I. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx +c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)
Δ = b2 – 4ac
*) Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\]
*) Nếu Δ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}\,\]
*) Nếu Δ < 0 phương trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn
Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’
Δ’ = b’2 – ac
*) Nếu Δ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\]
*) Nếu Δ’ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b'}{a}\]
*) Nếu Δ’ < 0 phương trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Viet và ứng dụng
1. Nếu \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) thì: .png)
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x2 – Sx + P = 0 (Điều kiện để có u và v là S2 – 4P ≥ 0)
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\]
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{c}{a}\]
V. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0
B. Một số bài tập có lời giải
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) \[2{{x}^{2}}-8=0\]
b) \[3{{x}^{2}}-5x=0\]
c) \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]
d) \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
e) \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]
f) \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]
Giải
a) \[2{{x}^{2}}-8=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 2\]
b) .png)
Vậy phương trình có nghiệm \[x=0;x=\frac{5}{3}\]
c) \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-5=0\]
Nhẩm nghiệm:
Ta có: a – b + c = 2 + 3 – 5 = 0 => phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1\]; \[{{x}_{2}}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}\]
d) \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
\[\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)-\left( 2x+6 \right)=0\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+3 \right)-2\left( x+3 \right)=0\]
\[\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right)=0\]
.png)
e) \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right).\] Ta có phương trình: \[{{t}^{2}}+3t-4=0\]
a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0
=> phương trình có nghiệm: \[{{t}_{1}}=1>0\] (thỏa mãn); \[{{t}_{2}}=-\frac{4}{1}=-4<0\] (loại)
Với: \[t=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 1\]
f) \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]
TXĐ: x ≠ 2, x ≠ 5
\[\Leftrightarrow \frac{\left( x+2 \right)\left( 2-x \right)}{\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)}+\frac{3\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)}{\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)}=\frac{6\left( x-5 \right)}{\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)}\]
\[\Rightarrow \left( x+2 \right)\left( 2-x \right)+3\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)=6\left( x-5 \right)\]
\[\Leftrightarrow 4-{{x}^{2}}+6x-3{{x}^{2}}-30+15x=6x-30\]
\[\Leftrightarrow -4{{x}^{2}}+15x+4=0\]
\[\Delta ={{15}^{2}}-4.\left( -4 \right).4=225+64=289>0;\sqrt{\Delta }=17\]
=> phương trình có hai nghiệm:
\[{{x}_{1}}=\frac{-15+17}{2.\left( -4 \right)}=-\frac{1}{4}\] (thỏa mãn ĐKXĐ)
\[{{x}_{2}}=\frac{-15-17}{2.\left( -4 \right)}=4\] (thỏa mãn ĐKXĐ)
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] (1)
a/ Giải phương trình với m = – 2.
b/ Gọi \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình. Tính \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2};x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\] theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9.\]
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3.\] Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI.
a/ Thay m = – 2 vào phương trình (1) ta có phương trình:
\[{{x}^{2}}-2x+1=0\]
\[\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\]
\[\Leftrightarrow x-1=0\]
\[\Leftrightarrow x=1\]
Vậy với m = – 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] (1)
Ta có: \[\Delta ={{m}^{2}}-4\left( m+3 \right)={{m}^{2}}-4m-12\]
Phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]\[\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: .png)
*) \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( -m \right)}^{2}}-2\left( m+3 \right)={{m}^{2}}-2m-6\]
*) \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)={{\left( -m \right)}^{3}}-3\left( m+3 \right)\left( -m \right)=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+9m\]
c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{m}^{2}}-2m-6\]
Do đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-6=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-15=0\]
Δ’(m) = (-1)2 – 1.(-15) = 1 + 15 = 16 > 0
=> phương trình có hai nghiệm: \[{{m}_{1}}=\frac{1+4}{1}=5\]; \[{{m}_{2}}=\frac{1-4}{1}=-3\]
Thử lại :
+) Với \[m=5\Rightarrow \Delta =-7<0\] => loại.
+) Với \[m=-3\Rightarrow \Delta =9>0\] => thỏa mãn.
Vậy với m = – 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\]
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: .png)
Hệ thức: \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\] (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình:
.png)
Thay .png)
vào (b) ta có phương trình:
\[\left( -3m-5 \right)\left( 2m+5 \right)=m+3\]
\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-15m-10m-25=m+3\]
\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-26m-28=0\]
\[\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+13m+14=0\]
\[{{\Delta }_{\left( m \right)}}={{13}^{2}}-4.3.14=1>0\]
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=\frac{-13+1}{2.3}=-2,{{m}_{2}}=\frac{-13-1}{2.3}=-\frac{7}{3}\]
Thử lại:
+) Với \[m=-2\Rightarrow \Delta =0\] => thỏa mãn.
+) Với \[m=\frac{-7}{3}\Rightarrow \Delta =\frac{25}{9}>0\] => thỏa mãn.
Vậy với \[m=-2;m=-\frac{7}{3}\] phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]
e/ Phương trình (1) có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3\]
\[\Leftrightarrow {{\left( -3 \right)}^{2}}+m.\left( -3 \right)+m+3=0\Leftrightarrow -2m+12=0\Leftrightarrow m=6\]
Khi đó: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6-\left( -3 \right)\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-3\]
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=-3\].
f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow 1.\left( m+3 \right)<0\Leftrightarrow m+3<0\Leftrightarrow m<-3\]
Vậy với m < – 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
.png)
Vậy hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m là: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-3=0\]
Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x – 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? Tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại (nếu có)?
HƯỚNG DẪN GIẢI.
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ’=12 – (-3)(m-1) = 3m – 2
(1) có nghiệm ⇔ Δ’ = 3m-2 ≥ 0 \[\Leftrightarrow m\ge \frac{2}{3}\]
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với \[m\ge \frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm
b)
+ Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ’ = 1 - (-3)(m-1) = 3m - 2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ Δ’ = 3m-2 = 0 \[\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\] (thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó \[x=-\frac{1}{m-1}=-\frac{1}{\frac{2}{3}-1}=3\]
+) Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x=\frac{3}{2}\]
Với \[m=\frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=2\] nên ta có:
\[\left( m-1 \right){{2}^{2}}+2.2-3=0\Leftrightarrow 4m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}\] Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do \[m-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}\ne 0\])
Theo định lí Viet ta có: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{-3}{m-1}=\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12\] ⇒ x2 = 6
Vậy \[m=\frac{3}{4}\] và nghiệm còn lại là \[{{x}_{2}}=6\]
Bài 4. Cho phương trình: x2 - 2(m-1)x – 3 – m = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] của phương trình thoả mãn \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\]
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}}\] và \[{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị \[{{x}_{1}}\] qua \[{{x}_{2}}\]
Bài 5. Cho phương trình: x2 + 2x + m - 1= 0 (m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1\]
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}\]; với \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình ở trên
