Các kỹ thuật giải tích phân hàm ẩn

KỸ THUẬT 1: Tích f’(x) f(x) đối đầu với phần còn lại

Tư tưởng: Các bạn khi đọc đề nếu cảm thấy đề bài có dạng: \[f'(x).G[f(x)]=Q(f(x)).h(x)\] thì chúng ta sẽ đưa nó về kỹ thuật đang xét, cụ thể, sẽ tách thành dạng tích \[\frac{G[(f(x)]f'(x)}{Q[f(x)]}=h(x)\], sau đó lấy nguyên hàm/tích phân 2 vế. Để dễ hình dung, ta lấy ví dụ:

BÌNH LUẬN: Vậy kinh nghiệm khi sử dụng kỹ thuật trên là f’(x) và f(x) phải nằm cùng một bên, f’(x) phải nằm trên tử và chỉ được là bậc 1. Khi đó kỹ thuật 1 sẽ được áp dụng thành công.

KỸ THUẬT 2: CẢM NHẬN DỒN VỀ DẠNG $(uv)'=u'v+uv'$

Kỹ thuật này đòi hỏi sự nhạy bén của các em. Nó giống như khi các em nhìn vào biểu thức (2x), sẽ phải nghĩ ngay (2x) chính là \[({{x}^{2}})'\], hay

\[[f'(x)f(x)]'=f''(x)f(x)+{{[f'(x)]}^{2}}\]

Để đơn giản, ta lấy 1 ví dụ:

Chuyển vế một tí, ta sẽ được:

Câu hỏi được đặt ra, nếu không cảm nhận được thì sao? Câu trả lời sẽ nằm ở kỹ thuật 4 (Dành cho các bạn khá-giỏi)

KỸ THUẬT 3: CẢM NHẬN DỒN VỀ DẠNG $\frac{u}{v}=\frac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}$

Tương tự kỹ thuật 2, ta phải cảm nhận được chẳng hạn như \[\frac{-1}{{{x}^{2}}}=(\frac{1}{x})'\]

Hay \[\frac{f(x)'g(x)-g'(x)f(x)}{{{g}^{2}}(x)}=[\frac{f(x)}{g(x)}]'\]

Đơn giản, ta sẽ lấy 1 ví dụ:

Cũng câu hỏi đặt ra, nếu chúng ta không cảm nhận được thì như thế nào?

KỸ THUẬT 4: ĐẠO HÀM ĐÚNG

Để trả lời câu hỏi cho kỹ thuật 2 và 3, kĩ thuật 4 sẽ đáp ứng được câu trả lời:

Bỏ qua lý thuyết dài dòng, chúng ta sẽ tập trung vào cụ thể phân tích chi tiết một ví dụ:

VÍ DỤ: Cho hàm số \[f(x)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\], thỏa mãn \[f'(x)+xf(x)=2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}\]và \[f(0)=-2\]. Tính \[f(1)\]

Phân tích:

Chúng ta lấy một hàm tổng quát:

\[[g(x).f(x)]'=u(x)=g(x)f'(x)+g'(x)f(x)\]

Khi đó ta có: \[\frac{u(x)}{g(x)}=f'(x)+\frac{g'(x)}{g(x)}f(x)\]

Tới đây ta tiến hành đồng nhất 2 vế gồm:

\[\frac{u(x)}{g(x)}=f'(x)+\frac{g'(x)}{g(x)}f(x)\] và \[f'(x)+xf(x)=2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}\]

Vậy ta được:

\[\frac{g'(x)}{g(x)}=x\](1) và \[\frac{u(x)}{g(x)}=2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}\](2)

Xét (1):

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: \[\int{\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\int{x}}\]\[\Leftrightarrow \ln |g(x)|=\frac{{{x}^{2}}}{2}+C\]

Ở đây ta chọn C=0 để đơn giản bài toán.

Vậy \[g(x)={{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}\]

Thế vào (2), ta có: \[u(x)=g(x).2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}=2({{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}).{{e}^{-{{x}^{2}}}}=2.{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{2}}}\]

Tổng cộng lại ta có : \[u(x)=2.{{e}^{\frac{-{{x}^{2}}}{2}}}\];\[g(x)={{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}\];\[g'(x)=2x{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{2}}}\]

Vậy: \[[g(x).f(x)]'=u(x)=g(x)f'(x)+g'(x)f(x)\] thì ta có thể thế bằng:

\[2.{{e}^{\frac{-{{x}^{2}}}{2}}}\]=[\[{{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}\]].\[f'(x)\]+[\[2x{{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}\]]+\[f(x)\]

Đồng nghĩa: \[f'(x)+xf(x)=2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}\]tương đương \[2.{{e}^{\frac{-{{x}^{2}}}{2}}}\]=[\[f(x)\].\[{{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}\]]’

Bài toán tới đây đã trở nên đơn giản hơn:

Lấy nguyên hàm 2 vế: \[2\int{.{{e}^{\frac{-{{x}^{2}}}{2}}}}=\int{[f(x).{{e}^{\frac{-{{x}^{2}}}{2}}}]'}\]

Vậy:\[{{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}f(x)=-2{{e}^{\frac{-{{x}^{2}}}{2}}}+C\]

Thay \[x=0\to C=0\]\[\to f(x)=-2{{e}^{\frac{-{{x}^{2}}}{2}}}\]\[\to f(1)=\frac{-2}{e}\]

BÀI TẬP:

1/

2/

3/

4/

5/

6/

7/

8/

9/

9/

Đáp án:

1/C     2/B     3/C     4/C     5/B     6/C     7/C     8/D     9/A     10/D

Bài viết gợi ý: