Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ

1. Phương pháp

Giả sử cần tính $I=\int{\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}dx}$ (trong đó $P\left( x \right);\,Q\left( x \right)$ là những đa thức của $x$). Ta có hai trường hợp:

a) Bậc của $P\left( x \right)$ nhỏ hơn bậc của $Q\left( x \right)$. Xét các khả năng sau (ở đây ta xét $Q\left( x \right)$ là đa thức bậc 3, các trường hợp khác làm tương tự):

• $Q\left( x \right)$ có các nghiệm đơn khác nhau, giả sử $Q\left( x \right)=\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)$. Khi đó ta tìm $A$, $B$, $C$ sao cho $\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}$.

• $Q\left( x \right)$ có nghiệm đơn và nghiệm kép, $Q\left( x \right)=\left( x-a \right){{\left( x-b \right)}^{2}}$. Khi đó ta tìm $A$, $B$, $C$ sao cho $\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{{{\left( x-b \right)}^{2}}}$

• $Q\left( x \right)$ có một nghiệm đơn, $Q\left( x \right)=\left( x-a \right)\left( {{x}^{2}}+px+q \right),\,\left( {{p}^{2}}-4q<0 \right)$. Khi đó ta tìm $A$, $B$, $C$ sao cho $\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}=\frac{A}{x-a}+\frac{Bx+C}{{{x}^{2}}+px+q}$

b) Bậc của $P\left( x \right)$ lớn hơn hoặc bằng bậc của $Q\left( x \right)$. Khi đó ta lấy $P\left( x \right)$ chia cho $Q\left( x \right)$ và quay về trường hợp a).

2. Bài tập áp dụng:

Tìm các nguyên hàm.

• $I=\int{\frac{6{{x}^{2}}+10x+2}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x}dx}=\int{\frac{6{{x}^{2}}+10x+2}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)x}dx}$

Ta tìm $A,\,B,\,C$ sao cho:

$\frac{6{{x}^{2}}+10x+2}{x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}$

$\Rightarrow 6{{x}^{2}}+10x+2=A\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)+Bx\left( x+2 \right)+Cx\left( x+1 \right)$

$\Rightarrow 6{{x}^{2}}+10x+2=\left( A+B+C \right){{x}^{2}}+\left( 3A+2B+C \right)x+2A$

Từ đó:

$I=\int{\left( \frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2} \right)}dx=\ln \left| x \right|+2\ln \left| x+1 \right|+3\ln \left| x+2 \right|+C$

• $J=\int{\frac{6{{x}^{2}}-26x+26}{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+11x-6}dx}=\int{\frac{6{{x}^{2}}-26x+26}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}dx}$

Ta tìm $A,\,B,\,C$ sao cho:

$\frac{6{{x}^{2}}-26x+26}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$

$\Rightarrow 6{{x}^{2}}-26x+26=A\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)+B\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)+C\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$

Cho $x$ giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được $A=3;\,B=2;\,C=1$

Từ đó:

$J=\int{\left( \frac{3}{x-1}+\frac{2}{x-2}+\frac{1}{x-3} \right)dx}=3\ln \left| x-1 \right|+2\ln \left| x-2 \right|+\ln \left| x-3 \right|+C$

• $K=\int{\frac{x-8}{{{x}^{2}}-x-6}dx}=\int{\frac{x-8}{\left( x+2 \right)\left( x-3 \right)}dx}=\int{\left( \frac{2}{x+2}-\frac{1}{x-3} \right)dx}=2\ln \left| x+2 \right|-\ln \left| x-3 \right|+C$

• \[L=\int{\frac{3{{x}^{2}}+13x+11}{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+8x+4}dx}=\int{\frac{3{{x}^{2}}+13x+11}{\left( x+1 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}}dx}\]

Ta tìm $A,\,B,\,C$ sao cho:

\[\frac{3{{x}^{2}}+13x+11}{\left( x+1 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\]

\[\Rightarrow 3{{x}^{2}}+13x+11=A{{\left( x+2 \right)}^{2}}+B\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)+C\left( x+1 \right)\]

\[\Rightarrow 3{{x}^{2}}+13x+11=\left( A+B \right){{x}^{2}}+\left( 4A+3B+C \right)x+\left( 4A+2B+C \right)\]

Từ đó:

$L=\int{\left( \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}+\frac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \right)}dx=\ln \left| x+1 \right|+2\ln \left| x+2 \right|-\frac{3}{x+2}+C$

• $M=\int{\frac{2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+4x-1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\int{\left( 2x-\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2} \right)dx=\int{\left( 2x-\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)} \right)dx}}$

$=\int{\left( 2x-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-1} \right)}dx={{x}^{2}}-\ln \left| x-2 \right|+\ln \left| x-1 \right|+C$

• $N=\int{\frac{3{{x}^{2}}-4x+2}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+5}dx}=\int{\frac{d\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+5 \right)}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+5}}=\ln \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+5 \right|+C$

Nguyên hàm dạng $I=\int{\frac{dx}{{{\left( x+a \right)}^{2}}{{\left( x+b \right)}^{2}}}}$

Ta xét một số ví dụ:

• $I=\int{\frac{dx}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}$

Ta phân tích:

$\frac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{4}{{\left[ \frac{\left( x+3 \right)-\left( x+1 \right)}{\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)} \right]}^{2}}=\frac{1}{4}{{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right)}^{2}}$

$=\frac{1}{4}\left[ \frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}-\frac{2}{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)} \right]=\frac{1}{4}\left[ \frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+1} \right]$Từ đó:

$I=\int{\left[ \frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+1} \right]}dx$

$=-\frac{1}{4}.\frac{1}{x+1}-\frac{1}{4}.\frac{1}{x+3}+\frac{1}{4}\ln \left| x+3 \right|-\frac{1}{4}\ln \left| x+1 \right|+C$

•$J=\int{\frac{dx}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}{{\left( x+4 \right)}^{2}}}}$

Ta phân tích:

$\frac{1}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}{{\left( x+4 \right)}^{2}}}=\frac{1}{49}.{{\left[ \frac{\left( x+4 \right)-\left( x-3 \right)}{\left( x-3 \right)\left( x+4 \right)} \right]}^{2}}=\frac{1}{49}\left[ \frac{1}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\frac{2}{\left( x-3 \right)\left( x+4 \right)}+\frac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}} \right]$

Từ đó:

$J=\frac{1}{49}\int{\frac{1}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}dx-\frac{1}{49}\int{\frac{2}{\left( x-3 \right)\left( x+4 \right)}dx}+\frac{1}{49}\int{\frac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}dx}}$

$=-\frac{1}{49}.\frac{1}{x-3}-\frac{1}{49}.\frac{1}{x+4}-\frac{2}{343}\int{\left( \frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+4} \right)}dx$

$=-\frac{1}{49}.\frac{1}{x-3}-\frac{1}{49}.\frac{1}{x+4}-\frac{2}{343}\ln \left| \frac{x-3}{x+4} \right|+C$

3.Bài tập tự luyện

1.$I=\int{\frac{dx}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x+7 \right)}^{2}}}}$Đáp án:$-\frac{1}{25}.\frac{1}{x+2}-\frac{1}{25}.\frac{1}{x+7}-\frac{2}{125}\ln \left| \frac{x+2}{x+7} \right|+C$

2.$I=\int{\frac{dx}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}{{\left( x-9 \right)}^{2}}}}$Đáp án:$-\frac{1}{9}.\frac{1}{x-6}-\frac{1}{9}.\frac{1}{x-9}-\frac{2}{27}\ln \left| \frac{x-6}{x-9} \right|+C$

3.$I=\int{\frac{dx}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}{{\left( x+5 \right)}^{2}}}}$Đáp án:$-\frac{1}{81}.\frac{1}{x-4}-\frac{1}{81}.\frac{1}{x+5}-\frac{2}{729}\ln \left| \frac{x-4}{x+5} \right|+C$

4.$I=\int{\frac{dx}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}}}$Đáp án:$-\frac{1}{16}.\frac{1}{x-2}-\frac{1}{16}.\frac{1}{x+2}-\frac{2}{64}\ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right|+C$

5.$I=\int{\frac{3{{x}^{2}}-12x+9}{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+5}dx}$  Đáp án:$\ln \left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+7 \right|+C$

6.$I=\int{\frac{3{{x}^{2}}+16x+14}{{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+14x+9}dx}$  Đáp án:$\ln \left| {{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+14x+9 \right|+C$

7.$I=\int{\frac{2x-3}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}$ Đáp án:$\ln \left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|+C$

8.$I=\int{\frac{2x+11}{{{x}^{2}}+x-6}dx}$ Đáp án:$3\ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x+3 \right|+C$

9.$I=\int{\frac{{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+21x+15}{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+8x+4}dx}$ Đáp án:$\ln \left| x+1 \right|+2\ln \left| x+2 \right|+\frac{x-1}{x+2}+C$

10.$I=\int{\frac{x-6}{{{x}^{2}}-7x+12}dx}$ Đáp án:$3\ln \left| x-3 \right|-2\ln \left| x-4 \right|+C$

 

Bài viết gợi ý: