Chuyên đề: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

§1. MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

1. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA

1. Định nghĩa:

Mệnh đề  là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai.

 Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

2. Mệnh đề phủ định:

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” gọi là mệnh đề phủ định của P.

Kí hiệu là \[\overline{P}\]. Nếu P đúng thì \[\overline{P}\] sai, nếu P sai thì \[\overline{P}\] đúng.

3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo:

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.

Kí hiệu là P\[\Rightarrow \]Q. Khi đó mệnh đề Q\[\Rightarrow \] P được gọi là mệnh đề đảo của P\[\Rightarrow \]Q.

4. Mệnh đề tương đương:

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương.

Kí hiệu là P\[\Leftrightarrow \]Q.

Mệnh đề P \[\Leftrightarrow \]Q đúng khi cả hai mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q và Q\[\Rightarrow \] P cùng đúng .

Chú ý: “Tương đương còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như “điều kiện cần và đủ”, “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu”.

5. Mệnh đề chứa biến:

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

Ví dụ: P (n): “n chia hết cho 5” với n là số tự nhiên.

               P (x; y): “2x + y = 5” với x, y là số thực.

6. Các kí hiệu \[\forall ,\exists \] và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu \[\exists ,\forall \].

Kí hiệu \[\forall \]: đọc là với mọi; \[\exists \]: đọc là tồn tại.

Phủ định của mệnh đề “\[\forall x\in X,P(x)\]” là mệnh đề “\[\exists x\in X,\overline{P(x)}\]”

Phủ định của mệnh đề “\[\exists x\in X,P(x)\]” là mệnh đề “\[\forall x\in X,\overline{P(x)}\]”

2. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. Ở đây đẹp quá! Phương trình \[{{x}^{2}}-3x+1=0\] vô ngiệm 16 không là số nguyên tố Hai phương trình \[{{x}^{2}}-4x+3=0\]và \[{{x}^{2}}-\sqrt{x+3}+1=0\] có nghiệm chung. Số \[\pi \]có lớn hơn 3 hay không? Italia vô địch Worldcup 2016 Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Lời giải

Câu (1) và (5) không là mệnh đề (vì là câu cảm thán, câu hỏi)

Câu (3), (4 ), (6), (8) là những mệnh đề đúng

Câu (2) và  (7) là những mệnh đề sai.

Ví dụ 2: Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên n + 8 là số chính phương Chữ số tận cùng của n là 4 n -1 là số chính phương Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai

Lời giải

Ta có số chính phương có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Vì vậy

• Nhận thấy giữa mệnh đề (1) và (2) có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là đúng thì n + 8 có chữ số tận cùng là 2 nên không thể là số chính phương. Vậy trong hai mệnh đề này phải có một mệnh đề là đúng và một mệnh đề là sai.
• Tương tự, nhận thấy giữa hai mệnh đề (2) và (3) cũng có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử mệnh đề này đồng thời là đúng thì n – 1 có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chính phương.

Vậy trong ba mệnh đề trên thì mệnh đề (1) và (3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai.

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.0: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải mệnh đề?

Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

1. Không được đi lối này!
2. Bây giờ là mấy giờ?
3. Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946.
4. 16 chia 3 dư 1.
5. 2003 không là số nguyên tố.
6. \[\sqrt{5}\] là số vô tỉ.
7. Hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất hai điểm chung

Hướng hẫn giải

Câu không phải mệnh đề là a), b).

Câu d), f) là mệnh đề đúng. Câu e) sai. Câu g) đúng.

Bài 1.1: Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và Inđônê xia. Trước khi thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đoán như sau:

Dung: Singapor nhì, còn Thái Lan ba.

Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.

Trung: Singapor nhất và Inđônêxia nhì

Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?

Hướng dẫn giải

Ta xét dự đoán của bạn Dung

+ Nếu Singapor nhì thì Singapor nhất là sai do đó Inđônêxia nhì là đúng (mâu thuẫn)

+ Như vậy Thái Lan thứ ba là đúng suy ra Việt Nam nhì, Singapor nhất và Inđônêxia thứ  tư.

DẠNG TOÁN 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MỆNH ĐỀ

Các phép toán mệnh đề được sử dụng nhằm mục đích kết nối các mệnh lại với nhau tạo ra một mệnh đề mới. Một số các mệnh đề toán là: Mệnh đề phủ định (phép phủ định), mệnh đề kéo theo (phép kéo theo), mệnh đề ảo, mệnh đề tương đương (phép tương đương).

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai? P: “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau” Q: “6 là số nguyên tố” R: “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại” S: “5 > -3” K: “Phương trình \[{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2=0\] có nghiệm” H: “\[{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{12} \right)}^{2}}=3\]”

Lời giải

Ta có các mệnh đề phủ định là

\[\overline{P}\]: “Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc với nhau”, mệnh đề này sai

\[\overline{Q}\]: “6 không phải là số nguyên tố”, mệnh đề này đúng.

\[\overline{R}\]: “Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại”, mệnh đề này sai

\[\overline{S}\]: “5 ≤ -3”, mệnh đề này sai

\[\overline{K}\]: “Phương trình \[{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2=0\] vô nghiệm”, mệnh đề này đúng vì \[{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2={{({{x}^{2}}-1)}^{2}}+1\ge 0\]

\[\overline{H}\]: “\[{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{12} \right)}^{2}}=3\]”, mệnh đề này sai

Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó. P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD , AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường” P: “2 > 9” và Q: “4 < 3” P: “Tam giác ABC vuông cân tại A” và Q: “Tam giác ABC có \[\hat{A}=2\hat{B}\]” P: “Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam” và Q: “Ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ”

Lời giải

1. Mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q là “Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”, mệnh đề này đúng.

Mệnh đề đảo là Q\[\Rightarrow \]P “Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì ABCD là hình thoi”, mệnh đề này sai.

2. Mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q là “Nếu 2 > 9 thì 4 < 3”, mệnh đề này đúng thì mệnh đề P sai.

Mệnh đề đảo là Q\[\Rightarrow \]P “Nếu 4 < 3 thì 2 < 9”, mệnh đề này đúng thì mệnh đề Q sai.

3. Mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q là “Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì \[\hat{A}=2\hat{B}\]”, mệnh đề này đúng.

Mệnh đề đảo là Q\[\Rightarrow \]P “Nếu tam giác ABC có  \[\hat{A}=2\hat{B}\] thì nó vuông cân tại A”, mệnh đề này sai.

4. Mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q  là  “Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì Ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ”

Mệnh đề đảo là Q\[\Rightarrow \]P “Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì  ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam”

Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề P, Q đều đúng.

Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề P \[\Leftrightarrow \]Q bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”. P: “Bất phương trình \[\sqrt{{{x}^{2}}-3x}>1\]” có nghiệm và Q: “\[\sqrt{{{(-1)}^{2}}-3.(-1)}>1\]”

Lời giải

1. Ta có mệnh đề P \[\Leftrightarrow \]Q đúng vì mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q, Q\[\Rightarrow \]P đều đúng và được phát biểu theo hai cách như sau:

“Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau” và

“Tứ giác ABCD là hình thoi nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

2. Ta có mệnh đề P \[\Leftrightarrow \]Q đúng vì mệnh đề P, Q đều đúng (do đó mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q, Q\[\Rightarrow \]P đều đúng) và được phát biểu theo hai cách như sau:

“Bất phương trình \[\sqrt{{{x}^{2}}-3x}>1\] có nghiệm khi và chỉ khi \[\sqrt{{{(-1)}^{2}}-3.(-1)}>1\]”

Và “Bất phương trình \[\sqrt{{{x}^{2}}-3x}>1\] có nghiệm nếu và chỉ nếu \[\sqrt{{{(-1)}^{2}}-3.(-1)}>1\]”.

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai:

P: “Trong tam giác tống ba góc bằng 180⁰”

Q: “\[{{(\sqrt{3}-\sqrt{27})}^{2}}\]là số nguyên”

R: “Việt Nam vô địch Worldcup năm 2020”

S: “\[-\frac{\sqrt{5}}{2}>-2\]”

K: “Bất phương trình x²⁰¹³ > 2030 vô nghiệm”

Hướng dẫn giải

Ta có các mệnh đề phủ định là:

 

 

\[\overline{P}\]: “Trong tam giác tống ba góc không bằng 180⁰”, mệnh đề này sai.

\[\overline{Q}\]: “\[{{(\sqrt{3}-\sqrt{27})}^{2}}\]không phải là số nguyên”, mệnh đề này sai.

\[\overline{R}\]: “Việt Nam không vô địch Worldcup năm 2020”, mệnh đề này không xác định được đúng hay sai.

\[\overline{S}\]: “\[-\frac{\sqrt{5}}{2}\le -2\]”, mệnh đề này đúng

\[\overline{K}\]: “Bất phương trình x²⁰¹³ > 2030 có nghiệm”, mệnh đề này đúng.

Bài 1.3: Phát biểu mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó

1. P: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” và Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau”.
2. P: “\[-\sqrt{3}>-\sqrt{2}\]” và Q: “\[{{(-\sqrt{3})}^{3}}>{{(-\sqrt{2})}^{3}}\]”
3. P: “Hai tam giác ABC có \[\hat{A}=\hat{B}+\hat{C}\]” và Q: “Tam giác ABC có BC² = AB² + AC²”
4. P: “Tố Hữu là nhà Toán học lớn nhất của Việt Nam” và Q: “Évariste và Galois là nhà Thơ lỗi lạc của thế giới”.

Hưỡng dẫn giải

1. P\[\Rightarrow \]Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau”, mệnh đề này sai

Q\[\Rightarrow \]P: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”, mệnh đề này sai

2. P\[\Rightarrow \]Q: “Nếu \[-\sqrt{3}>-\sqrt{2}\]thì \[{{(-\sqrt{3})}^{3}}>{{(-\sqrt{2})}^{3}}\]”, mệnh đề này đúng

Q\[\Rightarrow \]P: “Nếu \[{{(-\sqrt{3})}^{3}}>{{(-\sqrt{2})}^{3}}\]thì \[-\sqrt{3}>-\sqrt{2}\]”, mệnh đề này sai

3. P\[\Rightarrow \]Q: “Nếu hai tam giác ABC có \[\hat{A}=\hat{B}+\hat{C}\]thì tam giác ABC có BC² = AB² + AC²”

Q\[\Rightarrow \]P: “Nếu tam giác ABC có BC² = AB² + AC² thì hai tam giác ABC có \[\hat{A}=\hat{B}+\hat{C}\]”

Hai mệnh đề trên đều đúng.

4. P\[\Rightarrow \]Q: “Nếu Tố Hữu là nhà Toán học lớn nhất của Việt Nam thì Évariste và Galois là nhà Thơ lỗi lạc của thế giới”, Q\[\Rightarrow \]P: “Nếu Évariste và Galois là nhà Thơ lỗi lạc của thế giới thì Tố Hữu là nhà Toán học lớn nhất của Việt Nam”. Hai mệnh đề đúng.

Bài 1.4: Phát biểu mệnh đề P \[\Leftrightarrow \]Q bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó

1. Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”

2. P: “Bất phương trình \[{{x}^{2}}-3x+1>0\] có nghiệm” và Q: “Bất phương trình \[{{x}^{2}}-3x+1\le 0\] vô nghiệm”

Hướng dẫn giải

1. Ta có mệnh đề P \[\Leftrightarrow \]Q đúng vì mệnh đề P\[\Rightarrow \]Q, Q\[\Rightarrow \]P đều đúng và được phát biểu bằng hai cách như sau:

“Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” và

“Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau

2. Ta có mệnh đề P \[\Leftrightarrow \]Q sai vì mệnh đề P đúng còn Q sai.

Phát biểu mệnh đề P \[\Leftrightarrow \]Q bằng hai cách

“Bất phương trình \[{{x}^{2}}-3x+1>0\] có nghiệm khi và chỉ khi Bất phương trình \[{{x}^{2}}-3x+1\le 0\] vô nghiệm” và “Bất phương trình \[{{x}^{2}}-3x+1\le 0\] vô nghiệm nếu và chỉ nếu Bất phương trình \[{{x}^{2}}-3x+1>0\] có nghiệm”.

Bài 1.5: Cho hai mệnh đề:

A: “Nếu ΔABC đều có cạnh bằng a, đường cao là h thì \[h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]”;

B: “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông”;

C: “15 là số nguyên tố”

D: “\[\sqrt{125}\]là một số nguyên”.

1. Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai:

A\[\Rightarrow \]B, A\[\Rightarrow \]D, B\[\Rightarrow \]C.

2. Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai:

A\[\Leftrightarrow \]B, B\[\Leftrightarrow \]C, B\[\Leftrightarrow \]D.

Hướng dẫn giải

Ta có A và D là các mệnh đề đúng, B và C là các mệnh đề sai. Do đó:

1. Mệnh đề A\[\Rightarrow \]B sai vì A đúng, B sai.

Mệnh đề A\[\Rightarrow \]D đúng vì A và D đều đúng.

Mệnh đề B\[\Rightarrow \]C đúng vì B sai.

2. Mệnh đề A\[\Leftrightarrow \]B sai vì mệnh đề A\[\Rightarrow \]B sai (Hoặc A đúng và B sai), Mệnh đề B\[\Leftrightarrow \]C đúng vì hai mệnh đề B và C đều sai.

Mệnh đề A\[\Leftrightarrow \]D đúng vì hai mệnh đề A và D đều đúng.

Bài 1.6: Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P \[\Rightarrow \]Q, \[\overline{Q}\]\[\Rightarrow \]P và xét tính đúng sai của mệnh đề này.

1. Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề:

P: “Tổng 2 góc đối diện của tứ giác lồi bằng 180⁰” và Q: “Tứ giác nội tiếp được đường tròn”.

2. P: “\[\sqrt{2}-\sqrt{3}>-1\]” và Q: “\[{{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}^{2}}>{{(-1)}^{2}}\]”

Hưỡng dẫn giải

1. P \[\Rightarrow \]Q: “Nếu tổng 2 góc đối diện của tứ giác lồi bằng 180⁰ thì tứ giác nội tiếp được đường tròn”.

\[\overline{Q}\]\[\Rightarrow \]P: “Nếu tứ giác không nội tiếp đường tròn thì tổng 2 góc đối diện của tứ giác lồi bằng 180⁰”

Mệnh đề P \[\Rightarrow \]Q đúng, mệnh đề \[\overline{Q}\]\[\Rightarrow \]P sai.

2. P \[\Rightarrow \]Q: “Nếu \[\sqrt{2}-\sqrt{3}>-1\]thì \[{{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}^{2}}>{{(-1)}^{2}}\]”

\[\overline{Q}\]\[\Rightarrow \]P: “Nếu \[{{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}^{2}}\le {{(-1)}^{2}}\]thì \[\sqrt{2}-\sqrt{3}>-1\]”

Mệnh đề P \[\Rightarrow \]Q sai vì P đúng, Q sai, mệnh đề \[\overline{Q}\]\[\Rightarrow \]P đúng vì P và Q đều đúng.

DẠNG TOÁN 3: MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU  \[\forall ,\exists \]

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho mệnh đề chứa biến “P (x): x > x3” xét tính đúng  sai của các mệnh đề sau: P (1)                                      c) \[\forall x\in \mathbb{N},P(x)\] P (\[\frac{1}{3}\])                                     d) \[\exists x\in \mathbb{N},P(x)\]

Lời giải

1. Ta có P (1): 1 > 1³ đây là mệnh đề sai
2. Ta có P \[{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}\]:\[\frac{1}{3}\]> \[{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}\]đây là mệnh đề đúng
3. Ta có \[\forall x\in \mathbb{N},x>{{x}^{3}}\]đây là mệnh đề sai vì P(1) sai
4. Ta có \[\exists x\in \mathbb{N},x>{{x}^{3}}\]là mệnh đề đúng vì x - x³ = x(1 – x)(1+ x) ≤ 0 với mọi số tự nhiên

Ví dụ 2: Dùng các kí hiệu để viết các câu sau và viết mệnh đề phủ định của nó. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 Với mọi số thực bình phương của một số là một số không âm Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó. Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.

Lời giải

1. Ta có P: \[\forall n\in \mathbb{N}\], n(n +1)(n + 2) \[\vdots \]6, mệnh đề phủ định là

\[\overline{P}\]: \[\exists n\in \mathbb{N}\], n(n +1)(n + 2)\[\]6.

2. Ta có Q: \[\forall x\in \mathbb{R},{{x}^{2}}\ge 0\], mệnh đề phủ định là \[\overline{Q}\]: \[\exists x\in \mathbb{R},{{x}^{2}}<0\]
3. Ta có R: \[\exists n\in \mathbb{Z},{{n}^{2}}=n\], mệnh đề phủ định là \[\overline{R}:\forall n\in \mathbb{Z},{{n}^{2}}\ne n\]
4. \[\exists q\in \mathbb{Q},\frac{1}{q}>q\]mệnh đề phủ định là \[\forall q\in \mathbb{Q},\frac{1}{q}\le q\].

Ví dụ 3: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm phủ định của nó: A: “\[\forall x\in \mathbb{R},{{x}^{2}}\ge 0\]” B: “Tồn tại số tự nhiên đều là số nguyên tố” C: “\[\exists x\in \mathbb{N},\]x chia hết cho x + 1” D: “\[\forall n\in \mathbb{N},{{n}^{4}}-{{n}^{2}}+1\] là hợp số” E: “Tồn tại hình thang là hình vuông” F: “Tồn tại số thực a sao cho \[a+1+\frac{1}{a+1}\le 2\]”

Lời giải

1. Mệnh đề A đúng và \[\overline{A}\]: \[\exists x\in \mathbb{R},{{x}^{2}}<0\]
2. Mệnh đề B đúng và \[\overline{B}\]: “Với mọi số tự nhiên đều không phải là số nguyên tố”
3. Mệnh đề C sai và \[\overline{C}\]: “\[\forall x\in \mathbb{N},x(x+1)\]”
4. Mệnh đề D sai vì với n = 2 ta có \[{{n}^{4}}-{{n}^{2}}+1=13\]không phải là hợp số

Mệnh đề phủ định là \[\overline{D}\]:”\[\exists n\in \mathbb{N},{{n}^{4}}-{{n}^{2}}+1\]là số nguyên tố”

5. Mệnh đề E đúng và \[\overline{E}\]: “Với mọi hình thang đều không là hình vuông”
6. Mệnh đề F đúng và mệnh đề phủ định \[\overline{F}\]: “Với mọi số thực a thì\[a+1+\frac{1}{a+1}>2\]”

 

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.7: Xét tính đúng (sai) mệnh đề và phủ định các mệnh đề sau:

1. \[\forall x\in \mathbb{R},{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1>0\]
2. \[\forall x\in \mathbb{R},{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1=({{x}^{2}}+\sqrt{3}x+1)({{x}^{2}}-\sqrt{3}x+1)\]
3. \[\exists x\in \mathbb{N},{{n}^{2}}+3\]chia hết cho 4
4. \[\exists q\in \mathbb{Q},2{{q}^{2}}-1=0\]
5. \[\exists n\in \mathbb{N},n(n+1)\] là một số chính phương

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề \[\forall x\in \mathbb{R},{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1>0\] sai, chẳng hạn khi x = -1 ta có

(-1)³ – (-1)² + 1 = -1 < 0

                  Mệnh đề phủ định là \[\exists x\in \mathbb{R},{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1\le 0\]

              b) Mệnh đề \[\forall x\in \mathbb{R},{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1=({{x}^{2}}+\sqrt{3}x+1)({{x}^{2}}-\sqrt{3}x+1)\] đúng vì

      \[{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1={{({{x}^{2}}+1)}^{2}}-3{{x}^{2}}=({{x}^{2}}+\sqrt{3}x+1)({{x}^{2}}-\sqrt{3}x+1)\]

      Mệnh đề phủ định là \[\exists x\in \mathbb{R},{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1\ne ({{x}^{2}}+\sqrt{3}x+1)({{x}^{2}}-\sqrt{3}x+1)\]

   c) Mệnh đề \[\exists x\in \mathbb{N},{{n}^{2}}+3\]chia hết cho 4 đúng vì n =1\[\in \mathbb{N}\]và n² + 3 = 4\[\vdots \] 4

      Mệnh đề phủ định là “\[\forall x\in \mathbb{N},{{n}^{2}}+3\]không chia hết cho 4”

               d)  Mệnh đề \[\exists q\in \mathbb{Q},2{{q}^{2}}-1=0\]sai. Mệnh đề phủ định là \[\forall q\in \mathbb{Q},2{{q}^{2}}-1\ne 0\]

               e) Mệnh đề “\[\exists n\in \mathbb{N},n(n+1)\] là một số chính phương” đúng. Mệnh đề phủ định là       “\[\forall n\in \mathbb{N},n(n+1)\]không là một số chính phương”.

Bài 1.8:              

1. Với n\[\in \mathbb{N}\], cho mệnh đề chứa biến P(n): “n²  + 2 chia hết cho 4”. Xét tính đúng sai của mệnh đề P(2007).
2. Xét tính đúng sai của mệnh đề P(n) : “\[\exists n\in {{\mathbb{N}}^{*}},\frac{1}{2}n(n+1)\]chia hết cho 11”.

Hướng dẫn giải

1. Ta có: Với n = 2007  thì n²  + 2 = 2007² + 2 là số lẻ nên không chia hết cho 4

Vậy P(2007) là mệnh đề sai.

2. Xét biểu thức \[\frac{n(n+1)}{2}\]với n \[\in {{\mathbb{N}}^{*}}\], ta có

Với n = 10 thì \[\frac{n(n+1)}{2}\]= 55: chia hết cho 11. Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.

Bài 1.9:

1. Cho mệnh đề P: “Với mọi số thực x, nếu x là số hữu tỉ thì 2x là số hữu tỉ”.

Dùng kí hiệu P, \[\overline{P}\]và xác định tính đúng –sai của nó.

2. Phát biểu MĐ đảo của P và chứng tỏ MĐ đó là đúng. Phát biểu mệnh đề dưới dạng tưng đương.

Hướng dẫn giải

1. Mệnh đề P: “\[\forall x\in \mathbb{R},x\in \mathbb{Q}\Rightarrow 2x\in \mathbb{Q}\]”. MĐ đúng

\[\overline{P}\]: “\[\exists x\in \mathbb{R},x\in \mathbb{Q}\Rightarrow 2x\notin \mathbb{Q}\]”. MĐ sai

2. MĐ đảo của P là “Với mọi số thực x, x\[\in \]Q khi và chỉ khi 2x\[\in \]Q”. Hay “\[\forall x\in \mathbb{R},x\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow 2x\in \mathbb{Q}\]”

Bài 1.10: Cho số tự nhiên n, xét hai mệnh đề chưa biến:

A(n): “n là số chẵn”        B(n): “n² là số chẵn”

1. Hãy phát biểu mệnh đề \[A(n)\Rightarrow B(n)\] . Cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
2. Hãy phát biểu mệnh đề “\[\forall n\in \mathbb{N},B(n)\Rightarrow A(n)\]”.
3. Hãy phát biểu mệnh đề “\[\forall n\in \mathbb{N},A(n)\Leftrightarrow B(n)\]”.

Hướng dẫn giải

1. \[A(n)\Rightarrow B(n)\]: “Nếu n là số chẵn thì n² là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng vì khi đó \[n=2k(k\in \mathbb{N})\Rightarrow {{n}^{2}}=4{{k}^{2}}\] là số chẵn.
2. “\[\forall n\in \mathbb{N},B(n)\Rightarrow A(n)\]”: Với mọi số tự nhiên n, nếu n² là số chẵn thì n là số chẵn.
3. “\[\forall n\in \mathbb{N},A(n)\Leftrightarrow B(n)\]”: Với mọi số tự nhiên n, n là số chẵn khi và chỉ khi n² là số chẵn.

Bài 1.11:  Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

1. P: “\[\forall x\in \mathbb{R},\forall y\in \mathbb{R}:x+y=1\]”     c) R: “\[\exists x\in \mathbb{R},\forall y\in \mathbb{R}:x+y=3\]”
2. Q: “\[\exists x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R}:x+y=2\]”     d) S: “\[\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R}:x+y=4\]”

Hướng dẫn giải

1. Mệnh đề P sai vì chẳng hạn \[x=1\in \mathbb{R},y=2\in \mathbb{R}\] nhưng \[x+y\ne 1\]
2. Mệnh đề Q đúng vì x = y = 1\[\Rightarrow \]x + y =2
3. Vì x + y =3 nên với mọi y \[\in \mathbb{R}\] thì luôn tồn tại x = 3 – y do đó mệnh đề R đúng.
4. Mệnh đề S đúng.

Bài viết gợi ý: