Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

A. Lý thuyết

I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn \[x,\,y\] có dạng tổng quát là

\[ax+by=c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

trong đó \[a,\,\,b,\,\,c\] là các hệ số, với điều kiện \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0.\]

CHÚ Ý

a) Khi \[a=b=0\] ta có phương trình \[0x+0y=c.\] Nếu \[c\ne 0\] thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu \[c=0\] thì mọi cặp số \[\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\] đều là nghiệm.

b) Khi \[b\ne 0,\] phương trình \[ax+by=c\] trở thành

\[y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Cặp số \[\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\] là một nghiệm của phương trình \[\left( 1 \right)\] khi và chỉ khi điểm \[M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\] thuộc đường thẳng \[\left( 2 \right).\]

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình \[\left( 1 \right)\] là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy.\]

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó \[x,\,\,y\] là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số \[\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\] đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì \[\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\] được gọi là một nghiệm của hệ phương trình \[\left( 3 \right).\]

Giải hệ phương trình \[\left( 3 \right)\] là tìm tập nghiệm của nó.

II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

\[ax+by+cz=d,\]

trong đó \[x,\,\,y,\,\,z\] là ba ẩn; \[a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\] là các hệ số và \[a,\,\,b,\,\,c\] không đồng thời bằng \[0.\]

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó \[x,\,\,y,\,\,z\] là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số \[\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\] nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình \[\left( 4 \right).\]

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Có ba lớp học sinh $10A,\text{ }10B,\text{ }10C$ gồm $128$ em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp $10A$ trồng được $3$ cây bạch đàn và $4$ cây bàng. Mỗi em lớp $10B$ trồng được $2$ cây bạch đàn và $5$ cây bàng. Mỗi em lớp $10C$ trồng được $6$ cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là $476$ cây bạch đàn và $375$ cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?

A. $10A$ có $40$ em, lớp $10B$ có $43$ em, lớp $10C$ có $45$ em.

B. $10A$ có $45$ em, lớp $10B$ có $43$ em, lớp $10C$ có $40$ em.

C. $10A$ có $45$ em, lớp $10B$ có $40$ em, lớp $10C$ có $43$ em.

D. $10A$ có $43$ em, lớp $10B$ có $40$ em, lớp $10C$ có $45$ em.

Giải:

Gọi số học sinh của lớp $10A,\text{ }10B,\text{ }10C$ lần lượt là $x,\text{ }y,\text{ }z.$

Điều kiện: $x,\text{ }y,\text{ }z$ nguyên dương.

Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình:

Giải hệ ta được $x=40,y=43,\text{ }z=45.$

Chọn A

Câu 2: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình có duy nhất một nghiệm.

A. $m=\frac{10}{3}.$ B. $m=10.$ C. $m=-10.$ D. $m=-\frac{10}{3}.$

Giải:

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra

Hệ phương trình

có nghiệm duy nhất khi $\left( 1;-2 \right)$ là nghiệm của phương trình $2mx+5y-m=0$ tức là $2m.1+5.\left( -2 \right)-m=0\Leftrightarrow m=10.$

Chọn B

Câu 3: Một đoàn xe tải chở $290$ tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có $57$ chiếc gồm ba loại, xe chở $3$ tấn, xe chở $5$ tấn và xe chở $7,5$ tấn. Nếu dùng tất cả xe $7,5$ tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe $5$ tấn chở ba chuyến và xe $3$ tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ?

A. $18$ xe chở $3$ tấn, $19$ xe chở $5$ tấn và $20$ xe chở $7,5$ tấn.

B. $20$ xe chở $3$ tấn, $19$ xe chở $5$ tấn và $18$ xe chở $7,5$ tấn.

C. $19$ xe chở $3$ tấn, $20$ xe chở $5$ tấn và $18$ xe chở $7,5$ tấn.

D. $20$ xe chở $3$ tấn, $18$ xe chở $5$ tấn và $19$ xe chở $7,5$ tấn.

Giải:

Gọi $x$ là số xe tải chở $3$ tấn, $y$ là số xe tải chở $5$ tấn và $z$ là số xe tải chở $7,5$ tấn.

Điều kiện: $x,\text{ }y,\text{ }z$ nguyên dương.

Theo giả thiết của bài toán ta có

Giải hệ ta được $x=20,\text{ }y=19,\text{ }z=18.$

Chọn B

Câu 4: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình vô nghiệm.

