phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’

Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng  chứa đường thẳng ∆ và song song với đường thẳng ∆’. Khi đó 

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot \left( ABCD \right)$,đáy ABCD là hình chữ nhật với $AC=5a$ và $BC=4a$. Tính khoảng cách giữa SD và BC

Hướng dẫn giải

Ta có : $BC//\left( SAD \right)$

Do đó: $d\left( BC;SD \right)=d\left( BC;\left( SAD \right) \right)=d\left( B;\left( SAD \right) \right)$

Mà :

Ta có: $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{25{{a}^{2}}-16{{a}^{2}}}=3a$

Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Ta có: 

Ví dụ 1: Hình chộp chữ nhật ABCD.ABCD’ có $AB=3;AD=4;AA'=5$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B’D’ bằng bao nhiêu?

Ta có: $\left( ABCD \right)//\left( A'B'C'D' \right)$

$AC\subset \left( ABCD \right)$ và $B'D'\subset \left( A'B'C'D' \right)$

Nên $d\left( AC,B'D' \right)=d\left( \left( ABCD \right);\left( A'B'C'D' \right) \right)=AA'=5$

Bài tập tự giải: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE và BC.Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN,AC theo a.

Đáp số: $d\left( MN,AC \right)=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn thẳng đó. Ta xét 2 trường hợp sau:

1.∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

- Chọn mặt phẳng chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I

- Trong mặt phẳng  kẻ \[IJ\bot \Delta '\]

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ và $d\left( \Delta ;\Delta ' \right)=IJ$

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB,AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SH=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta CDN=\Delta DAM\left( cgc \right)$

Kẻ $HK\bot SC\Rightarrow HK\bot MD\Rightarrow DK=d\left( DM,SC \right)$

Ta có:

$\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{C}^{2}}}$

2. ∆ và ∆’ vừa chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ theo một trong hai cách sau đây:

Cách 1:

+ Chọn mặt phẳng  chứa ∆ và song song với ∆’

+ Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống bằng cách lấy điểm  . Ta dựng đoạn  , lúc đó đường thẳng d đi qua N và song song với  ∆

+ Gọi $H=d\cap ~\Delta ',HK//MN$

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của  ∆  và  ∆’ và $d\left( ~\Delta ;\Delta ' \right)=HK=MN$

Cách 2:

+ Chọn mặt phẳng  tại I

+ Tìm hình chiếu của d xuống ∆’ xuống mặt phẳng

+ Trong mặt phẳng , dựng $IJ\bot d$, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆’ tại H, từ H dựng $HM\bot JI$

Khi đó HM là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’, và $d\left( \Delta ,\Delta ' \right)=HM=JI$

Bài tập tự giải: Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau một góc $60{}^\circ $ , nhận $AB=a$ làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy C với $BC=a$. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax. Tính $d\left( AC,BD \right)$

Đáp án: $d\left( AC;BD \right)=\frac{a\sqrt{93}}{31}$

Bài viết gợi ý: