Chuyên đề ứng dụng phương pháp tọa độ trong những bài toán về hình không gian

I.Lý thuyết:

+ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một nên nếu hình vẽ bài toán cho có chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đó làm trục tọa độ.
+ Bước 2: Suy ra tọa độ của các đỉnh, điểm trên hệ trục tọa độ vừa ghép.
+ Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ không gian để giải quyết bài toán. Đối với các công thức tính về vector, ta có thể sử dụng máy tính Casio để tăng tốc độ tính toán.

*Cách đặt hệ trục:

a) Đặt hệ trục đối với hình hộp chữ nhật: Chọn gốc tọa độ là một đỉnh của hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật. chọn các tia Ox,Oy,Oz là ba cạnh của hình xuất phát từ đỉnh đó.

b) Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp đều:

c) Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vuông:

d) Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình vuông, hình chữ nhật :

e) Đặt hệ trục với hình chóp tam giác đều:

f) Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông:

Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, đáy có yếu tố vuông góc tại đỉnh mà cạnh bên đó vuông góc. Ví dụ: hình thang vuông, tam giác vuông,…

II. Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc bằng 45o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Khi đó ta có:

A(0,0,0)
AB = a => B(a,0,0)
AD = a => D(0,a,0)
AS = 2a => S(0,0,2a)
CD = CB = a => C(a,a,0)

Ta có: = (a,a, ), =(a, -a, -a) suy ra mặt phẳng (SCD) có cặp vecto chỉ phương =(1, 1, ), =(0, , -1).

Vecto pháp tuyến của (SCD) là = và = (0, -, -1)

Phương trình mặt phẳng (SCD): -y – z + a

Khoảng cách từ B đến (SCD): d(B,(SCD)):

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AC = 2a, Hình chiếu vuông góc của H từ đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm cạnh AC và SH = Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

B(0, 0, 0)
AB = a => A(a, 0, 0)
BC = => C = (0, 3, 0)

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ HI vuông góc AB, HK vuông góc BC. Ta có: HI = BC/2 = a, HK = = a. Do đó: H(a, ,0)

Do H là hình chiếu của S xuống (ABC) và SH = => S(a, ,

Ta có: (a, a, và = (0, , suy ra mặt phẳng (SAB) có cặp vecto chỉ phương là , = ).

Vecto pháp tuyến của (SAB): và =(0,2 , ).

Phương trình mặt phẳng (SAB): 2y+ 32z = 0.

Khoảng cách từ C đến (SAB):

d(C,(SAB))=

Bài 3: Cho lăng trụ ABC .A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A 0C và mặt đáy bằng 60◦ . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Khi đó ta có:

• H (0, 0, 0)

• H A = H B = ⇒ B = ( , 0, 0) , A( , 0, 0)

• A’H = , A’ (0, 0,

• HC = ⇒ C (0,

Ta có: = ), suy ra mặt phẳng ACC’A’ có cặp vecto chỉ phương lần lượt là ( 1, 0, 3) và

Vecto pháp tuyến của ACC’A: = (

Phương trình mặt phẳng của ACC’A’: -3x + + z - = 0

Khoảng cách từ B đến (ACC’A’):

d(B,(ACC’A’)) = a

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC ó độ dài cạnh đáy là a. Gọi M,N là trung điểm của SB,SC. Tính theo A diện tích tam giác AMN.

Giải:

Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC). Suy ra O là trọng tâm tam giác ABC. Gọi I là trung điểm BC, ta có:

AI = BC =

OA = OI =

Trong mp (ABC), vex tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, Chọn hệ trục như hình vẽ ta được:

O(0, 0, 0)
S(0, 0, h )
A(, 0, 0)

I( -, 0, 0), B(
C(-, -, 0), M(-, ,

Và N(-, ,

) , n(SBC) = = )

(AMN) vuông góc (SBC) => => | =

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD,A’B’C’D’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mp (A’BD).

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình, chọn đơn vị cạnh a:

A(0, 0, 0), B(a, 0, 0) D(0, a, 0) A’(0, 0, a)
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (A’BD): x + y + z = a hay x + y + z – a = 0
Pháp tuyến của mặt phẳng (A’BC) : n(A'BC) = (1;1;1) và A’C = (1;1;1)

Vậy A’C vuông góc với (A’BC).

III. Bài tập tự luyện:

Bài toán về hình chóp tam giác:

Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính góc giữa (OMN) và (OAB).
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A. SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2, (ABC),(SBC) = 60o.

a.Tính độ dài SA.

b.Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Tính diện tích tam giác MAB theo a.

Bài toán về hình chóp tứ giác:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hinh vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. Tính diện tích tam giác SBE.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a3. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M,N là trung điểm SA, SD.