Chuyên Đề Lớp 6: Ước chung - bội chung, ước chung lớn nhất

Chuyên Đề Lớp 6:

Ước chung - bội chung, ước chung lớn nhất - bội chung nhỏ nhất

I. Tóm tắt lý thuyết:

Ước chung, bội chung, ƯCLN, BCNN:

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Các số nguyên tố cùng nhau là các số có ƯCLN bằng 1
Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.
BCNN của hai hay nhiều số là số lớn nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó
Để tìm BC của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Cách tìm ƯCLN và BCNN:

Ví dụ: Tìm UCLN (18 ; 30)

Ta có:

Bước 1: phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

\[18={{2.3}^{2}}\]

30 = 2.3.5

Bước 2: thừa số nguyên tố chung là 2 và 3
Bước 3: UCLN (18; 30) = 2.3 = 6

Bổ sung thêm:

Tích của hai số tự nhiên khác 0 bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng:

a . b = ƯCLN(a,b). BCNN(a,b)

Nếu tích a.b chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a \[\vdots\] m
Một cách khác tìm ƯCLN của hai số a và b (với a > b): Chia số lớn cho số nhỏ.

Nếu a\[\vdots\] b thì ƯCLN(a,b) = b
Nếu phép chia a cho b có số dư r1, lấy b chia cho r1.
Nếu phép chia b cho r1 có số dư r2, lấy r1 chia cho r2.
Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi số dư bằng 0 thì số chia cuối cùng là ƯCLN phải tìm..

II. Bài tập ví dụ:

Bài 1: Viết các tập hợp:

a) Ư (6), Ư (9), ƯC (6, 9);

b) Ư (7), Ư (8), ƯC (7, 8);

c) ƯC (4, 6, 8).

ĐS:

a) Ư (6) = {1; 2; 3; 6}, Ư (9) = {1, 3, 9}, ƯC (6, 9) = {1; 3}.

b) Ư (7) = {1; 7}, Ư (8) = {1; 2; 4; 8}, ƯC (7, 8) = {1}.

c) ƯC (4, 6, 8) = {1, 2}.

Bài 2: Tìm ƯCLN của:

a) 56 và 140; b) 24, 84, 180;

c) 60 và 180; d) 15 và 19.

Hướng dẫn:

a) Ta có \[56\text{ }=\text{ }{{2}^{3}}\text{ }.\text{ }7;\text{ }140\text{ }=\text{ }{{2}^{2\text{ }}}.\text{ }5\text{ }.\text{ }7\]. Do đó ƯCLN(56,140) \[=~{{2}^{2}}~.\text{ }7\text{ }=\text{ }28\];

b) Ta có \[24\text{ }=\text{ }23\text{ }.\text{ }3;\text{ }84\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}\text{ }.\text{ }3\text{ }.\text{ }7;\text{ }180\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}\text{ }.\text{ }{{3}^{2}}\text{ }.\text{ }5.\]

Vậy ƯCLN(24,84,180) = \[{{2}^{2}}\text{ }.\text{ }3\text{ }=\text{ }12.\]

c) Vì 180⋮60 nên ƯCLN(60,180) = 60;

d) ƯCLN(15,19) = 1.

Bài 3:

Tìm số tự nhiên x, biết rằng 112 ⋮ x, 140 ⋮ x và 10 < x < 20.

Hướng dẫn:

Theo đầu bài, x là một ước chung của 112 và 140.

Vì \[112\text{ }=\text{ }{{2}^{4}}\text{ }.~7;140\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}\text{ }.\text{ }5\text{ }.~7\] nên ƯCLN(112, 140) = \[{{2}^{2}}\text{ }.~7\text{ }=\text{ }28.\]\[{{2}^{2}}\text{ }.~7\text{ }=\text{ }28.\] Mỗi ước chung của 112 và 140 cũng là ước của 28 và ngược lại. Trong số các ước của 28 chỉ có 14 thỏa mãn điều kiện 10 < 14 < 20.

x = 14.

Bài 4:

Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

x ⋮ 12, x ⋮ 21, x ⋮ 28 và 150 < x < 300.

Hướng dẫn:

Theo đầu bài x là một bội chung của 12, 21, 28, thỏa mãn điều kiện 150 < x < 300. Ta có BCNN(12, 21, 28) = 84. Do đó bội chung thỏa mãn điều kiện đã cho là 84 . 2 = 168.

Bài 5:

Tìm BCNN của:

a) 60 và 280; b) 84 và 108; c) 13 và 15.

Hướng dẫn:

a) Ta có \[60\text{ }=\text{ }{{2}^{3}}\text{ }.\text{ }3\text{ }.\text{ }5;\text{ }280\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}\text{ }.\text{ }5\text{ }.7.\]BCNN(60,280) = \[{{2}^{3}}\text{ }.\text{ }3\text{ }.\text{ }5\text{ }.\text{ }7\text{ }=\text{ }840.\]

b) Ta có \[84\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}\text{ }.\text{ }3\text{ }.\text{ }7;\text{ }108\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}\text{ }.\text{ }{{3}^{3}}.\]

BCNN(84,108) = \[{{2}^{2}}\text{ }.\text{ }{{3}^{3\text{ }}}.\text{ }7\text{ }=\text{ }756.\]

c) BCNN(13,15) = 195.

III. Bài tập luyện thêm:

Bài 1: Tìm ƯC; BC của 56; 140 và 84.

Bài 2: Tìm ƯCLN ; BCNN của: 56; 140 và 84.

Bài 3: Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở 2 lớp khác nhau. An cứ 10 ngày lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần. Lần đầu cả 2 người cùng trực nhật vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì 2 bạn lại cùng trực nhật? Lúc đó mỗi bạn đã trực nhật được mấy lần?

Bài 4:

a) Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 420 \[\vdots \] a và 700 \[\vdots \] a

b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a \[\vdots \] 15 và a \[\vdots \] 18

Bài 5: Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ. Muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ được chia đều. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam; bao nhiêu nữ.

Bài 6: Tìm a; b biết rằng a.b = 2400 và BCNN ( a; b) = 120.

Bài 7: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000 người.

Bài 8:

a) Tìm số tự nhiên x biết rằng: 112 \[\vdots \] x; 140 \[\vdots \] x và 1< x < 25.

b) Tìm số tự nhiên x biết rằng: x \[\vdots \] 12; x \[\vdots \] 21; x \[\vdots \] 28 và 150 < x < 305.

Bài 9: Tìm UCLN.

a) ƯCLN (10 ; 28) e) ƯCLN (24 ; 84 ; 180)

b) ƯCLN (24 ; 36) g) ƯCLN (56 ; 140)

c) ƯCLN (16 ; 80 ; 176) h) ƯCLC (12 ; 14 ; 8 ; 20)

d) ƯCLN (6 ; 8 ; 18) k) ƯCLN (7 ; 9 ; 12 ; 21)

Bài 10: Tìm ƯC.

a) ƯC(16 ; 24) e) ƯC(18 ; 77)

b) ƯC(60 ; 90) g) ƯC(18 ; 90)

c) ƯC(24 ; 84) h) ƯC(18 ; 30 ; 42)