Trung điểm của đoạn thẳng
I . Lí thuyết:
1. Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A , B (MA = MB)
2. Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: MA = MB = AB/2 .
II . Các dạng bài và phương pháp giải bài toán:
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng:
Phương pháp giải: Để tính độ dài đoạn thẳng, ta thường sử dụng các nhận xét sau:
- Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB.
- Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB =\[\frac{AB}{2}\]
Dạng 2: Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng
Phương pháp giải: Để chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta thường làm như sau:
Bước 1: Chứng tỏ M nằm giữa A và B;
Bước 2: Chứng tỏ MA = MB.
III . Bài toán ví dụ :
Bài toán 1: Cho điểm o nằm giữa hai điểm A và B sao cho AO = 1/2 AB .
Chứng tỏ rằng O là trung điểm của AB.
Giải
Điểm O nằm giữa A và B (1) nên :
AO + OB = AB ; OB = AB – OA ;
OB = AB – 1/2AB = 1/2 AB.
Do đó OA = OB (2).
Từ (1) và (2) suy ra O là trung điểm của AB.
Bài toán 2: Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm. Điểm c nằm giữa A và B sao cho
AC = 1/3 AB. Điểm o nằm trên tia CB sao cho CO = 1/2 AC.
Chứng tỏ rằng O là trung điểm của AB.
Giải
.png)
AC = 1/3 .6 = 2(cm); CO = 1.2 .2 = 1 (cm)
Hai tia CA , CO đối nhau nên C nằm giữa A và O do đó :
AO = AC + CO = 2 + 1 = 3(cm).
Trên tia AB có AO < AB (3 < 6) nên O nằm giữa A và B, mặt khác
AO = 1/2 AB nên o là trung điểm của AB .
Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Lấy điểm o nằm giữa A và M.
Hãy chứng tỏ rằng OM = (OB – OA)/2.
Giải
Điểm o nằm giữa A và M nên AO < AM;
M là trung điểm của AB nên AM = MB < AB.
Suy ra AO < AM < AB,
Do đó M nằm giữa o và B, ta có OM = OB – MB (1)
Mặt khác OM = MA – OA (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM + OM = OB – MB + MA – OA hay
2OM = OB – OA, do đó OM= (OB – OA)/2.
Bài toán 4: Cho điểm O nằm giữa A và B. Gọi M và N thứ tự là trung điểm của OA và OB.
Biết AB = a, tính MN.
Giải
M là trung điểm của OA nên M nằm
giữa A và O ; MO = 1/2 AO . N là trung điểm của OB nên N nằm giữa B và O ; ON = 1/2 OB.
Ta lại có O nằm giữa A và B (đề bài) nên O nằm giữa M và N. Suy ra :
MN = MO + ON = (AO+OB)/2 = AB/2 = a/2.
IV . Bài tập tự luyện:
Bài 1: Goi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài hai đoạn thẳng AC và BC, biết AB = 6cm.
Bài 2: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy. Trên tia Ox, lấy điểm M sao cho OM = 4cm. Trên tia Oy, lấy điểm N sao cho ON = 2cm. Gọi A và B lần lượt là trung điểm của OM và ON.
a, Chứng tỏ O nằm giữa hai điểm A và B.
b, Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Bài 3: Cho Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên tia Ox, lấy điểm A sao cho OA = 6cm. Trên tia Oy, lấy điểm B sao cho OB = 3cm. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của OA và OB.
a, Trong ba điểm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
b, Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON và MN.
Bài 4: Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 6cm.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB.
a, Tính độ dài AB;
b, Chứng tỏ A nằm giữa hai điểm O và M.
c, Tính độ dài đoạn MA.
Bài 5: Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho OA = 3cm, OB = 6cm.
a, Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B hay không ? Vì sao ?
b, So sánh OA và AB.
c, Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không ? Vì sao?
Bài 6: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy. Trên tia Ox, lấy điểm A sao cho OA = 3cm. Trên tia Oy, lấy điểm B sao cho AB = 6cm. Điểm O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không ? Vì sao ?
Bài 7: Cho đoạn thẳng AB = 7cm. Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB saoo cho BC = 3cm.
a, Tính độ dài đoạn thẳng AC;
b, Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = 4cm. Chứng tỏ A là trung điểm của đoạn thẳng DC.
Bài 8: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B sao cho \[AC=\frac{1}{3}AB\]. Điểm O nằm trên tia CB sao cho \[CO=\frac{1}{2}AC\] . Chứng tỏ:
a, \[OA=\frac{1}{2}AB\]
b, O là trung điểm của đoạn thẳng BA.
