MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ

MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ

A. LÝ THUYẾT

I. MẶT TRỤ TRÒN XOAY

Khái niệm:

Cho hai đường thằng l và ∆ sao cho l song song với ∆ và ∆//l. Khi ta quay l quanh trục ∆ 1 góc 360° thì l tạo thành một mặt trụ tròn xoay (T).

Trong đó:

- ∆ là trụ của mặt trụ (T)

- l là đường sinh của mặt trụ (T)

- r là bán kính của mặt trụ (T)

II. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY

1. Định nghĩa hình trụ

Cắt mặt trục (T) trục ∆, bán kính r bởi hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng vuông góc với ∆, ta được giao tuyến là hai đường tròn (C) và (C’).

Trong đó:

- Phần mặt trụ (T) nằm giữa (P) và (P’) cùng với hai hình tròn xác định bởi (C) và (C’) gọi là hình trụ

- Hai đường tròn (C) và (C’) gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ

- OO’ là trụ của hình trụ

- Độ dài OO’ gọi là chiều cao của hình trụ

- Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ

- Với mỗi điểm $M\in \left( C \right)$, có 1 điểm $M'\in \left( C' \right)$ sao cho $MM'\parallel \text{OO}'$. Các đoạn thẳng như MM’ gọi là đường sinh của hình trụ

2. Nhận xét

(1) Các đường sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ

(2)Các thiết diện qua trụ của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau

(3)Thiết diện vuông góc với trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy

(4)Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M’ lên một mặt phẳng (α) và M’ di động trên một đường tròn (C) cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định (T) chứ (C) và có trục vuông góc (α)

3. Khối trụ

Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ

B. MỘT SỐ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Diện tích xung quanh: ${{S}_{\text{x}q}}=2\pi Rh$

Diện tíc toàn phần: ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}$

Thể tích: $V=\pi {{R}^{2}}h$

C. BÀI TẬP

Câu 1: Xét các mệnh đề

(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luông song song và cách đường thẳng ∆ cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ

(II) Hai điểm A,B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II)

C. Cả (I) và (II) D. Không có mệnh đề đúng

Câu 2: Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

A. $\pi {{a}^{3}}$ B. \[\frac{\pi {{a}^{3}}}{2}\] C. \[\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}\] D. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{4}$

Câu 3: Bán kính đáy hình trụ bằng 4cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

A. $10cm$ B. \[6cm\] C. \[5cm\] D. $8cm$

Câu 4: Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông có cạnh bằng 2R . Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

A. $4\pi {{R}^{2}}$ B.$6\pi {{R}^{2}}$ C.$8\pi {{R}^{2}}$ D.$2\pi {{R}^{2}}$

Câu 5: Một hình trụ có bán kính đáy R=70cm, chiều cao hình trụ h=20cm. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

A. $80cm$ B. \[100cm\] C. \[100\sqrt{2}cm\] D. $140cm$

Câu 6: Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất hệ thức giữa bán kính R và đường cao h bằng:

A. $h=R$ B. \[h=\sqrt{2}R\] C. \[h=\sqrt{3}R\] D. $h=2\text{R}$

Câu 7: Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a. Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

A. $\frac{a}{\pi }$ B. \[\frac{a}{2}\] C. \[\frac{a}{2\pi }\] D. $2\pi a$

Câu 8: Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a. Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích bằng:

A. $\pi {{a}^{3}}$ B. \[\frac{{{a}^{3}}}{\pi }\] C. \[\frac{{{a}^{3}}}{2\pi }\] D. $2\pi {{a}^{3}}$

Câu 9: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 và AD=2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh tục MN, ta được môt hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

A. $2\pi $ B.$3\pi $ C.$8\pi $ D.$4\pi $

Câu 10: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \[\text{R}\sqrt{3}\] . hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30°. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

A. $R$ B. \[\frac{\sqrt{3}R}{2}\] C. \[\sqrt{3}R\] D. $\frac{\sqrt{3}\text{R}}{3}$

ĐÁP ÁN