A. $m=-1.$ B. $m=0.$ C. $m=1.$ D. $m=1.$

Giải:

Từ hệ phương trình đã cho suy ra $z=1-my.$ Thay vào hai phương trình còn lại, ta được

Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi

Cách 2. Thử trực tiếp

Thay $m=-1$ vào hệ phương trình ta được hệ phương trình

Chọn A

Câu 5: Gọi $\left( {{x}_{0}};{{y}_{o}};{{z}_{0}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình . Tính giá trị của biểu thức $P={{x}_{0}}{{y}_{0}}{{z}_{0}}.$

A. $P=-40.$ B. $P=40.$ C. $P=1200.$ D. $P=-1200.$

Giải:

Ta có:

Phương trình $\left( 3 \right)\,\Leftrightarrow \,z=24-3x-2y$. Thay vào $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\left( x;y;z \right)=\left( 4;5;2 \right)\xrightarrow{{}}P=4.5.2=40.\]

Chọn B

Câu 6: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình có duy nhất một nghiệm.

A. $m=\frac{10}{3}.$ B. $m=10.$ C. $m=-10.$ D. $m=-\frac{10}{3}.$

Giải:

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $\left( 1;-2 \right)$ là nghiệm của phương trình $2mx+5y-m=0$ tức là $2m.1+5.\left( -2 \right)-m=0\Leftrightarrow m=10.$

Chọn B

C. Bài tập rèn luyện

Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình là:

A. $\left( x;y;z \right)=\left( 5;3;3 \right).$ B. $\left( x;y;z \right)=\left( 4;5;2 \right).$

C. $\left( x;y;z \right)=\left( 2;4;5 \right).$ D. $\left( x;y;z \right)=\left( 3;5;3 \right).$

Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình là:

Câu 3. Bộ $\left( x;y;z \right)=\left( 2;-1;1 \right)$ là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

Câu 4. Bộ $\left( x;y;z \right)=\left( 1;0;1 \right)$ là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

Câu 5. Gọi $\left( {{x}_{0}};{{y}_{o}};{{z}_{0}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình

Tính giá trị của biểu thức $P=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}.$

A. $P=1.$ B. $P=2.$ C. $P=3.$ D. $P=14.$

Câu 6. Gọi $\left( {{x}_{0}};{{y}_{o}};{{z}_{0}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình

Tính giá trị của biểu thức $P={{x}_{0}}{{y}_{0}}{{z}_{0}}.$

A. $P=-40.$ B. $P=40.$ C. $P=1200.$ D. $P=-1200.$

Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình

có duy nhất một nghiệm.

A. $m=\frac{10}{3}.$ B. $m=10.$ C. $m=-10.$ D. $m=-\frac{10}{3}.$

Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình

vô nghiệm.

A. $m=-1.$ B. $m=0.$ C. $m=1.$ D. $m=1.$

Câu 9. Một đoàn xe tải chở $290$ tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có $57$ chiếc gồm ba loại, xe chở $3$ tấn, xe chở $5$ tấn và xe chở $7,5$ tấn. Nếu dùng tất cả xe $7,5$ tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe $5$ tấn chở ba chuyến và xe $3$ tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ?

A. $18$ xe chở $3$ tấn, $19$ xe chở $5$ tấn và $20$ xe chở $7,5$ tấn.

B. $20$ xe chở $3$ tấn, $19$ xe chở $5$ tấn và $18$ xe chở $7,5$ tấn.

C. $19$ xe chở $3$ tấn, $20$ xe chở $5$ tấn và $18$ xe chở $7,5$ tấn.

D. $20$ xe chở $3$ tấn, $18$ xe chở $5$ tấn và $19$ xe chở $7,5$ tấn.

Câu 10. Có ba lớp học sinh $10A,\text{ }10B,\text{ }10C$ gồm $128$ em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp $10A$ trồng được $3$ cây bạch đàn và $4$ cây bàng. Mỗi em lớp $10B$ trồng được $2$ cây bạch đàn và $5$ cây bàng. Mỗi em lớp $10C$ trồng được $6$ cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là $476$ cây bạch đàn và $375$ cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?

A. $10A$ có $40$ em, lớp $10B$ có $43$ em, lớp $10C$ có $45$ em.

B. $10A$ có $45$ em, lớp $10B$ có $43$ em, lớp $10C$ có $40$ em.

C. $10A$ có $45$ em, lớp $10B$ có $40$ em, lớp $10C$ có $43$ em.

D. $10A$ có $43$ em, lớp $10B$ có $40$ em, lớp $10C$ có $45$ em.

Đáp án bài tập tự luyện