Bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất
I . Lí thuyết :
1. Ước và Bội.
Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b còn b được gọi là ước của a.
Ví dụ : 18 ⋮ 6 ⇒ 18 là bội của 6. Còn 6 được gọi là ước của 18.
2. Cách tìm bội
Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đớ với lần lượt 0, 1, 2, 3, ...
Ví dụ : B(6) = {0 ; 6 ; 12 ; 18 ; ... }
3. Cách tìm ước.
Ta có thể tìm ước của a (a > 1) bằng cách lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem xét a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.
Ví dụ : Ư(16) = {16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1}
4. Số nguyên tố.
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó
Ví dụ : Ư(13) = {13 ; 1} nên 13 là số nguyên tố.
5. Ước chung.
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
6. Ước chung lớn nhất - ƯCLN
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
7. Cách tìm ước chung lớn nhất - ƯCLN
Muốn tìm UCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là UCLN phải tìm.
Ví dụ: Tìm UCLN (18 ; 30)
Ta có:
Bước 1: phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
18 = 2.32
30 = 2.3.5
Bước 2: thừa số nguyên tố chung là 2 và 3
Bước 3: UCLN (18; 30) = 2.3 = 6
Chú ý: Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì UCLN của chúng bằng 1.
Hai hay nhiều số có UCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
8. Cách tìm ƯớC thông qua UCLN.
Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ước của UCLN của các số đó.
9. Bội chung.
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó
x ∈ BC (a, b) nếu x ⋮ a và x ⋮ b
x ∈ BC (a, b, c) nếu x ⋮ a; x ⋮ b; x ⋮ c
10. Các tìm bội chung nhỏ nhất. (BCNN)
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
11. Cách tìm bội chung thông qua BCNN
Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
II . Bài toán ví dụ :
Bài toán 1: Cô Lan phụ trách đội cần chia số trái cây trong đó có 80 quả cam, 36 quả quýt và 104 quả mận vào các đĩa bánh kẹo trung thu sao cho số quả mỗi loại trong các đĩa là bằng nhau. Hỏi có thể chia thành nhiều nhất mấy đĩa ? Khi đó mỗi đĩa có bao nhiêu trái cây mỗi loại ?
Giải.
Gọi a là số đĩa
a = ƯCLL( 80, 36, 104 )
80 = 24 . 5
36 = 22 . 32
104 = 23 . 13
a = ƯCLL ( 80, 36, 104 ) = 22 = 4
Vậy số đĩa là 4
Số quả cam mỗi đĩa là 80 : 4 = 40 ( quả)
Số quả quýt mỗi đĩa là 36 : 4 = 9 (quả)
Số quả mận mỗi đĩa là 104 : 4 = 26 (quả)
Bài toán 2: Chia đều 54 bút, 60 thước và 168 tập vào các phần quà. Hỏi có thể chia được nhiều nhất mấy phần quà ? Mỗi phần quà có bao nhiêu bút, thước, tập ?
Giải
Gọi x là phần quà.
Theo đề bài : Chia đều 54 bút, 60 thước và 168 tập vào các phần quà, nên : x ∈ UC(54 ; 60 ; 168)
Mà : x nhiều nhất, nên : x = UCLN(54 ; 60 ; 168).
Phân tích thành các thừa số nguyên tố :
54 = 2. 33
60 = 22.3.5
168 = 23.3.7
UCLN(54 ; 60 ; 168) = 2.3 = 6
Vậy : chia được nhiều nhất 6 phần quà. Mỗi phần gồm :
54 : 6 = 8 bút
60 : 6 = 10 thước
168 : 6 =28 tập
Bài toán 3: a, Tìm tập hợp các ước của 30;
b, Tính tổng các ước thực sự của 30.
Giải
a, Xét tính chia hết của 30 cho các số tự nhiên lần lượt từ 1 đến 30. Ta được tập hợp các ước của 30 là : {1;2;3;5;6;10;15;30}.
b, Do 30 có các ước thực sự là : 1;2;3;5;6;10;15.
Vậy tổng các ước thực sự của 30 là : 1 + 2 + 3 + 5 + 6 +10 + 15 = 42.
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Học sinh của lớp 6A khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4 hoặc hàng 8 đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp 6A từ 38 đến 60 em. Tính số học sinh lớp 6A.
Đ/S: 48 học sinh
Bài 2: Số học sinh của lớp 6A từ 40 đến 50 em. Khi xếp thành hàng 3 hoặc 5 đều dư 2 em. Tính số học sinh lớp 6A.
Đ/S: 47 học sinh
Bài 3: Học sinh khối 6 của một trường có từ 200 đến 300 em. Nếu xếp thành hàng 4, hàng 5 hoặc hàng 7 đều dư 1 em. Tìm số học sinh khối 6 của trường đó.
Đ/S: 281 học sinh.
Bài 4: Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 128 quyển vở, 48 bút chì và 192 tập giấy thành một số phần thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì một. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng, khi đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu bút chì, bao nhiêu tập giấy.
Đ/S: 16 phần. 8 quyển vở, 3 bút chì, 12 tập giấy.
Bài 5: Một lớp 6 có 24 nữ và 20 nam được chia thành tổ để số nam và số nữ được chia đều vào tổ. Hỏi chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ? Khi ấy tính số nam và số nữ mỗi tổ.
Đ/S: 4 tổ. Mỗi tổ có 6 nữ và 5 nam.
Bài 6: Có 60 quyển vở và 42 bút bi được chia thành từng phần. Hỏi có thể chia nhiều nhất được bao nhiêu phần để số vở và số bút bi được chia đều vào mỗi phần? Khi ấy mỗi phần có bao nhiêu vở và bao nhiêu bút bi?
Đ/S: 6 phần. Mỗi phần có 10 vở và 7 bút.
Bài 7: Một hình chữ nhật có chiều dài 105 và chiều rộng 75m được chia thành các hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong các cách chia trên.
Đ/S: 15m
Bài 8: Đội A và đội B cùng phải trồng một số cây bằng nhau. Biết mỗi người đội A phải trồng 8 cây, mỗi người đội B phải trồng 9 cây và số cây mỗi đội phải trồng khoảng từ 100 đến 200 cây. Tìm số cây mà mỗi đôi phải trồng.
Đ/S: 144 cây
Bài 9: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 112m và chiều rộng 40m. Người ta muốn chia mảnh đất thành những ô vuông bằng nhau để trồng các loại rau. Hỏi với cách chia nào thì cạnh ô vuông là lớn nhất và bằng bao nhiêu?
Đ/S: 8m
Bài 10: Có 133 quyển vở, 80 bút bi, 177 tập giấy. Người ta chia vở, bút bi, giấy thành các phần thưởng bằng nhau, mỗi phần thưởng gồm cả ba loại. Nhưng sau khi chia xong còn thừa 13 quyển vở, 8 bút và 2 tập giấy không đủ chia vào các phần thưởng khác. Tính xem có bao nhiêu phần thưởng.
Đ/S: 3 phần thưởng
Bài 11: Một đơn vị bộ đội khi xếp thành mỗi hàng 20 người, 25 người hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp thành hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài). Hỏi đơn vị đó có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000 người.
Đ/S: 615 người.
Bài 12: Số học sinh khối 6 của một trường khoảng từ 300 đến 400 học sinh. Mỗi lần xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều vừa đủ không thừa ai. Hỏi trường đó khối 6 có bao nhiêu học sinh.
Đ/S: 360 học sinh.
