)dx}$ sao cho việc tính $I+J$ và $I-J$ đơn giản hơn. Chẳng hạn:

• $I=\int{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$

Ta có thể xét $J=\int{\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx}$

Khi đó:

$I+J=\int{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx}=\int{dx}=x+C$

$I-J=\int{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx}=-\int{\frac{d\left( \sin x+\cos x \right)}{\sin x+\cos x}}=-\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C$

Từ đó suy ra: $2I=x-\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C\Rightarrow I=\frac{1}{2}\left( x-\ln \left| \sin x+\cos x \right| \right)+C$

• $I=\int{\frac{4\sin x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}dx}$

Ta có thể xét $J=\int{\frac{4\cos x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}dx}$

Khi đó:

$I+J=4\int{\frac{\sin x+\cos x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}dx}=4\int{\frac{dx}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}}=4\int{\frac{dx}{{{\left[ \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}}}$

         $=2\int{\frac{d\left( x+\frac{\pi }{4} \right)}{{{\sin }^{2}}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)}}=-2\cot \left( x+\frac{\pi }{4} \right)+C$

$I-J=4\int{\frac{\sin x-\cos x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}}dx=-4\int{\frac{d\left( \sin x+\cos x \right)}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}}=2{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{-2}}+C$

Từ đó suy ra:

$2I=-2\cot \left( x+\frac{\pi }{4} \right)+2{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{-2}}+C\Rightarrow I=\frac{1}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}-\cot \left( x+\frac{\pi }{4} \right)+C$

B. Bài tập tự luyện

Câu 1: Tìm $\int{({{x}^{3}}-2x)dx}$

       A.  \[3{{x}^{2}}-2+C\]                                           B. \[\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+C\]    

       C.  \[\frac{{{x}^{4}}}{4}+2x+C\]                            D. \[\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+C\]

Câu 2: Tìm $\int{(\sin x+\cos 3x})\,dx$

    A. \[\cos x-\frac{1}{3}\sin 3x+C\]                                                  B. \[\cos x-3\sin 3x+C\]         

    C. \[-\cos x-\frac{1}{3}\sin 3x+C\]                                                    D. \[-\cos x+\frac{1}{3}\sin 3x+C\]

Câu 3: Tìm $\int{\left( 5{{e}^{3x}}-\frac{1}{6x+7} \right)}\,dx$

    A. \[\frac{5}{3}{{e}^{3x}}-\frac{1}{6}\ln \left| 6x+7 \right|+C\]                                             B. \[5{{e}^{3x}}-\ln \left| 6x+7 \right|+C\] 

    C. \[\frac{5}{3}{{e}^{3x}}+\frac{1}{6}\ln \left| 6x+7 \right|+C\]                                            D. \[5{{e}^{3x}}-\frac{1}{6}\ln \left| 6x+7 \right|+C\]

Câu 4: Tìm $\int{\sqrt{x}dx}$

    A. \[\frac{2}{3}\sqrt{x}+C\]                                      B.  \[-\frac{1}{2}\sqrt{x}+C\]   

    C. $\frac{3}{2}x\sqrt{x}+C$                                    D.  \[\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\]

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)={{\sin }^{2}}x$

    A. $\int{f(x)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin \,2x+C}$    B.  \[\int{f(x)dx=}\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin \,2x+C\]

    C. \[\int{f(x)dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin \,2x+C}\]    D.  \[\int{f(x)dx=\sin \,2x+C}\]

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos x.\cos 3x$

    A. $\int{f(x)dx=-\frac{1}{8}\sin \,4x-\frac{1}{4}\sin \,2x+C}$     B.  \[\int{f(x)dx=}\frac{1}{8}\sin \,4x+\frac{1}{4}\sin \,2x+C\]

    C. \[\int{f(x)dx=\frac{1}{8}\cos \,4x+\frac{1}{4}\cos \,2x+C}\]    D.  \[\int{f(x)dx=-2\sin \,4x-\sin \,2x+C}\]

Câu 7: Cho \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx\] . Đặt t=2sinx+1, khi đó

    A.  \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx=\int{{{e}^{t}}}dt\]                                       B. \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx=\frac{1}{2}\int{{{e}^{t}}}dt\]   

    C. \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx=-\frac{1}{2}\int{{{e}^{t}}}dt\]                            D.  \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx=2\int{{{e}^{t}}}dt\]

Câu 8: Tìm $\int{(x+1){{e}^{{{x}^{2}}+2x}}dx}$

    A. \[2(x+1){{e}^{{{x}^{2}}+2x}}+C\]                            B.  \[\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}+2x}}+C\]

    C. \[{{e}^{{{x}^{2}}+2x}}+C\]                                       D.  \[\frac{1}{2}(x+1){{e}^{{{x}^{2}}+2x}}+C\]

Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai ?

    A. \[\int{{f}'(x)dx=f(x)+C}\]                                      B.  \[\int{[f(x)+g(x)]dx=\int{f(x)dx+\int{g(x)dx}}}\]

    C. \[\int{kf(x)dx=k\int{f(x)dx}}\]                              D.  \[\int{[f(x)-g(x)]dx=}\int{f(x)dx+\int{g(x)dx}}\]

Câu 10: Khẳng định nào sau đây đúng?

    A. \[\int{f(x)dx={f}'(x)+C}\]                                      B.  \[\int{[f(x)\pm g(x)]dx=}\int{f(x)dx\pm \int{g(x)dx}}\]

    C.  \[\int{\frac{f(x)}{g(x)}}\,dx=\frac{\int{f(x)dx}}{\int{g(x)dx}} D. \[\int{f(x).g(x)dx=\int{f(x)dx.\int{g(x)dx}}}\]

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=\frac{3}{{{\cos }^{2}}(2x-1)}$

    A.  \[\frac{3}{2}\tan (2x-1)+C\]                                                                         B. \[3\tan (2x-1)+C\]

    C.  \[-3\tan (2x-1)+C\]                                                                                      D. \[-\frac{3}{2}\cot (2x-1)+C\]

Câu 12: $\int{2{{e}^{x}}{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{4}}dx}=\frac{m}{n}{{({{e}^{x}}-1)}^{k}}+C$. Khi đó

    A.  m + n + k = 5                                                         B.  m + n + k = 7                   

    C.  m + n + k =12                                                        D.  m + n + k = 16

Câu 13: $\int{x\sin 2xdx}=\frac{m}{2}x\cos 2x+\frac{\sin 2x}{n}+C$. Khi đó

    A.  2m + n  = 0                    B.  2m + n = 2                     C.  2m + n =6               D.  2m + n  = 8

Câu 14: $\int{\left( x+3 \right){{e}^{-2x}}dx}=\frac{-1}{m}{{e}^{-2x}}(2x+n)+C$. Khi đó

    A.  \[{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=5\]                                                                           B. \[{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=10\]    

    C. \[{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=41\]                                                                          D. \[{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=65\]

Câu 15: Nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\cos x$là:

    A. \[x\cos x+\sin x+C\]                                               B. \[x\sin x+\cos x+C\]          

    C.  \[-x\sin x+\cos x+C\]                                               D. \[x\sin x-\cos x+C\]

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	D	A	C	B	A	C	A	D	B
11	12	13	14	15
A	C	C	D	B					.

Bài viết gợi ý: