Tính số nghiệm của phương trình dựa vào mối quan hệ của đồ thị hàm số, số điểm cực trị, số nghiệm của phương trình đạo hàm

Ví dụ: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên

Đặt $g\left( x \right)={{2}^{f\left( x \right)}}-{{3}^{f\left( x \right)}}.$ Tìm số nghiệm của phương trình $g'\left( x \right)=0.$

         A. 5.                                  B. 3.                                  C. 2.                                  D. 6.

Lời giải chi tiết:

Ta có

  $g'\left( x \right)=f'\left( x \right){{2}^{f\left( x \right)}}\ln 2-f'\left( x \right){{3}^{f\left( x \right)}}\ln 3=f'\left( x \right)\left[ {{2}^{f\left( x \right)}}\ln 2-{{3}^{f\left( x \right)}}\ln 3 \right]$

Dựa vào đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị nên $f'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Kẻ đường thẳng $y={{\log }_{\frac{3}{2}}}\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx -1,1358$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại ba điểm phân biệt nên phương trình $f\left( x \right)={{\log }_{\frac{3}{2}}}\frac{\ln 2}{\ln 3}$ có ba nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 5 nghiệm thực phân biệt.

Chọn đáp án A.

Bài tập tự luyện:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên

Đặt $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right) \right].$ Tìm số nghiệm của phương trình $g'\left( x \right)=0$.

         A. 2.                                  B. 8.                                  C. 4.                                  D. 6.        

Bài viết gợi ý: